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    \includegraphics[scale=0.13]{fleur_terminale.eps}}}
  \end{picture}
}{}




\begin{document}



\title{Centres étrangers - 12 juin 2025}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$T$}\taput{\footnotesize $0,1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\footnotesize $0,3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{\footnotesize $0,7$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize $0,9$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\footnotesize $0,15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{\footnotesize $0,85$}
}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

On a alors~:
\begin{eqnarray*}
 P(\overline{T}\cap E) & = & \pause  P(\overline{T})\times P_{\overline{T}}(E)\\ \pause
            & = & 0,9\times 0,15\\ \pause
            & = & 0,135 \pause
\end{eqnarray*}
La probabilité que le contrôle soit partiel et qu'une erreur soit détectée est donc~:
$$\boxed{P(\overline{T}\cap E)=0,135}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(E)$. \pause Les événements $T$ et $\overline{T}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(E) & = & \pause P(T)\times P_T(E)+P(\overline{T})\times P_{\overline{T}}(E)\\ \pause
       & = & 0,1\times 0,3+0,9\times 0,15\\ \pause
       & = & 0,03+0,135\\ \pause
       & = & 0,165 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité qu'une erreur soit détectée lors du contrôle est donc~:
$$\boxed{P(E)=0,165}$$
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Il s'agit de calculer $P_E(T)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_E(T) & = & \dfrac{P(T\cap E)}{P(E)}\\ \pause
         & = & \dfrac{0,1\times 0,3}{0,165}\\ \pause
         & \approx & 0,18 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée est donc~:
$$\boxed{P_E(T)\approx 0,18}$$
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli donc la probabilité de succès est $0,165$. \pause La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,165$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(X=5)$~: \pause
 $$P(X=5)= \pause \binom{15}{5}\times 0,165^5\times 0,835^{10} \pause \approx 0,06$$ \pause
 La probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées est donc~:
 $$\boxed{P(X=5)\approx 0,06}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 1)$~: \pause
 $$P(X\geqslant 1)= \pause 1-P(X=0)=1-0,835^{15} \pause \approx 0,93$$ \pause
La probabilité qu'au moins une erreur soit détectée est donc~:
$$\boxed{P(X\geqslant 1)\approx 0,93}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Soit $n$ le nombre de contrôles et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de contrôles mettant en évidence une erreur. \pause $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,165$. \pause La probabilité qu'au moins une erreur soit détectée est alors~: \pause
 $$P(Y\geqslant 1)= \pause1-P(Y=0) \pause =1-0,835^n$$ \pause
 Il s'agit alors de résoudre l'inéquation $P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,99$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,99 & \Longleftrightarrow & \pause 1-0,835^n\geqslant 0,99\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & 0,835^n\leqslant 0,01\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & \ln\left(0,835^n\right)\leqslant \ln(0,01)\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & n\ln(0,835)\leqslant \ln(0,01)\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)} \quad \textsl{(car $\ln(0,835)<0$)}
 \end{eqnarray*} \pause

\leftskip=1.5cm

Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,835)}\approx 25,5$ \pause donc le nombre minimum de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que la contrainte soit respectée est~:
$$\boxed{n=26}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item $X_1$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,165$, \pause son espérance est donc $E(X_1)=n\times p \pause =20\times 0,165 \pause =3,3$ \pause et sa variance est $V(X_1)= \pause np(1-p) \pause =20\times 0,165\times 0,835 \pause =2,7555$ \pause, soit~:
 $$\boxed{E(X_1)=3,3} \quad \text{et} \quad \boxed{V(X_1)=2,7555}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Les variables aléatoires $X_2$ et $X_3$ ont la même espérance et la même variance que $X_1$ et par linéarité de l'espérance, on a~: \pause
 $$E(S)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3) \pause =3,3+3,3+3,3 \pause =9,9$$ \pause
 Et comme les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes, on a~: \pause
 $$V(S)=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3) \pause =2,7555+2,7555+2,7555 \pause =8,2665$$ \pause
 On a donc bien~:
 $$\boxed{E(S)=9,9} \quad \text{et} \quad \boxed{V(S)=8,2665}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable aléatoire $S$, pour tout réel strictement positif $\delta$, on a~: \pause
 $$P\left(|S-E(S)|\geqslant \delta\right)\leqslant \dfrac{V(S)}{\delta^2}$$ \pause
 En prenant $\delta =4$, on obtient~: \pause
 $$P\left(|S-10|\geqslant 4\right)\leqslant \dfrac{8,2665}{16}$$ \pause
 Puis en passant à l'événement contraire~: \pause
 $$P\left(|S-10|< 4\right)\geqslant 1-\dfrac{8,2665}{16}$$ \pause
 Soit~:
 $$P\left(6<S<14\right)\geqslant 1-\dfrac{8,2665}{16}$$ \pause

 \leftskip=1.5cm

 Or $1-\dfrac{8,2665}{16}\approx 0,4833$ \pause donc la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$, soit~: \pause
 $$\boxed{P\left(6<S<14\right)\geqslant 0,48}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\textsl{Alors~? Vous avez bien aimé Tchebychev~?}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Réponse a)}\\ \pause
La droite $(AB)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ \pause et la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}$. \pause Ces deux vecteurs ne sont ni colinéaires ni orthogonaux \pause donc les droites ne sont ni parallèles ni orthogonales. \pause De plus, on peut remarquer que le point $A$ appartient à la droite $(d)$ \pause car c'est le point de paramètre $t=1$. \pause On en déduit que les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes non perpendiculaires.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Réponse d)}\\ \pause
 D'après son équation cartésienne, le plan $\mathscr{P}$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ pour vecteur normal, \pause soit le vecteur $\overrightarrow{AB}$. \pause La droite $(AB)$ est donc orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Réponse b)}\\
Le plan $\mathscr{P}$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ pour vecteur normal \pause et le plan $\mathscr{P}'$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}'\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}$ pour vecteur normal. \pause Or~:
$$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n}'= \pause 4\times 2+4\times 1+(-2)\times 6 \pause =8+4-12 \pause =0$$ \pause
Les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n}'$ sont donc orthogonaux, \pause on en déduit que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \textbf{Réponse b)}\\ \pause
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}$ \pause et donc $\|\overrightarrow{AB}\|= \pause \sqrt{16+16+4} \pause =\sqrt{36} \pause =6$ \pause et $\|\overrightarrow{AC}\|= \pause \sqrt{9+25} \pause =\sqrt{34}$. \pause On a alors~:
\begin{itemize}
 \item D'une part~:
 $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \pause 12+10 \pause =22$$ \pause
 \item D'autre part~:
 \begin{eqnarray*}
  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} & = & \pause \|\overrightarrow{AB}\|\times \|\overrightarrow{AC}\|\times \cos(\widehat{BAC})\\ \pause
      & = & 6\sqrt{34}\cos(\widehat{BAC})
 \end{eqnarray*}\pause
On en déduit l'égalité $6\sqrt{34}\cos(\widehat{BAC})=22$\\ \pause

\leftskip=1.5cm

Puis $\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{22}{6\sqrt{34}} \pause =\dfrac{11}{3\sqrt{34}}$\\ \pause
Et enfin, à l'aide de la calculatrice (en prenant bien garde d'être en mode degré), on obtient \pause $\widehat{BAC}\approx 51\degres$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to -1}f(x)=-\infty} \pause \quad \text{car} \begin{cases}\lim\limits_{x\to -1}(x+1)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln(X)=-\infty \end{cases}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-1\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in \left]-1\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 \begin{eqnarray*}
  f'(x) & = & \pause 4\times \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2x}{25}\\ \pause
        & = & \dfrac{100}{25(x+1)}-\dfrac{2x(x+1)}{25(x+1)}\\ \pause
        & = & \dfrac{100-(2x^2+2x)}{25(x+1)}\\ \pause
        & = & \dfrac{100-2x^2-2x)}{25(x+1)} \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
 $$\boxed{f'(x)=\dfrac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Pour tout $x\in\left]-1\,;\,+\infty\right[$, $x+1>0$ \pause donc $f'(x)$ est du signe de $100-2x-2x^2$. \pause Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet deux racines~: \pause $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{201}}{2}\approx -7,6$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{201}}{2}\approx 6,6$. \pause On a donc le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.1}
{ $-1$  , $x_2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$-\infty$ , +/$f(x_2)$ , -/$-\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
Et comme $x_2>6,5$, on en déduit que~: \pause
$$\hspace{0.5cm}\boxed{\text{$f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[2\,;\,6,5\right]$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item On a $h(2)\approx 2,23$ et $h(6,5)\approx -0,13$. \pause
 \begin{itemize}
  \item Sur l'intervalle $\left[2\,;\,m\right]$, \pause la fonction $h$ est strictement positive (car $h(2)>0$ et $h$ est croissante) donc l'équation $h(x)=0$ n'y admet aucune solution. \pause
  \item Sur l'intervalle $\left[m\,;\,6,5\right]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante. \pause De plus $h(m)\approx 2,364>0$ et $h(6,5)\approx -0,13<0$ \pause donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. \pause
 \end{itemize}
Finalement~:
$$\hspace{-0.5cm}\boxed{\text{L'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[2\,;\,6,5\right]$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La commande bornes(2) renvoie~: \pause
 $$\boxed{\text{\pyv{(6.36,6.37)}}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Cela signifie que~: \pause
 $$\boxed{6,36< \alpha\leqslant 6,37}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{small}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Montrons par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 6,5$. \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  Pour $n=0$, on a $u_0=2$ et $u_1=f(2)\approx 4,23$, \pause on a donc bien $2\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 6,5$. \pause La propriété est vraie au rang $n=0$. \pause
  \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 6,5$. \pause On a alors, en appliquant la fonction $f$ qui est croissante sur l'intervalle $\left[2\,;\,6,5\right]$~: \pause
  $$f(2)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(6,5)$$ \pause
  Soit~:
  $$f(2)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(6,5)$$ \pause
De plus, on a $f(2)\geqslant 2$ et $f(6,5)\leqslant 6,5$, donc a fortiori~: \pause
$$2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 6,5$$ \pause

\leftskip = 1.5cm

La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause

\item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{small}

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item D'après la question précédente~: \pause
 \begin{itemize}
  \item La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$). \pause
  \item La suite $(u_n)$ est majorée par $6,5$ (car $u_n\leqslant 6,5$ pour tout $n\in\mathbb{N}$). \pause
 \end{itemize}
On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause où $f$ est une fonction continue. \pause On a alors, par passage à la limite dans cette relation de récurrence~: \pause
 $$\ell=f(\ell)$$ \pause
 Autrement dit, la limite est un point fixe de $f$ ou encore une solution de l'équation $f(x)-x=0$. \pause Or on a vu que $\alpha$ était l'unique solution de cette équation sur l'intervalle $\left[2\,;\,6,5\right]$ donc~: \pause
$$\boxed{l=\alpha}$$
\end{enumerate}

\end{frame}








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4 - Partie A}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a $h'(t)=0$ \pause d'où~:
 $$h'(t)+0,48h(t)= \pause 0,48\times \dfrac{1}{120} \pause =0,004 \pause =\dfrac{1}{250}$$ \pause
 Donc~:
 $$\boxed{\text{$h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item L'équation $y'+0,48y=0$ s'écrit également $y'=-0,48y$. \pause Les solutions sont les fonctions de la forme~: \pause
 $$\boxed{t\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-0,48t}} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions qui s'écrivent comme la somme d'une solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de $(E_1)$, c'est-à-dire les fonctions de la forme~: \pause
 $$\boxed{t\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Supposons que $p$ est solution de $(E_2)$, c'est-à-dire que pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, $p'(t)=\dfrac{1}{250}p(t)\times (120-p(t))$.\\ \pause
 On a alors, pour tout $t\in \left[0\,;\,+\infty\right[$, $y(t)=\dfrac{1}{p(t)}$ donc~: \pause
 $$y'(t)=-\dfrac{p'(t)}{p^2(t)}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Et donc~:
 \begin{eqnarray*}
y'(t)+0,48y(t) & = & \pause -\dfrac{p'(t)}{p^2(t)}+\dfrac{0,48}{p(t)}\\ \pause
               & = & \dfrac{-p'(t)+0,48p(t)}{p^2(t)}\\ \pause
               & = & \dfrac{-\mfrac{1}{250}p(t)\times (120-p(t))+0,48p(t)}{p^2(t)}\\ \pause
               & = & \dfrac{-0,48p(t)+\mfrac{1}{250}p^2(t)+0,48p(t)}{p^2(t)}\\ \pause
               & = & \dfrac{p^2(t)}{250}\times \dfrac{1}{p^2(t)}\\ \pause
               & = & \dfrac{1}{250} \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=2.5cm
Et donc~:
$$\boxed{\text{$y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$}}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Les solutions de $(E_2)$ sont donc les fonctions $p$ telles que $p=\dfrac{1}{y}$ où $y$ est une solution de $(E_1)$. \pause Or on a vu qu'une fonction $y$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si il existe une réel $\lambda$ tel que, pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~:
 $$y(t)=\lambda\mathrm{e}^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}$$ \pause
 On a alors~:
 $$p(t)= \pause \dfrac{1}{\lambda\mathrm{e}^{-0,48t}+\mfrac{1}{120}} \pause =\dfrac{1}{\mfrac{120\lambda\mathrm{e}^{-0,48t}+1}{120}} \pause =\dfrac{120}{120\lambda\mathrm{e}^{-0,48t}+1}$$ \pause
 Soit, en posant $K=120\lambda$~: \pause

 $$\boxed{p(t)=\dfrac{120}{1+K\mathrm{e}^{-0,48t}}}\quad \text{avec $K$ une constante réelle}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item On sait que $p(0)=30$, on a alors~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  p(0)=30 & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{120}{1+K\mathrm{e}^{0}}=30\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & \dfrac{120}{1+K}=30\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 30(1+K)=120\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 30K=90\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & K=3 \pause
 \end{eqnarray*}
 On a donc, pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~:
 $$\boxed{p(t)=\dfrac{120}{1+3\mathrm{e}^{-0,48t}}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}p(t)=120} \pause \quad \text{car} \quad \lim\limits_{t\to+\infty}\left(\mathrm{e}^{-0,48t}\right)=0$$ \pause
Cela signifie, qu'à long terme, la population de bactéries va se stabiliser autour de \np{120000} individus.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item Il s'agit de résoudre l'inéquation $p(t)\geqslant 60$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  p(t)\geqslant 60 & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{120}{1+3\mathrm{e}^{-0,48t}}\geqslant 60\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \dfrac{120}{1+3\mathrm{e}^{-0,48t}}\geqslant 60\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \dfrac{1+3\mathrm{e}^{-0,48t}}{120}\leqslant \dfrac{1}{60} \quad \textsl{(passage à l'inverse)}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & 1+3\mathrm{e}^{-0,48t}\leqslant \dfrac{120}{60}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & 1+3\mathrm{e}^{-0,48t}\leqslant 2\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & 3\mathrm{e}^{-0,48t}\leqslant 1\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \mathrm{e}^{-0,48t}\leqslant \dfrac{1}{3}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & -0,48t\leqslant \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & -0,48t\leqslant -\ln(3)\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & t\geqslant \dfrac{\ln(3)}{0,48}
 \end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

Et $\dfrac{\ln(3)}{0,48}\approx 2,2888$ \pause donc la population de bactéries dépassera \np{60000} individus au bout d'environ $2,2888$~heures, \pause soit environ~:
$$\boxed{\text{2 heures et 17 minutes}}$$

\end{frame}


\end{document}


