\chapter{Polynésie - 5 septembre 2024 (remplacement)}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Hybride ou électrique}\label{18.1}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)},height fill]
Une concession automobile vend deux sortes de véhicules~:
\begin{itemize}
 \item 60~\% sont des véhicules tout-électrique~;
 \item 40~\% sont des véhicules hybrides rechargeables.
\end{itemize}
75~\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52~\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.\\
On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants~:
\begin{itemize}
 \item $E$~: \og l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique \fg{}~;
 \item $B$~: \og l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile \fg{}.
\end{itemize}

\textit{Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}

\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile.\\
 \textit{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
 \item Démontrer que $P(B)=0,658$.
 \item Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique~?
 \item On choisit un échantillon de 20 acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.\\
 On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de 20 acheteurs.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
  \item Calculer $P(X=8)$.
  \item Calculer la probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
  \item Calculer l'espérance de $X$.
  \item La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \np{1200}~\euro{}.\\
  En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de 20 véhicules~?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=21mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\footnotesize $0,75$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\footnotesize $0,25$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\footnotesize $0,52$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\footnotesize $0,48$}
}
}
 \end{center}

 Il s'agit alors de calculer $P(E\cap B)$~:
 \begin{align*}
  P(E\cap B) & = P(E)\times P_E(B)\\
             & = 0,6\times 0,75\\
             & = 0,45
 \end{align*}
La probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est donc~:
$$\boxed{P(E\cap B)=0,45}$$
 \item Les événements $E$ et $\overline{E}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(B) & = P(E)\times P_E(B)+P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(B)\\
   & = 0,6\times 0,75+0,4\times 0,52\\
   & = 0,45+0,208\\
   & = 0,658
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{P(B)=0,658}$$
 \item Il s'agit de calculer $P_B(E)$~:
 \begin{align*}
  P_B(E) & = \dfrac{P(E\cap B)}{P(B)}\\
         & = \dfrac{0,45}{0,658}\\
         & \approx 0,684
 \end{align*}
 La probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique sachant qu'il a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est donc~:
 $$\boxed{P_B(E)\approx 0,684}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On répète 20 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (l'acheteur peut installer une borne de recharge à son domicile) est égale à $0,658$. La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès donc~:
  $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$}}$$

  \item \label{ch18_ex1_q4b} On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
  $$\boxed{P(X=8)\approx 0,011}$$
  \item Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 10)$. On obtient alors, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge est~:
  $$\boxed{P(X\geqslant 10)\approx 0,955}$$
  \item L'espérance de $X$ est donnée par la formule $E(X)=n\times p=20\times 0,658=13,16$, soit~:
  $$\boxed{E(X)=13,16}$$
  \item En moyenne, lors de la vente de 20 véhicules, il y a en a 13,16 qui ont la possibilité d'installer une borne de recharge. On a alors $13,16\times \np{1200}=\np{15792}$. Pour la vente de 20 véhicules, la directrice devra donc prévoir d'engager, en moyenne, la somme de~:
  $$\boxed{\np{15792}~\text{\euro{}}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex1_q4b}, on peut détailler le calcul~:
 $$P(X=8)=\binom{20}{8}\times 0,658^8\times (1-0,658)^{12}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


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\section{Un QCM sur les fonctions}\label{18.2}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(6 points)}]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^x+x$.\\
 \textbf{Affirmation A~:} La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous~:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3, espcl=6]%
{$x$ /0.7,
variations de $f$ /2.1}
{ $-\infty$  , $+\infty$}
\tkzTabVar {-/$-\infty$  , +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Affirmation B~:} L'équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$.
\item \textbf{Affirmation C~:}
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$$
\item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\mathbb{R}$ par~:
$$k(x)=1+2\mathrm{e}^{-x^2+1}$$
\textbf{Affirmation D~:} Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\mathbb{R}$.
\item On considère l'équation différentielle $(E)$~: $3y'+y=1$.\\
\textbf{Affirmation E~:} La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par~:
$$g(x)=4\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}+1$$
est solution de l'équation différentielle $(E)$ avec $g(0)=5$.
\item \textbf{Affirmation F~:} Une intégration par parties permet d'obtenir~:
$$\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=1-2\mathrm{e}^{-1}$$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation A~: Vrai}\\
 La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
 $$f'(x)=\mathrm{e}^x+1$$
 Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^x>0$ donc $f'(x)>0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus~:
 $$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty \end{cases}$$
 Et~:
 $$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty \end{cases}$$
On a donc bien le tableau~:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3, espcl=6]%
{$x$ /0.7,
variations de $f$ /2.1}
{ $-\infty$  , $+\infty$}
\tkzTabVar {-/$-\infty$  , +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Affirmation B~: Faux}\\
Sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Or $-2\in\left]-\infty\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=-2$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
\item \textbf{Affirmation C~: Vrai}\\
Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
\begin{align*}
 \dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2} & = \dfrac{x^2\left(\mfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\mfrac{2}{x^2}\right)}{3x^2}\\
         & = \dfrac{\mfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\mfrac{2}{x^2}}{3}
\end{align*}
Or $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x^2}=0$ et, par croissance comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ donc~:
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$$

\item \textbf{Affirmation D~: Faux}\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{-x^2+1}>0$ donc $k'(x)>0$. Soit $K$ une primitive de $k$ alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $K'(x)=k(x)>0$. Donc la fonction $K$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

\item \label{ch18_ex2_q4} \textbf{Affirmation E~: Vrai}\\
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=4\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}+1$. On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
$$g'(x)=-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}$$
Et donc~:
\begin{align*}
3g'(x)+g(x) & = 3\times \left(-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}\right)+4\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}+1\\
      & = -4\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}+4\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}x}+1\\
      & = 1
\end{align*}
Et comme $g(0)=4+1=5$, $g$ est la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $g(0)=5$.
\item \textbf{Affirmation F~: Vrai}\\
Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, on pose~:
$$\begin{cases}u(x)=x\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$
On a alors, par intégration par parties~:
\begin{align*}
 \int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x & = \Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1 -\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
      & = -\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1\\
      & = -\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1\\
      & = 1-2\mathrm{e}^{-1}
\end{align*}
Soit~:
$$\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=1-2\mathrm{e}^{-1}$$
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex2_q4}, on aurait également pu résoudre l'équation différentielle de manière classique~: ensemble des solutions de l'équation homogène associée, solution particulière, ensemble des solutions de l'équation de départ, solution vérifiant une condition initiale.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


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\section{Une pyramide de boules}\label{18.3}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(4 points)},height fill]
On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres~:
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item le $1^{\text{er}}$ étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule~;
  \item le $2^{\text{e}}$ étage, niveau juste en-dessous, est composé de 4 boules~;
  \item le $3^{\text{e}}$ étage possède 9 boules~;
  \item \dots
  \item le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.
 \end{itemize}
\columnbreak
\begin{center}
\psframebox[shadow=true,framearc=.1]{\includegraphics[scale=0.3]{pyramide.eps}}
\end{center}
\end{multicols}
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n=n^2$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages.
 \item On considère la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $S_n=u_1+u_2+\dots+u_n$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
  \item On considère la fonction \pyv{pyramide} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction \pyv{pyramide(n)} renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.
  \begin{center}
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def pyramide(n) :
   S = 0
   for i in range(1,n+1) :
      S = ...
   return ...
\end{pyverbatim}
  \end{center}
 \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$~:
 $$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left(2(n+1)+1\right)}{6}$$
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$~:
 $$S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
 \end{enumerate}
 \item Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible~?
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item Le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages est~:
 $$1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$$
 Soit~:
 $$\boxed{\text{30 boules}}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $S_5=S_4+5^2=30+25=55$. On en déduit que le nombre total de boules d'une pyramide de 5 étages est~:
  $$\boxed{S_5=55}$$
  \item On peut compléter le programme de la façon suivante~:
  \begin{center}
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def pyramide(n) :
   S = 0
   for i in range(1,n+1) :
      S = S + i**2
   return S
\end{pyverbatim}
  \end{center}
 \item \label{ch18_ex3_q2c} Pour tout entier naturel $n$, on a d'une part~:
 \begin{align*}
  \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}\\
                                  & = \dfrac{(n^2+n)(2n+1)+6(n^2+2n+1)}{6}\\
                                  & = \dfrac{2n^3+n^2+2n^2+n+6n^2+12n+6)}{6}\\
                                  & = \dfrac{2n^3+9n^2+13n+6)}{6}
 \end{align*}
Et d'autre part~:
\begin{align*}
  \dfrac{(n+1)(n+2)\left(2(n+1)+1\right)}{6} & = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\
                                             & = \dfrac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6}\\
                                             & = \dfrac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6}\\
                                             & = \dfrac{2n^3+9n^2+13n+6)}{6}
 \end{align*}
 On a donc bien~:
 $$\boxed{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left(2(n+1)+1\right)}{6}}$$
 \item Montrons par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\
  Pour $n=1$, on a d'une part $S_1=1$ et d'autre part $\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}=\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
  \item \textbf{Hérédité~:}\\
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\geqslant 1$, c'est-à-dire $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. On a alors~:
  \begin{align*}
   S_{n+1} & = S_n+(n+1)^2\\
           & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \quad \textsl{(hypothèse de récurrence)}\\
           & = \dfrac{(n+1)(n+2)\left(2(n+1)+1\right)}{6} \quad \textsl{(d'après \ref{ch18_ex3_q2c})}
  \end{align*}
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
  \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie pour $n=1$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. Soit~:
  $$\boxed{S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$
 \end{itemize}

 \end{enumerate}
 \item On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
 \begin{itemize}
  \item $S_7=140\leqslant 200$
  \item $S_8=204> 200$
 \end{itemize}
Le marchand peut donc construire 7 étages en utilisant~:
$$\boxed{\text{140 oranges}}$$
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex3_q2c}, on aurait pu partir de l'expression et dérouler les calculs jusqu'à obtenir l'autre expression mais il aurait alors fallu factoriser. Dans ce cas, je trouve plus simple de rédiger avec un \og d'une part \dots, d'autre part \fg{}.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


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\section{Un losange dans un cube}\label{18.4}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
On considère un cube $ABCDEFGH$ et l'espace est rapporté au repère orthonormal $(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,;\,\overrightarrow{AE})$. Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées~:
$$K(m\,;\,0\,;\,0) \quad \text{et} \quad L(1-m\,;\,1\,;\,1)$$

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(12,9)
\pspolygon[linewidth=0pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.05](0,7)(2.36,-0.39)(10,0)(7.64,7.39)
\psline(0,0)(6,-1)
\psline(6,-1)(10,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](10,0)(4,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,1)(0,0)
\psline(0,0)(0,7)
\psline(6,-1)(6,6)
\psline(10,0)(10,7)
\psline(0,7)(4,8)
\psline(4,8)(10,7)
\psline(10,7)(6,6)
\psline(6,6)(0,7)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,8)(4,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.36,-0.39)(10,0)
\psline(0,7)(7.64,7.39)
\psline(0,7)(2.36,-0.39)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](7.64,7.39)(10,0)
\begin{small}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.5,0.1){$A$}
\psdots[dotstyle=*](6,-1)
\rput[bl](6.0,-1.5){$B$}
\psdots[dotstyle=*](10,0)
\rput[bl](10.2,0.1){$C$}
\psdots[dotstyle=*](4,1)
\rput[bl](4.1,1.1){$D$}
\psdots[dotstyle=*](0,7)
\rput[bl](-0.5,7.2){$E$}
\psdots[dotstyle=*](6,6)
\rput[bl](6.0,6.2){$F$}
\psdots[dotstyle=*](10,7)
\rput[bl](10.1,7.1){$G$}
\psdots[dotstyle=*](4,8)
\rput[bl](4.0,8.2){$H$}
\psdots[dotstyle=*](2.36,-0.39)
\rput[bl](2.5,-0.2){$K$}
\psdots[dotstyle=*](7.64,7.39)
\rput[bl](7.7,7.5){$L$}
\end{small}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
 \item Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L(1\,;\,1\,;\,1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0\,;\,0\,;\,0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que le vecteur $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.
  \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
On s'intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
  \item \label{ch18_ex4_q3b} Justifier que $\overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE}=m(m-1)$.
  \item Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m=0$ ou $m=1$.
 \end{enumerate}
 \item Dans cette question, $m=\dfrac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,1\,;\,1\right)$ et $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
  \item À l'aide de la question \ref{ch18_ex4_q3b}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{CKE}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{E(0\,;\,0\,;\,1)} \quad \text{et} \quad \boxed{C(1\,;\,1\,;\,0)}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$ donc~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AE}=1\times 0-1\times 0+0\times 1=0$
   \item $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AG}=1\times 1-1\times 1+0\times 1=0$
  \end{itemize}
 Le vecteur $\overrightarrow{DB}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GEA)$, on en déduit que~:
 $$\boxed{\text{$\overrightarrow{DB}$ est normal au plan $(GEA)$}}$$

  \item D'après la question précédente, le plan $(GEA)$ admet une équation cartésienne de la forme~:
  $$x-y+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
  Et comme le point $A(0\,;\,0\,;\,0)$ appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation, d'où $0-0+d=0$, soit $d=0$. Le plan $(GEA)$ admet donc pour équation~:
  $$\boxed{x-y=0}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{CK}\begin{pmatrix}m-1\\0-1\\0-0 \end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{CK}\begin{pmatrix}m-1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{LE}\begin{pmatrix}0-(1-m)\\0-1\\1-1 \end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{LE}\begin{pmatrix}m-1\\-1\\0 \end{pmatrix}$. On a donc $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{LE}$, on en déduit que~:
  $$\boxed{\text{$CKEL$ est un parallélogramme}}$$
  \item On a $\overrightarrow{KC}\begin{pmatrix}1-m\\1\\0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{KE}\begin{pmatrix}-m\\0\\1 \end{pmatrix}$ d'où~:
  $$\overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE}=(1-m)\times(-m)+1\times 0+0\times 1$$
  Soit~:
  $$\boxed{\overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE}=m(m-1)}$$
  \item Le quadrilatère $CKEL$ étant un parallélogramme, c'est un rectangle si et seulement si l'angle $\widehat{CKE}$ est un angle droit, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{KC}$ et $\overrightarrow{KE}$ sont orthogonaux. Or~:
  \begin{align*}
   \text{$\overrightarrow{KC}$ et $\overrightarrow{KE}$ sont orthogonaux} & \Longleftrightarrow \overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE}=0\\
   & \Longleftrightarrow m(m-1)=0 \quad \textsl{(d'après la question précédente)}\\
   & \Longleftrightarrow m=0 \quad \text{ou} \quad m=1
  \end{align*}
On a donc montré que~:
$$\boxed{\text{$CKEL$ est un rectangle} \Longleftrightarrow \text{$m=0$ ou $m=1$}}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a~:
  \begin{itemize}
   \item $CK=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
   \item $KE=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+0^2+1^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
  \end{itemize}
On a $CK=KE$ donc $CKEL$ est un parallélogramme qui a deux côtés adjacents de même longueur. On en déduit que~:
$$\boxed{\text{$CKEL$ est un losange}}$$

  \item \label{ch18_ex4_q4b} D'une part, d'après la question \ref{ch18_ex4_q3b}, en prenant $m=\dfrac{1}{2}$, on a~:
  $$\overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE}=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}-1\right)=-\dfrac{1}{4}$$
  D'autre part, on a~:
  \begin{align*}
  \overrightarrow{KC}.\overrightarrow{KE} & = KC\times KE\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)\\
   & = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)\\
   & = \dfrac{5}{4}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)
   \end{align*}
On en déduit l'égalité~:
$$\dfrac{5}{4}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{4}$$
Soit~:
$$\cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{5}$$
On obtient alors, à l'aide de la calculatrice~:
$$\boxed{\widehat{CKE}\approx 102\degres}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Il existe d'autres méthodes pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. On peut par exemple montrer que les diagonales se coupent en leur milieu.
 \item Il existe d'autres méthodes pour montrer qu'un parallélogramme est un losange. On peut par exemple montrer que les diagonales sont perpendiculaires.
 \item Dans la question \ref{ch18_ex4_q4b}, afin de déterminer une mesure de l'angle connaissant son cosinus, on utilise la touche $\cos^{-1}$ ou $\arccos$ de la calculatrice. On fera bien attention d'être en mode \og degrés \fg{}.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

