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\begin{document}



\title{Amérique du sud - 21 novembre 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Le pourcentage de personnes de rhésus positif est égale à $38,2+36,5+7,7+2,5 \pause =84,9$. \pause La proportion de personnes de rhésus positif est donc égale à $0,849$ \pause donc la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est~: \pause
 $$\boxed{P(Rh+)=0,849}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a~:
 \begin{eqnarray*}
  P_{Rh+}(A) & = & \pause \dfrac{P(A\cap Rh+)}{P(Rh+)}\\ \pause
             & = & \dfrac{P(A+)}{P(Rh+)}\\ \pause
             & = & \dfrac{0,382}{0,849}\\ \pause
             & \approx & 0,450 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité que la personne soit du groupe A sachant qu'elle est de rhésus positif est donc~: \pause
$$\boxed{P_{Rh+}(A)=0,450}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Il s'agit de calculer $P_{AB}(Rh-)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_{AB}(Rh-) & = & \pause \dfrac{P(AB\cap Rh-)}{P(AB)}\\ \pause
              & = & \dfrac{P(AB-)}{P(AB)}\\ \pause
              & = & \dfrac{0,004}{0,029} \quad \textsl{(car $P(AB)=P(AB+)+P(AB-)$)}\\ \pause
              & \approx & 0,138 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité que son rhésus soit négatif sachant que la personne est du groupe AB est donc~: \pause
$$\boxed{P_{AB}(Rh-)\approx 0,138}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie 2}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch17_ex1_q21a} On répète 50 fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (la personne est un donneur universel) est égale à $0,065$. \pause La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,065$.\\ \pause
  On obtient alors, à l'aide de la calculatrice que la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels est~: \pause
  $$\boxed{P(X=8)\approx 0,010}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La commande \pyv{proba(k)} renvoie la somme, pour $i$ variant entre $0$ et $k$, des probabilités $P(X=i)$. \pause Elle renvoit donc la valeur de $P(X\leqslant k)$. \pause La commande \pyv{proba(8)} renvoie donc la probabilité que parmi les 50 personnes, au plus 8 soient des donneurs universels, \pause soit~:
  $$\boxed{P(X\leqslant 8)\approx 0,995}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On choisit $n$ personnes dans la population française et on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi ces $n$ personnes. \pause La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065$. \pause La probabilité qu'aucune personne de l'échantillon ne soit donneur universel est $P(Y=0)= \pause (1-0,065)^n \pause =0,935^n$. \pause Par passage à l'événement contraire, la probabilité qu'au moins une personne soit donneur universel est~: \pause
 $$P(Y\geqslant 1)= \pause 1-P(Y=0) \pause =1-0,935^n$$
\end{enumerate}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,999 & \Longleftrightarrow & \pause 1-0,935^n\geqslant 0,999\\ \pause
                                 & \Longleftrightarrow & 0,935^n\leqslant 0,001\\ \pause
                                 & \Longleftrightarrow & \ln\left(0,935^n\right)\leqslant \ln(0,001)\\ \pause
                                 & \Longleftrightarrow & n\ln(0,935)\leqslant \ln(0,001)\\ \pause
                                 & \Longleftrightarrow & n\geqslant \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)} \quad \textsl{(car $\ln(0,935)<0$)} \pause
 \end{eqnarray*}
Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)}\approx 102,8$. \pause
Le nombre minimal de personnes à choisir pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel soit supérieure à $0,999$ est donc~: \pause
$$\boxed{n=103}$$

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\ \pause
 Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$. \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  Pour $n=0$, on a $u_0=10$ \pause et $u_1= \pause \dfrac{1}{3}\times 10+2 \pause =\dfrac{16}{3} \pause \approx 5,33$. \pause On a donc bien $0\leqslant u_1\leqslant u_0$ \pause et la propriété est vraie au rang $n=0$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire~:
  $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$ \pause
  On a alors, en multipliant par $\dfrac{1}{3}$~: \pause
  $$0\leqslant \dfrac{1}{3}u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{3}u_n$$ \pause
  Puis, en ajoutant $2$~: \pause
  $$2\leqslant \dfrac{1}{3}u_{n+1}+2\leqslant \dfrac{1}{3}u_n+2$$ \pause
  Soit~:
  $$2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$ \pause
  \leftskip=1.5cm
  Et donc a fortiori~:
  $$0\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$ \pause
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
\end{itemize}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
  La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, \pause elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$ \pause
  Cela prouve que la suite $(u_n)$ est décroissante (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause et minorée par $0$ (car $0\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$).
\end{itemize}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\ \pause
 La suite $(u_n)$ étant décroissante et minorée, elle converge vers une limite $l$. \pause Et comme la suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause où $f$ est la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$ \pause et que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, \pause on sait que la limite $l$ est un point fixe de $f$, \pause c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. \pause Or~:
 \begin{eqnarray*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{1}{3}x+2=x\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \dfrac{2}{3}x=2\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x=2\times \dfrac{3}{2}\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x=3 \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.3cm
 La fonction $f$ admet donc $3$ pour unique point fixe, on en déduit que $l=3$, \pause soit $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3$.
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch17_ex2_q3} \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{eqnarray*}
  v_{n+1} & = & \pause u_{n+1}-3\\ \pause
          & = & \dfrac{1}{3}u_n+2-3\\ \pause
          & = & \dfrac{1}{3}u_n-1\\ \pause
          & = & \dfrac{1}{3}\left(u_n-3\right)\\ \pause
          & = & \dfrac{1}{3}v_n \pause
 \end{eqnarray*}
\leftskip=1.3cm
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 2}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
 Soit $k\in\mathbb{R}$ et $f$ la fonction constante définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=k$. \pause On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=0$ \pause et donc~:
 \begin{eqnarray*}
  f'(x)=\dfrac{3}{2}f(x)+2 & \Longleftrightarrow & \pause 0=\dfrac{3}{2}k+2\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & \dfrac{3}{2}k=-2\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & k=-2\times \dfrac{2}{3}\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & k=-\dfrac{4}{3} \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.3cm
La fonction constante $x\mapsto -\dfrac{4}{3}$ est donc solution de $(E)$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Affirmation 5~:}\\ \pause
 \begin{itemize}
  \item L'équation homogène associée $y'=\dfrac{3}{2}y$ admet pour solutions les fonctions de la forme~: \pause
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$ \pause
  \item On a vue, dans la question précédente, que l'équation différentielle $(E)$ admettait pour solution particulière la fonction~: \pause
  $$x\mapsto -\dfrac{4}{3}$$ \pause
  \item Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme~: \pause
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item Soit alors $f$ la solution qui vérifie $f(0)=0$. \pause Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3}$ \pause et donc $f(0)=\lambda-\dfrac{4}{3}$. \pause On a alors~:
  $$f(0)=0 \Longleftrightarrow \pause \lambda-\dfrac{4}{3}=0 \pause \Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{4}{3}$$ \pause
  On a donc~:
  $$f(x)=\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3}$$ \pause
  \item On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~: \pause
  $$f'(x)= \pause\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x} \pause =2\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}$$ \pause
  Et donc~:
  $$f'(1) = \pause 2\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}\times 1} \pause =2\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}$$ \pause
  \leftskip=1.3cm
  Et le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$ est égal au nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{itemize}
  \item \label{ch17_ex3_q11} \textbf{Limite en $\mathbf{-\infty}$~:} \pause
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty} \pause \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty \end{cases}$$ \pause
  \item \textbf{Limite en $\mathbf{+\infty}$~:}\\ \pause
  Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f(x)=x^2\mathrm{e}^{-x}-4\mathrm{e}^{-x} \pause =\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}-4\mathrm{e}^{-x}$ \pause d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0} \pause \quad \text{car} \quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}=0 \quad \textsl{(par croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}4\mathrm{e}^{-x}=0 \end{dcases}$$
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(x) & = & \pause 2x\times \mathrm{e}^{-x}+(x^2-4)\times (-\mathrm{e}^{-x})\\ \pause
        & = & (-x^2+2x+4)\mathrm{e}^{-x} \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=(-x^2+2x+4)\mathrm{e}^{-x}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ \pause donc $f'(x)$ est du signe de $-x^2+2x+4$. \pause Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet deux racines~: $1-\sqrt{5}$ et $1+\sqrt{5}$. \pause Et il est négatif à l'extérieur de l'intervalle des racines, \pause d'où le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2., espcl=2.2]%
{$x$ /0.6,
$f'(x)$ /0.6,
$f(x)$ /2.}
{ $-\infty$ , $1-\sqrt{5}$ , $1+\sqrt{5}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , - , z , + , z , - , }
\tkzTabVar {+/$+\infty$ , -/$f(1-\sqrt{5})$ , +/$f(1+\sqrt{5})$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 2}


\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On a~:
 \begin{eqnarray*}
  I_0 & = & \pause \int_{-2}^0\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
      & = & \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^0\\ \pause
      & = & -\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{-(-2)}\\ \pause
      & = & \mathrm{e}^{2}-1 \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc~:
$$\boxed{I_0=\mathrm{e}^2-1}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a $I_{n+1}=\displaystyle \int_{-2}^0x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$. \pause Posons alors, pour tout $x\in\left[-2\,;\,0\right]$~: \pause
 $$\begin{cases}u(x)=x^{n+1}\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x} \end{cases} \pause \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=(n+1)x^{n}\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x} \end{cases}$$ \pause
 On a alors, par intégration par parties~:
 \begin{eqnarray*}
  I_{n+1} & = & \pause \Big[-x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^0-\int_{-2}^0-(n+1)x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
          & = & 2^{n+1}\mathrm{e}^{2}+(n+1)\int_{-2}^0x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
          & = & 2^{n+1}\mathrm{e}^{2}+(n+1)I_n
 \end{eqnarray*} \pause
 \leftskip=1.3cm
Soit~:
 $$\boxed{I_{n+1}=(-2)^{n+1}\mathrm{e}^2+(n+1)I_n}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item On calcule alors, de proche en proche~: \pause
 $$I_1= \pause (-2)^{1}\mathrm{e}^2+I_0 \pause =-2\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2}-1 \pause =-\mathrm{e}^2-1$$ \pause
 Et~:
 $$I_2= \pause (-2)^{2}\mathrm{e}^2+2I_1 \pause =4\mathrm{e}^2+2(-\mathrm{e}^2-1) \pause =2\mathrm{e}^2-2$$ \pause
 Soit~:
 $$\boxed{I_1=-\mathrm{e}^2-1} \quad \text{et} \quad \boxed{I_2=2\mathrm{e}^2-2}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 3}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ \pause donc $f(x)$ est du signe de $x^2-4$. \pause Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet $-2$ et $2$ pour racines et qui est positif à l'extérieur de l'intervalle des racines. \pause On en déduit le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2., espcl=2.]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /0.7}
{ $-\infty$ , $-2$ , $2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , + , z , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La fonction $f$ étant négative entre $-2$ et $0$, \pause il s'agit de calculer la valeur opposée de l'intégrale $\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x$. \pause Or~:
 \begin{eqnarray*}
  \int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x & = & \pause \int_{-2}^0 (x^2-4)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
         & = & \int_{-2}^0 x^2\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x-4\int_{-2}^0 \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
         & = & I_2-4I_0\\ \pause
         & = & 2\mathrm{e}^2-2-4(\mathrm{e}^{2}-1)\\ \pause
         & = & 2\mathrm{e}^2-2-4\mathrm{e}^{2}+4\\ \pause
         & = & -2\mathrm{e}^2+2 \pause
 \end{eqnarray*}

\vspace{-0.2cm}

La valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ su domaine $D$ est donc~: \pause

\vspace{-0.1cm}

$$\boxed{-\int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=2(\mathrm{e}^2-1)}$$
\end{enumerate}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4 - Partie 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\\0 \end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\2 \end{pmatrix}$ \pause d'où~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}= \pause2\times -3+3\times 2+3\times 0 \pause =-6+6 \pause =0$ \pause
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= \pause 2\times -3+3\times 0+3\times 2 \pause =-6+6 \pause =0$ \pause
 \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, \pause on en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $(ABC)$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Le plan $(ABC)$ admettant le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\3 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal, \pause il admet une équation cartésienne de la forme~:
 $$2x+3y+3z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
 De plus, le point $A$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation, \pause soit $2\times 3+3\times 0+3\times 0+d=0$ \pause et donc $d=-6$. \pause Une équation du plan $(ABC)$ est donc~: \pause
 $$\boxed{2x+3y+3z-6=0}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item La droite $d$ passe par $O(0\,;\,0\,;\,0)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\3 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur, \pause elle admet donc pour représentation paramétrique~: \pause
 $$\boxed{\begin{cases}x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation cartésienne du plan $(ABC)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  2\times 2t+3\times 3t+3\times 3t-6=0 & \Longleftrightarrow & \pause 4t+9t+9t-6=0\\ \pause
                                       & \Longleftrightarrow & 22t=6\\ \pause
                                       & \Longleftrightarrow & t=\dfrac{3}{11}
 \end{eqnarray*} \pause
Le point $H$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{3}{11}$ dans la représentation paramétrique de $d$, \pause soit~:
$$\boxed{H\left(\dfrac{6}{11}\,;\,\dfrac{9}{11}\,;\,\dfrac{9}{11}\right)}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item Le point $H$ étant le point d'intersection du plan $(ABC)$ avec la droite passant par $O$ perpendiculairement à ce plan, \pause il s'agit du projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$. \pause La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est donc la distance $OH$. \pause
 \begin{eqnarray*}
  OH & = & \pause \sqrt{\left(\dfrac{6}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2+\left(\dfrac{6}{11}\right)^2}\\ \pause
     & = & \sqrt{\dfrac{6^2+9^2+9^2}{11^2}}\\ \pause
     & = & \dfrac{\sqrt{198}}{11}\\ \pause
     & = & \dfrac{3\sqrt{22}}{11} \pause
 \end{eqnarray*}
La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est donc~: \pause
$$\boxed{\dfrac{3\sqrt{22}}{11}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 2}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Pour calculer le volume $\mathscr{V}$ du tétraèdre $OABC$, on peut choisir pour base la face $OAB$, la hauteur correspondante est alors $OC$. \pause L'aire de la base $OAB$ est alors~:
 $$\mathscr{A}_{OAB}= \pause\dfrac{OA\times OB}{2} \pause =\dfrac{3\times 2}{2} \pause =3$$ \pause
 On a alors~:
 $$\mathscr{V}= \pause \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{OAB}\times OC \pause =\dfrac{1}{3}\times 3\times 2 \pause=2$$ \pause
 Le volume du tétraèdre $OABC$ est donc~: \pause
 $$\boxed{\mathscr{V}=2}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch17_ex4_q22} Dans le tétraèdre $0ABC$, si on choisit $ABC$ pour base alors la hauteur correspondante est $OH$ \pause et, en notant $\mathscr{A}_{OAB}$ l'aire du triangle $ABC$, le volume est donné par la formule~: \pause
 $$\mathscr{V}= \pause \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABC}\times OH \pause =\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABC}\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11} \pause =\dfrac{\sqrt{22}}{11}\mathscr{A}_{ABC}$$ \pause
 Et comme, d'après la question précédente, ce volume est égal à $2$, \pause on a~:
 $$\dfrac{\sqrt{22}}{11}\mathscr{A}_{ABC}=2$$ \pause
 D'où~:
 $$\mathscr{A}_{ABC}= \pause 2\times \dfrac{11}{\sqrt{22}} \pause =\dfrac{22}{\sqrt{22}} \pause =\sqrt{22}$$ \pause
L'aire du triangle $ABC$ est donc~: \pause
$$\boxed{\mathscr{A}_{ABC}=\sqrt{22}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les aires des faces $OAB$, $OAC$ et $OBC$ sont respectivement~: \pause
 $$\mathscr{A}_{OAB}=3 \pause \qquad \mathscr{A}_{OAC}=\dfrac{3\times 2}{2}=3 \pause \qquad \mathscr{A}_{OBC}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$$ \pause
 On a alors d'une part~:
 $$\mathscr{A}_{ABC}^2= \pause \sqrt{22}^2 \pause =22$$ \pause
 Et d'autre part~:
 $$\mathscr{A}_{OAB}^2+\mathscr{A}_{OAC}^2+\mathscr{A}_{OBC}^2= \pause 3^2+3^2+2^2 \pause =9+9+4 \pause =22$$ \pause
 On a donc bien~:
 $$\boxed{\mathscr{A}_{ABC}^2=\mathscr{A}_{OAB}^2+\mathscr{A}_{OAC}^2+\mathscr{A}_{OBC}^2}$$
\end{enumerate}

\end{frame}


\end{document}








