\chapter{Amérique du sud - 21 novembre 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Répartition des groupes sanguins}\label{17.1}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France~:


\begin{center}
 \pgfplotsset{width=13cm,compat=1.18,tick label style={font=\footnotesize},label style={font=\footnotesize},
legend style={font=\footnotesize}}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    ybar=2pt, % Décalage de barre
    bar width=10pt,
    %enlarge x limits=0.1,
    %enlarge y limits=0.2,
    ymin=0,
    legend style={at={(0.5,-0.25)},
    anchor=north,legend columns=-1},
    ylabel={Partie des français (en \%)},
    symbolic x coords={A+,O+,B+,A-,O-,AB+,B-,AB-},
    xtick=data,
    nodes near coords,
    nodes near coords align={vertical},
    x tick label style={rotate=45,anchor=east}
]
    \addplot coordinates {
        (A+,38.2) (O+,36.5) (B+,7.7) (A-,6.8) (O-,6.5) (AB+,2.5) (B-,1.4) (AB-,0.4)
    };

\end{axis}
\end{tikzpicture}\\
\vspace{-0.3cm}
{\small Source : \underline{https://statista.com/statistiques/656036/groupes-sanguins-repartition-rh-france/}}
\end{center}

\medskip

A+, O+, B+, A-, O-, AB+, B- et AB- sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.\\
Par exemple~: A+ est le groupe sanguin A de rhésus +.\\
Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.\\
Dans l'exercice, on adopte les notations du type~:
\begin{itemize}
 \item $A+$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus +\fg{}
 \item $A-$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus -\fg{}
 \item $A$ est l'événement \og la personne est de groupe sanguin A\fg{}
\end{itemize}

\medskip
\textit{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}
\medskip

\textbf{Partie 1}\\
On note $Rh+$ l'événement \og La personne est de rhésus positif \fg{}.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
 \item Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A)=0,450$ à $0,001$ près.
 \item Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif~? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}\\
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.\\
Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5~\% de la population est de groupe O-.
\begin{enumerate}
 \item On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
  \item On considère la fonction ci-dessous nommée \pyv{proba} d'argument \pyv{k} écrite en langage Python.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def proba(k) :
   p = 0
   for i in range(k+1) :
      p = p + binomiale(i,50,0.065)
   return p
\end{pyverbatim}

Cette fonction utilise la fonction \pyv{binomiale} d'arguments \pyv{i}, \pyv{n} et \pyv{p}, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.\\
Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \pyv{proba} lorsqu'on saisit \pyv{proba(8)} dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}
 \item Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie 1}
\begin{enumerate}
 \item Le pourcentage de personnes de rhésus positif est égale à $38,2+36,5+7,7+2,5=84,9$. La proportion de personnes de rhésus positif est donc égale à $0,849$ donc la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est~:
 $$\boxed{P(Rh+)=0,849}$$

 \item On a~:
 \begin{align*}
  P_{Rh+}(A) & = \dfrac{P(A\cap Rh+)}{P(Rh+)}\\
             & = \dfrac{P(A+)}{P(Rh+)}\\
             & = \dfrac{0,382}{0,849}\\
             & \approx 0,450
 \end{align*}
La probabilité que la personne soit du groupe A sachant qu'elle est de rhésus positif est donc~:
$$\boxed{P_{Rh+}(A)=0,450}$$

 \item Il s'agit de calculer $P_{AB}(Rh-)$~:
 \begin{align*}
  P_{AB}(Rh-) & = \dfrac{P(AB\cap Rh-)}{P(AB)}\\
              & = \dfrac{P(AB-)}{P(AB)}\\
              & = \dfrac{0,004}{0,029} \quad \textsl{(car $P(AB)=P(AB+)+P(AB-)$)}\\
              & \approx 0,138
 \end{align*}
La probabilité que son rhésus soit négatif sachant que la personne est du groupe AB est donc~:
$$\boxed{P_{AB}(Rh-)\approx 0,138}$$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch17_ex1_q21a} On répète 50 fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (la personne est un donneur universel) est égale à $0,065$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,065$.\\
  On obtient alors, à l'aide de la calculatrice que la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels est~:
  $$\boxed{P(X=8)\approx 0,010}$$
  \item La commande \pyv{proba(k)} renvoie la somme, pour $i$ variant entre $0$ et $k$, des probabilités $P(X=i)$. Elle renvoie donc la valeur de $P(X\leqslant k)$. La commande \pyv{proba(8)} renvoie donc la probabilité que parmi les 50 personnes, au plus 8 soient des donneurs universels, soit~:
  $$\boxed{P(X\leqslant 8)\approx 0,995}$$

 \end{enumerate}
 \item On choisit $n$ personnes dans la population française et on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi ces $n$ personnes. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065$. La probabilité qu'aucune personne de l'échantillon ne soit donneur universel est $P(Y=0)=(1-0,065)^n=0,935^n$. Par passage à l'événement contraire, la probabilité qu'au moins une personne soit donneur universel est~:
 $$P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)=1-0,935^n$$
 On a alors~:
 \begin{align*}
  P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,999 & \Longleftrightarrow 1-0,935^n\geqslant 0,999\\
                                 & \Longleftrightarrow 0,935^n\leqslant 0,001\\
                                 & \Longleftrightarrow \ln\left(0,935^n\right)\leqslant \ln(0,001)\\
                                 & \Longleftrightarrow n\ln(0,935)\leqslant \ln(0,001)\\
                                 & \Longleftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)} \quad \textsl{(car $\ln(0,935)<0$)}
 \end{align*}
Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)}\approx 102,8$.
Le nombre minimal de personnes à choisir pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel soit supérieure à $0,999$ est donc~:
$$\boxed{n=103}$$
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex1_q21a}, on peut, soit utiliser directement la fonction da la calculatrice calculant les probabilités dans le cas d'une loi binomiale donnée, soit appliquer la formule~:
 $$P(X=8)=\binom{50}{8}\times 0,065^8\times 0,935^{42}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

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\section{Une suite et une équation différentielle dans un vrai-faux}\label{17.2}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
Cet exercice contient 5 affirmations.\\
Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.\\
Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

\medskip
\textbf{Partie 1}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2$.
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 1~:} La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par $0$.
 \item \textbf{Affirmation 2~:} $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.
 \item \textbf{Affirmation 3~:} La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-3$ est géométrique.
\end{enumerate}


\medskip
\textbf{Partie 2}\\
On considère l'équation différentielle $(E)$~: $y'=\dfrac{3}{2}y+2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 4~:} Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$.
 \item Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j})$ on note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ tel que $f(0)=0$.\\
 \textbf{Affirmation 5~:} La tangente au point d'abscisse $1$ de $\mathscr{C}_f$ a pour coefficient directeur $2\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}$.
\end{enumerate}

\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie 1}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
 Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\
  Pour $n=0$, on a $u_0=10$ et $u_1=\dfrac{1}{3}\times 10+2=\dfrac{16}{3}\approx 5,33$. On a donc bien $0\leqslant u_1\leqslant u_0$ et la propriété est vraie au rang $n=0$.
  \item \textbf{Hérédité~:}\\
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~:
  $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$
  On a alors, en multipliant par $\dfrac{1}{3}$~:
  $$0\leqslant \dfrac{1}{3}u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{3}u_n$$
  Puis, en ajoutant $2$~:
  $$2\leqslant \dfrac{1}{3}u_{n+1}+2\leqslant \dfrac{1}{3}u_n+2$$
  Soit~:
  $$2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
  Et donc a fortiori~:
  $$0\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
  \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$
  Cela prouve que la suite $(u_n)$ est décroissante (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) et minorée par $0$ (car $0\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$).
 \end{itemize}

 \item \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\
 La suite $(u_n)$ étant décroissante et minorée, elle converge vers une limite $l$. Et comme la suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$ et que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, on sait que la limite $l$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. Or~:
 \begin{align*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}x+2=x\\
         & \Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}x=2\\
         & \Longleftrightarrow x=2\times \dfrac{3}{2}\\
         & \Longleftrightarrow x=3
 \end{align*}
 La fonction $f$ admet donc $3$ pour unique point fixe, on en déduit que $l=3$, soit $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3$.

 \item \label{ch17_ex2_q3} \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{align*}
  v_{n+1} & = u_{n+1}-3\\
          & = \dfrac{1}{3}u_n+2-3\\
          & = \dfrac{1}{3}u_n-1\\
          & = \dfrac{1}{3}\left(u_n-3\right)\\
          & = \dfrac{1}{3}v_n
 \end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
 Soit $k\in\mathbb{R}$ et $f$ la fonction constante définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=k$. On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=0$ et donc~:
 \begin{align*}
  f'(x)=\dfrac{3}{2}f(x)+2 & \Longleftrightarrow 0=\dfrac{3}{2}k+2\\
                           & \Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}k=-2\\
                           & \Longleftrightarrow k=-2\times \dfrac{2}{3}\\
                           & \Longleftrightarrow k=-\dfrac{4}{3}
 \end{align*}
La fonction constante $x\mapsto -\dfrac{4}{3}$ est donc solution de $(E)$.

 \item \textbf{Affirmation 5~:}\\
 \begin{itemize}
  \item L'équation homogène associée $y'=\dfrac{3}{2}y$ admet pour solutions les fonctions de la forme~:
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
  \item On a vue, dans la question précédente, que l'équation différentielle $(E)$ admettait pour solution particulière la fonction~:
  $$x\mapsto -\dfrac{4}{3}$$
  \item Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme~:
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
  \item Soit alors $f$ la solution qui vérifie $f(0)=0$. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\lambda \mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3}$ et donc $f(0)=\lambda-\dfrac{4}{3}$. On a alors~:
  $$f(0)=0 \Longleftrightarrow \lambda-\dfrac{4}{3}=0 \Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{4}{3}$$
  On a donc~:
  $$f(x)=\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}-\dfrac{4}{3}$$
  \item On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  $$f'(x)=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}=2\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}x}$$
  Et donc~:
  $$f'(1)=2\mathrm{e}^{{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}\times 1}=2\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{3}{2}$}}$$
  Et le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$ est égal au nombre dérivé de $f$ en $1$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex2_q3} de la partie 1, pour montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, on peut également remarquer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=u_n-3$ donc $u_n=v_n+3$. On peut alors \og dérouler \fg{} le calcul de la façon suivante~:
 \begin{align*}
  v_{n+1} & = u_{n+1}-3\\
          & = \dfrac{1}{3}u_n+2-3\\
          & = \dfrac{1}{3}u_n-1\\
          & = \dfrac{1}{3}\left(v_n+3\right)-1\\
          & = \dfrac{1}{3}v_n+1-1\\
          & = \dfrac{1}{3}v_n
 \end{align*}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
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\section{Une intégration par parties pour calculer une aire}\label{17.3}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
\textbf{Partie 1}\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par~:
$$f(x)=(x^2-4)\mathrm{e}^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
 \item Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=(-x^2+2x+4)\mathrm{e}^{-x}$.
 \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie 2}\\
On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n=\displaystyle \int_{-2}^0x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $I_0=\mathrm{e}^2-1$.
 \item En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité~:
 $$I_{n+1}=(-2)^{n+1}\mathrm{e}^2+(n+1)I_n$$
 \item En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie 3}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
 \item On a représenté ci-contre la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j})$.

 \medskip

 Le domaine $\bm{D}$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

 \medskip

 Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $\bm{D}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-9)(5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{-}(0,0)(-3,-9)(5,2)
\pscustom[hatchcolor=gray,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot{-2}{0}{(x*x-4)*EXP(-x)}\lineto(0,0)\lineto(-2,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{8.0}{(x*x-4)*EXP(-x)}
\rput[tl](-1.4,-2.7){$\bm{D}$}
\rput[tl](-3,1.4){$\mathscr{C}_f$}
\rput[tl](-0.8,-0.3){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[tl](0.3,-0.2){$\overrightarrow{i}$}
\rput[tl](-0.9,1.3){$\overrightarrow{j}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie 1}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{itemize}
  \item \label{ch17_ex3_q11} \textbf{Limite en $\bm{-\infty}$~:}
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty} \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty \end{cases}$$
  \item \textbf{Limite en $\bm{+\infty}$~:}\\
  Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f(x)=x^2\mathrm{e}^{-x}-4\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}-4\mathrm{e}^{-x}$ d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0} \quad \text{car} \quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}=0 \quad \textsl{(par croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}4\mathrm{e}^{-x}=0 \end{dcases}$$
 \end{itemize}

 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 2x\times \mathrm{e}^{-x}+(x^2-4)\times (-\mathrm{e}^{-x})\\
        & = (-x^2+2x+4)\mathrm{e}^{-x}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=(-x^2+2x+4)\mathrm{e}^{-x}}$$
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x^2+2x+4$. Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet deux racines~: $1-\sqrt{5}$ et $1+\sqrt{5}$. Et il est négatif à l'extérieur de l'intervalle des racines, d'où le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2.3, espcl=2.8]%
{$x$ /0.8,
$f'(x)$ /0.8,
$f(x)$ /2.3}
{ $-\infty$ , $1-\sqrt{5}$ , $1+\sqrt{5}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , - , z , + , z , - , }
\tkzTabVar {+/$+\infty$ , -/$f(1-\sqrt{5})$ , +/$f(1+\sqrt{5})$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 \begin{align*}
  I_0 & = \int_{-2}^0\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
      & = \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^0\\
      & = -\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{-(-2)}\\
      & = \mathrm{e}^{2}-1
 \end{align*}
On a donc~:
$$\boxed{I_0=\mathrm{e}^2-1}$$
 \item On a $I_{n+1}=\displaystyle \int_{-2}^0x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$. Posons alors, pour tout $x\in\left[-2\,;\,0\right]$~:
 $$\begin{cases}u(x)=x^{n+1}\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=(n+1)x^{n}\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x} \end{cases}$$
 On a alors, par intégration par parties~:
 \begin{align*}
  I_{n+1} & = \Big[-x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^0-\int_{-2}^0-(n+1)x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
          & = 2^{n+1}\mathrm{e}^{2}+(n+1)\int_{-2}^0x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
          & = 2^{n+1}\mathrm{e}^{2}+(n+1)I_n
 \end{align*}
Soit~:
 $$\boxed{I_{n+1}=(-2)^{n+1}\mathrm{e}^2+(n+1)I_n}$$
 \item On calcule alors, de proche en proche~:
 $$I_1=(-2)^{1}\mathrm{e}^2+I_0=-2\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2}-1=-\mathrm{e}^2-1$$
 Et~:
 $$I_2=(-2)^{2}\mathrm{e}^2+2I_1=4\mathrm{e}^2+2(-\mathrm{e}^2-1)=2\mathrm{e}^2-2$$
 Soit~:
 $$\boxed{I_1=-\mathrm{e}^2-1} \quad \text{et} \quad \boxed{I_2=2\mathrm{e}^2-2}$$
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie 3}
\begin{enumerate}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f(x)$ est du signe de $x^2-4$. Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet $-2$ et $2$ pour racines et qui est positif à l'extérieur de l'intervalle des racines. On en déduit le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2.3, espcl=2.8]%
{$x$ /0.8,
$f(x)$ /0.8}
{ $-\infty$ , $-2$ , $2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , + , z , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item La fonction $f$ étant négative entre $-2$ et $0$, il s'agit de calculer la valeur opposée de l'intégrale $\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x$. Or~:
 \begin{align*}
  \int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x & = \int_{-2}^0 (x^2-4)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
         & = \int_{-2}^0 x^2\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x-4\int_{-2}^0 \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
         & = I_2-4I_0\\
         & = 2\mathrm{e}^2-2-4(\mathrm{e}^{2}-1)\\
         & = 2\mathrm{e}^2-2-4\mathrm{e}^{2}+4\\
         & = -2\mathrm{e}^2+2\\
         & = -2(\mathrm{e}^2-1)\\
 \end{align*}
La valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $\bm{D}$ est donc~:
$$\boxed{-\int_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=2(\mathrm{e}^2-1)}$$
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex3_q11}, pour la limite en $+\infty$, on utilise la formule de croissances comparées~:
 $$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}=0$$
 Ce n'est pas exactement la formule du cours qui est~:
 $$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2}=+\infty$$
 Si l'on veut être vraiment rigoureux et se ramener à la formule du cours, on peut écrire, pour tout $x\neq 0$~:
 $$\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}=\dfrac{1}{\mfrac{\mathrm{e}^x}{x^2}}$$
 Et ainsi, comme le dénominateur tend vers $+\infty$, le quotient tend vers $0$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aires des faces d'un tétraèdre}\label{17.4}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,;\,\overrightarrow{k})$.\\
On considère les trois points $A(3\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,2)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psplot{-4}{0}{(-0-2*x)/-3}
\psplot{0}{4}{(-0-0*x)/2}
\psline(0,0)(0,4)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(-1,-0.67)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)
\rput[tl](-0.95,0.1){$\overrightarrow{i}$}
\rput[tl](0.5,0.57){$\overrightarrow{j}$}
\rput[tl](-0.46,1.03){$\overrightarrow{k}$}

\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](-3,-2)
\rput[bl](-3.2,-1.8){$A$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](1.9,0.2){$B$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,2)
\rput[bl](0.2,1.9){$C$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](-1,-0.67)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](-2,-1.33)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](1,0)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](0,1)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](3,0)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=square*,dotangle=45](0,3)

\end{pspicture*}
\end{center}

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante~:\\
\textit{\og Le carré de l'aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre $OABC$ \fg{}}.

\medskip
\textbf{Partie 1~: Distance du point $\bm{O}$ au plan $\bm{(ABC)}$}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(2\,;\,3\,;\,3)$ est normal au plan $(ABC)$.
 \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est~: $2x+3y+3z-6=0$.
 \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$.
 \item On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
 \item En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2~: Démonstration de la propriété}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.
 \item En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.
 \item Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, \textit{\og le carré de l'aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre \fg{}.}
 \medskip
\textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac{1}{3}B\times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.}
\end{enumerate}


\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie 1}
\begin{enumerate}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\\0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\2 \end{pmatrix}$ d'où~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times -3+3\times 2+3\times 0=-6+6=0$
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times -3+3\times 0+3\times 2=-6+6=0$
 \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $(ABC)$}}$$

 \item Le plan $(ABC)$ admettant le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\3 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal, il admet une équation cartésienne de la forme~:
 $$2x+3y+3z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
 \begin{sloppypar}
 De plus, le point $A$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation, soit ${2\times 3+3\times 0+3\times 0+d=0}$ et donc $d=-6$. Une équation du plan $(ABC)$ est donc~:
 $$\boxed{2x+3y+3z-6=0}$$
 \end{sloppypar}
 \item La droite $d$ passe par $O(0\,;\,0\,;\,0)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\3\\3 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur, elle admet donc pour représentation paramétrique~:
 $$\boxed{\begin{cases}x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}}$$
 \item On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation cartésienne du plan $(ABC)$~:
 \begin{align*}
  2\times 2t+3\times 3t+3\times 3t-6=0 & \Longleftrightarrow 4t+9t+9t-6=0\\
                                       & \Longleftrightarrow 22t=6\\
                                       & \Longleftrightarrow t=\dfrac{3}{11}
 \end{align*}
Le point $H$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{3}{11}$ dans la représentation paramétrique de $d$, soit~:
$$\boxed{H\left(\dfrac{6}{11}\,;\,\dfrac{9}{11}\,;\,\dfrac{9}{11}\right)}$$

 \item Le point $H$ étant le point d'intersection du plan $(ABC)$ avec la droite passant par $O$ perpendiculairement à ce plan, il s'agit du projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$. La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est donc la distance $OH$.
 \begin{align*}
  OH & = \sqrt{\left(\dfrac{6}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2+\left(\dfrac{6}{11}\right)^2}\\
     & = \sqrt{\dfrac{6^2+9^2+9^2}{11^2}}\\
     & = \dfrac{\sqrt{198}}{11}\\
     & = \dfrac{3\sqrt{22}}{11}
 \end{align*}
La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est donc~:
$$\boxed{\dfrac{3\sqrt{22}}{11}}$$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
 \item Pour calculer le volume $\mathscr{V}$ du tétraèdre $OABC$, on peut choisir pour base la face $OAB$, la hauteur correspondante est alors $OC$. L'aire de la base $OAB$ est alors~:
 $$\mathscr{A}_{OAB}=\dfrac{OA\times OB}{2}=\dfrac{3\times 2}{2}=3$$
 On a alors~:
 $$\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{OAB}\times OC=\dfrac{1}{3}\times 3\times 2=2$$
 Le volume du tétraèdre $OABC$ est donc~:
 $$\boxed{\mathscr{V}=2}$$
 \item \label{ch17_ex4_q22} Dans le tétraèdre $0ABC$, si on choisit $ABC$ pour base alors la hauteur correspondante est $OH$ et, en notant $\mathscr{A}_{OAB}$ l'aire du triangle $ABC$, le volume est donné par la formule~:
 $$\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABC}\times OH=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABC}\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}=\dfrac{\sqrt{22}}{11}\mathscr{A}_{ABC}$$
 Et comme, d'après la question précédente, ce volume est égal à $2$, on a~:
 $$\dfrac{\sqrt{22}}{11}\mathscr{A}_{ABC}=2$$
 D'où~:
 $$\mathscr{A}_{ABC}=2\times \dfrac{11}{\sqrt{22}}=\dfrac{22}{\sqrt{22}}=\sqrt{22}$$
L'aire du triangle $ABC$ est donc~:
$$\boxed{\mathscr{A}_{ABC}=\sqrt{22}}$$

 \item Les aires des faces $OAB$, $OAC$ et $OBC$ sont respectivement~:
 $$\mathscr{A}_{OAB}=3 \qquad \mathscr{A}_{OAC}=\dfrac{3\times 2}{2}=3 \qquad \mathscr{A}_{OBC}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$$
 On a alors d'une part~:
 $$\mathscr{A}_{ABC}^2=\sqrt{22}^2=22$$
 Et d'autre part~:
 $$\mathscr{A}_{OAB}^2+\mathscr{A}_{OAC}^2+\mathscr{A}_{OBC}^2=3^2+3^2+2^2=9+9+4=22$$
 On a donc bien~:
 $$\boxed{\mathscr{A}_{ABC}^2=\mathscr{A}_{OAB}^2+\mathscr{A}_{OAC}^2+\mathscr{A}_{OBC}^2}$$
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex4_q22}, juste une petite simplification que je n'ai pas détaillée~:
 $$\dfrac{22}{\sqrt{22}}=\dfrac{\sqrt{22}^2}{\sqrt{22}}=\sqrt{22}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

