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}{}




\begin{document}



\title{Amérique du sud - 20 novembre 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  g'(x) & = & \pause a\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}+ax\times \left(-\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}\right)\\ \pause
       & = & a\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}-\dfrac{1}{4}ax\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}\\ \pause
       & = & \left(a-\dfrac{1}{4}ax\right)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}
 \end{eqnarray*} \pause
 Et donc~:
 $$g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)= \pause \left(a-\dfrac{1}{4}ax\right)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}+\dfrac{1}{4}ax\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x} \pause =a\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}$$ \pause
 \leftskip=1.2cm
 La condition pour que $g$ soit solution de $(E)$ est donc~: \pause
 $$\boxed{a=20}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Les solutions de l'équation différentielle $(E')$ sont les fonctions de la forme~: \pause
 $$\boxed{x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions de la forme~: \pause
 $$x\mapsto 20x\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}+\lambda \mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$ \pause
 Soit~:
 $$\boxed{x\mapsto (20x+\lambda)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, posons $f(x)=(20x+\lambda)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}$. \pause On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  f(0)=8 & \Longleftrightarrow & \pause (20\times 0+\lambda)\mathrm{e}^{0}=8\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \lambda=8
 \end{eqnarray*} \pause
On a donc, pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
$$\boxed{f(x)=(20x+8)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a vu que la fonction $f$ était solution de l'équation différentielle $y'+\dfrac{1}{4}y=20\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}$, \pause on a donc, pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
  $$f'(x)= \pause -\dfrac{1}{4}f(x)+20\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x} \pause =(-5x-2+20)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}=(18-5x)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}$$ \pause
  Soit~:
  $$\boxed{f'(x)=(18-5x)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, $\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}$}}x}>0$ \pause donc $f'(x)$ est du signe de $18-5x$ \pause d'où le tableau~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=3]%
{$x$ /1,
$f'(x)$ /1,
$f(x)$ /2.3}
{ $0$  , $\mfrac{18}{5}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$8$ , +/$f\left(\mfrac{18}{5}\right)$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
Avec $f\left(\dfrac{18}{5}\right)= \pause \left(20\times \dfrac{18}{5}+8\right)\mathrm{e}^{-{\text{\footnotesize$\frac{1}{4}\times \frac{18}{5}$}}} \pause =80\mathrm{e}^{-0,9}$. \pause Le maximum de $f$ est donc atteint en $\dfrac{18}{5}$ \pause et vaut~:
$$\boxed{f\left(\dfrac{18}{5}\right)=80\mathrm{e}^{-0,9}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Sur l'intervalle $\left[14\,;\,15\right]$, \pause la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. \pause De plus $f(14)\approx 8,7>8$ \pause et $f(15)\approx 7,2<8$ \pause donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \pause l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[14\,;\,15\right]$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch15_ex1_qB2b} On obtient~: \pause

 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|C{3.cm}|C{1.cm}|C{1.cm}|C{1.cm}|C{1.1cm}|C{1.1cm}|}
 \hline
  \cellcolor{black!20} $a$ & $14$ & $14$ & $14,25$ & $14,375$ & $14,4375$ \\ \hline
  \cellcolor{black!20} $b$ & $15$ & $14,5$ & $14,5$ & $14,5$ & $14,5$ \\ \hline
  \cellcolor{black!20} $b-a$ & $1$ & $0,5$ & $0,25$ & $0,125$ & $0,0625$ \\ \hline
  \cellcolor{black!20} $m$ & $14,5$ & $14,25$ & $14,375$ & $14,4375$ & \cellcolor{black!40} \\ \hline
  \cellcolor{black!20} Condition $f(m)>8$ & {\footnotesize FAUX} & {\footnotesize VRAI} & {\footnotesize VRAI} & {\footnotesize VRAI} & \cellcolor{black!40} \\ \hline
 \end{tabular}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item La fonction \pyv{solution_equation} donne un encadrement d'amplitude inférieur à $0,1$ de $\alpha$. \pause Ainsi on a~:
 $$\boxed{14,4375<\alpha<14,5}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Après avoir pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$, on place cette boule dans l'urne $U_2$. \pause Il y a alors 1 boule noire et 4 boules blanches dans l'urne $U_2$. \pause La probabilité de tirer une boule noire dans l'urne $U_2$ est donc égale à $\dfrac{1}{5}=0,2$. \pause Ainsi la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$ est~: \pause
  $$\boxed{P_{\overline{N_1}}(N_2)=0,2}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On obtient les autres probabilités à l'aide d'un raisonnement similaire et on obtient l'arbre~: \pause
  \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=21mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N_1$}\taput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_2$}\taput{\footnotesize $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N_2}$}\tbput{\footnotesize $0,6$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N_1}$}\tbput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_2$}\taput{\footnotesize $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N_2}$}\tbput{\footnotesize $0,8$}
}
}
 \end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(N_1\cap N_2)$~: \pause
 $$P(N_1\cap N_2)= \pause P(N_1)\times P_{N_1}(N_2) \pause =0,4\times 0,4 \pause =0,16$$ \pause
 La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ et une boule noire dans l'urne $U_2$ est donc~: \pause
 $$\boxed{P(N_1\cap N_2)=0,16}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les événements $N_1$ et $N_2$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(N_2) & = & \pause P(N_1)\times P_{N_1}(N_2)+P(\overline{N_1})\times P_{\overline{N_1}}(N_2)\\ \pause
      & = & 0,4\times 0,4+0,6\times 0,2\\ \pause
      & = & 0,16+0,12\\ \pause
      & = & 0,28 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est donc~: \pause
$$\boxed{P(N_2)=0,28}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Il s'agit de calculer $P_{N_2}(\overline{N_1})$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_{N_2}(\overline{N_1}) & = & \pause \dfrac{P(\overline{N_1}\cap N_2)}{P(N_2)}\\ \pause
               & = & \dfrac{0,12}{0,28}\\ \pause
               & \approx & 0,43 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$ sachant qu'on a pioché une boule noire dans l'urne $U_2$ est donc~: \pause
$$\boxed{P_{N_2}(\overline{N_1})\approx 0,43}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (piocher une boule noire) est $p=0,28$. \pause La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,28$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch15_ex2_qB2} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{eqnarray*}
  1-0,72^n\geqslant 0,9 & \Longleftrightarrow & \pause 0,72^n\leqslant 0,1\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & \ln\left(0,72^n\right)\leqslant \ln(0,1)\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & n\ln(0,72)\leqslant \ln(0,1)\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & n\geqslant \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)} \quad \textsl{(car $\ln(0,72)<0$)} \pause
 \end{eqnarray*}
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)}\approx 7,01$ \pause donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,72^n\geqslant 0,9$ est~: \pause
$$\boxed{n=8}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item L'expression $1-0,72^n$ correspond à la probabilité d'obtenir au moins une boule noire piochées dans l'urne $U_2$. \pause En effet cette probabilité est~:
 $$P(X\geqslant 1)= \pause 1-P(X=0) \pause =1-0,72^n$$ \pause
 Ainsi, à partir de $n=8$, \pause on est sûr à au moints 90~\% d'avoir obtenu au moins une boule noire.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Il s'agit de déterminer le nombre de choix possibles de 2 boules parmi 10, \pause le nombre de tirages possibles de 2 boules simultanément dans l'urne $U_1$ est donc~: \pause
 $$\boxed{\binom{10}{2}=45}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Le nombre de possibilités pour le choix de la boule blanche et $\displaystyle\binom{6}{1}=6$ \pause et le nombre de possibilités pour le choix de la boule noire et $\displaystyle\binom{4}{1}=4$. \pause Le nombre de tirages possibles de 2 boules simultanément dans l'urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire est donc~: \pause
 $$\boxed{\binom{6}{1}\times \binom{4}{1}=24}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Il y a trois possibilités pour le tirage des deux boules dans l'urne $U_1$. \pause Considérons les événements~: \pause
 \begin{itemize}
  \item $A$~: \og Piocher deux boules noires dans l'urne $U_1$ \fg{} \pause
  \item $B$~: \og Piocher une boule noire et une boule blanche dans l'urne $U_1$ \fg{} \pause
  \item $C$~: \og Piocher deux boules blanches dans l'urne $U_1$ \fg{} \pause
  \item $N$~: \og Piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ \fg{} \pause
 \end{itemize}
Le nombre de tirage avec 2 boules noires est $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ \pause donc $P(A)= \pause \dfrac{6}{45} \pause =\dfrac{2}{15}$. \pause Le nombre de tirage avec une boule noire et une boule blanche est $24$ \pause donc $P(B)= \pause \dfrac{24}{45} \pause =\dfrac{8}{15}$. \pause Le nombre de tirage avec 2 boules blanches est $\displaystyle \binom{6}{2}=15$ \pause donc $P(C)= \pause \dfrac{15}{45} \pause =\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

On peut alors représenter la situtation par l'arbre~: \pause

\begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[labelsep=2pt,treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\footnotesize $\dfrac{2}{15}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{8}{15}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{2}{3}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{6}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{5}{6}$}
}
}
 \end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Les événements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
\begin{eqnarray*}
 P(N) & = & \pause P(A)\times P_A(N)+P(B)\times P_B(N)+P(C)\times P_C(N)\\ \pause
       & = & \dfrac{2}{15}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}\\ \pause
       & = & 0,3 \pause
\end{eqnarray*}
La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est donc~: \pause
$$\boxed{P(N)=0,3}$$ \pause
\leftskip=2cm
Elle est donc supérieure à celle obtenue avec l'expérience de la partie A (qui était égale à $0,28$).

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a~:
 $$-1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$$ \pause
 Donc~:
 $$24\leqslant 25+(-1)^n\leqslant 26$$ \pause
 Puis~:
 $$\dfrac{24}{n}\leqslant \dfrac{25+(-1)^n}{n}\leqslant \dfrac{26}{n}$$ \pause
 Soit~:
 $$\dfrac{24}{n}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{26}{n}$$ \pause
 \leftskip=1.3cm
 Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{24}{n}= \pause \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{26}{n} \pause =0$ \pause donc, d'après le théorème des gendarmes, \pause la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{eqnarray*}
  t_{n+1}-t_n & = & \pause \dfrac{k}{w_{n+1}}-\dfrac{k}{w_{n}}\\ \pause
              & = & \dfrac{k(1+w_n)}{w_{n}}-\dfrac{k}{w_n}\\ \pause
              & = & \dfrac{k+kw_n-k}{w_n}\\ \pause
              & = & \dfrac{kw_n}{w_n}\\ \pause
              & = & k \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.3cm
Cela prouve que la suite $(t_n)$ est arithmétique de raison $k$. \pause Et comme $k$ est strictement positif, \pause elle est strictement croissante.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\ \pause
 Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}\leqslant v_n$. \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  Pour $n=0$, \pause on a $v_0=1$ \pause et $v_1=\ln(2)\approx 0,69$ \pause donc $v_1\leqslant v_0$ \pause et la propriété est vraie. \pause
  \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire~:
  $$v_{n+1}\leqslant v_n$$ \pause
  On a alors~:
  $$1+v_{n+1}\leqslant 1+v_n$$ \pause
  Puis, en appliquant la fonction $\ln$ qui est croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
  $$\ln(1+v_{n+1})\leqslant \ln(1+v_n)$$ \pause
  Soit~:
  $$v_{n+2}\leqslant v_{n+1}$$ \pause
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause
  \leftskip=0.7cm
  \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
  La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, \pause elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause
 \end{itemize}
 \leftskip=1.1cm
On a montré que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}\leqslant v_n$. \pause Cela prouve que la suite $(v_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
 On a~:
 $$I_{n+1}=\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}}\left(\ln(x)\right)^{n+1}\,\mathrm{d}x$$ \pause
 Pour tout $x\in\left[1\,;\,\mathrm{e}\right]$, on pose~:
 $$\begin{cases}u(x)=\left(\ln(x)\right)^{n+1}\\v'(x)=1\end{cases} \pause \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=(n+1)\times \dfrac{1}{x}\times\left(\ln(x)\right)^{n}\\v(x)=x\end{cases}$$ \pause
 On a, par intégration par parties~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  \int_1^{\mathrm{e}}\left(\ln(x)\right)^{n+1}\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[x\left(\ln(x)\right)^{n+1}\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\dfrac{n+1}{x}\times\left(\ln(x)\right)^{n}\times x\,\mathrm{d}x\\ \pause
  & = & \mathrm{e}\left(\ln(\mathrm{e})\right)^{n+1}-\left(\ln(1)\right)^{n+1}-\int_1^{\mathrm{e}}(n+1)\left(\ln(x)\right)^{n}\,\mathrm{d}x\\ \pause
  & = & \mathrm{e}-(n+1)\int_1^{\mathrm{e}}\left(\ln(x)\right)^{n}\,\mathrm{d}x\\ \pause
  & = & \mathrm{e}-(n+1)I_n \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.2cm
 On a donc bien~:
$$I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n$$
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item La droite $(d_1)$ passe par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. \pause Elle admet donc pour représentation paramétrique~: \pause
 $$\boxed{\begin{cases}x=1+t'\\y=2+2t'\\z=-1\end{cases} \quad \text{avec $t'\in\mathbb{R}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La droite $(d_1)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix}$ et la droite $(d_2)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$. \pause Leurs vecteurs directeurs n'étant pas colinéaires, \pause les droites ne sont pas parallèles. \pause Étudions leur intersection~: \pause
 $$\begin{cases}1+t'=0\\2+2t'=1+t\\-1=2+t\end{cases} \Longleftrightarrow \pause \begin{cases}t'=-1\\0=-2\\t=-3\end{cases}$$ \pause
 \leftskip=1.3cm
 Ce système étant impossible, il n'admet aucune solution. \pause Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont donc pas sécantes.\\ \pause
 On a montré qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles donc~: \pause
 $$\boxed{\text{Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas coplanaires}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch15_ex4_q3} Considérons le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}$. \pause On a~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_1}= \pause -2\times 1+1\times 2+5\times 0 \pause =-2+2 \pause =0$ \pause
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{w}= \pause -2\times 2+1\times (-1)+5\times 1 \pause =-4-1+5 \pause =0$ \pause
 \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$, \pause il est normal à ce plan. \pause Le plan $\mathscr{P}$ admet donc une équation de la forme $-2x+y+5z+d=0$. \pause Et comme le point $A$ appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation, \pause soit $-2+2-5+d=0$ \pause et donc $d=5$. \pause Le plan $\mathscr{P}$ admet donc pour équation cartésienne~: \pause
$$-2x+y+5z+5=0$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La droite $(d_2)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$ \pause et le plan $\mathscr{P}$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}$. \pause Or~:
  $$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_2}= \pause -2\times 0+1\times 1+5\times 1 \pause =6 \pause \neq 0$$
  Le vecteur $\overrightarrow{u_2}$ n'étant pas orthogonal au vecteur $\overrightarrow{n}$, \pause la droite $(d_2)$ n'est pas parallèle au plan $\mathscr{P}$. \pause On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La droite $(d_2)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On vérifie que~: \pause
  \begin{itemize}
   \item Le point $F$ appartient à la droite $(d_2)$. \pause En effet il s'agit du point de paramètre $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de l'énoncé. \pause
   \item Le point $F$ appartient au plan $\mathscr{P}$. \pause En effet $-2\times 0+\left(-\dfrac{5}{3}\right)+5\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)+5= \pause-\dfrac{5}{3}-\dfrac{10}{3}+5 \pause =0$. \pause
  \end{itemize}
 Le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathscr{P}$ est donc bien le point~: \pause
 $$\boxed{F\left(0\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Il s'agit de montrer que la droite $(EF)$ est orthogonal à $(d_1)$ et à $(d_2)$. \pause On a \renewcommand{\arraystretch}{1.7}$\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-\mfrac{2}{3}\\ \mfrac{1}{3}\\-\mfrac{1}{3} \end{pmatrix}$ \pause et donc~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{u_1}= \pause -\dfrac{2}{3}\times 1+\dfrac{1}{3}\times 2-\dfrac{1}{3}\times 0 \pause =0$ \pause
   \item $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{u_2}= \pause -\dfrac{2}{3}\times 0+\dfrac{1}{3}\times 1-\dfrac{1}{3}\times 1 \pause =0$ \pause
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{EF}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u_1}$ et à $\overrightarrow{u_2}$ \pause donc la droite $(EF)$ est orthogonale à $(d_1)$ et à $(d_2)$, \pause on en déduit que~:
$$\boxed{\text{La distance $EF$ est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On a~:
  $$EF= \pause \sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \pause =\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}} \pause =\sqrt{\dfrac{6}{9}} \pause =\dfrac{\sqrt{6}}{3}$$ \pause
  La distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ est donc~: \pause
  $$\boxed{EF=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


\end{document}









