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  \end{picture}
}{}




\begin{document}



\title{Métropole - 12 septembre 2024 (remplacement)}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~:
  $$\boxed{I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)} \pause \quad \text{et} \quad \boxed{J\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)}$$ \pause
  Et comme $N$ est le milieu de $[IJ]$, \pause on a $N\left(\dfrac{\mfrac{1}{2}+1}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{0+\mfrac{1}{2}}{2}\right)$ \pause , soit~:
  $$\boxed{N\left(\dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{4}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On a alors~:
  $$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1-0,5\\1-0\\0,5-0\end{pmatrix} \pause \quad \text{et} \quad \overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}1-0,75\\0-0,5\\1-0,25 \end{pmatrix}$$ \pause
  Soit~:
  $$\boxed{\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix}} \pause \quad \text{et} \quad \boxed{\overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item On a~:
  $$\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{NF}= \pause 0,5\times 0,25+1\times(-0,5)+0,5\times 0,75 \pause =0,125-0,5+0,375 \pause =0$$ \pause
  Leur produit scalaire est nul donc~: \pause
  $$\boxed{\text{Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ sont orthogonaux}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item Les droites $(IJ)$ et $(NF)$ étant perpendiculaires, \pause $NF$ est la hauteur issue de $F$ dans le triangle $FIJ$. \pause L'aire du triangle $FIJ$ est donc~: \pause
  $$\mathscr{A}_{FIJ}= \pause \dfrac{IJ\times NF}{2}$$ \pause
  Or $IJ= \pause \sqrt{0,5^2+1^2+0,5^2} \pause =\sqrt{1,5} \pause =\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ \pause d'où~:
  $$\mathscr{A}_{FIJ}= \pause \dfrac{\sqrt{\mfrac{3}{2}}\times \mfrac{\sqrt{14}}{4}}{2} \pause =\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{7}}{4} \pause =\dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{7}}{8}$$ \pause
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{FIJ}=\dfrac{\sqrt{21}}{8}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch15_ex1_q2a} On a~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{FI}= \pause 4\times (-0,5)-1\times 0 -2\times (-1) \pause =-2+2 \pause =0$ \pause
   \item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{FJ}= \pause 4\times 0-1\times 1 -2\times (-0,5) \pause =-1+1 \pause =0$ \pause
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$, \pause on en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est normal au plan $(FIJ)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'après la question précédente, le plan $(FIJ)$ admet une équation cartésienne de la forme~: \pause
  $$4x-y-2z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
  Et comme le point $F(1\,;\,0\,;\,1)$ appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation. \pause On a donc $4\times 1-0-2\times 1+d=0$, \pause soit $d=-2$. \pause Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc~: \pause
  $$\boxed{4x-y-2z-2=0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item La droite $d$ passe par le point $H(0\,;\,1\,;\,1)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. \pause Elle admet donc pour représentation paramétrique~: \pause
  $$\boxed{\begin{cases}x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item Déterminons les coordonnées du point $K$, projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(FIJ)$. \pause Il s'agit du point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(FIJ)$. \pause On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de la droite $d$ dans l'équation cartésienne du plan $(FIJ)$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   4\times 4t-(1-t)-2(1-2t)-2=0 & \Longleftrightarrow & \pause 16t-1+t-2+4t-2=0\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & 21t=5\\ \pause
                                & \Longleftrightarrow & t=\dfrac{5}{21} \pause
  \end{eqnarray*}
 Le point $K$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{5}{21}$ dans la représentation paramétrique de $d$, \pause soit le point de coordonnées~:
 $$\left(\dfrac{20}{21}\,;\,\dfrac{16}{21}\,;\,\dfrac{11}{21}\right)$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

On a alors~:
\begin{eqnarray*}
 HK & = & \pause \sqrt{\left(0-\dfrac{20}{21}\right)^2+\left(1-\dfrac{16}{21}\right)^2+\left(1-\dfrac{11}{21}\right)^2}\\ \pause
  & = & \sqrt{\dfrac{400+25+100}{21^2}}\\ \pause
   & = & \sqrt{\dfrac{525}{21^2}}\\ \pause
   & = & \dfrac{5\sqrt{21}}{21} \pause
\end{eqnarray*}

Et comme la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est la distance entre le point $H$ et son projeté orthogonal sur le plan $(FIJ)$, \pause cette distance est~:
$$\boxed{HK=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(e)]
  \item En choisissant pour base le triangle $FIJ$, la hauteur correspondante est la longueur $HK$. \pause Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est alors~: \pause
  $$\mathscr{V}_{HFIJ}= \pause \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FIJ}\times HK \pause =\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21} \pause =\dfrac{5}{24}$$ \pause
  Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est donc~: \pause
  $$\boxed{\mathscr{V}_{HFIJ}=\dfrac{5}{24}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On complète l'arbre de la façon suivante~: \pause
 \medskip
 \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[labelsep=2pt,treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_1$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D_1}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{2}{3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
}
 \end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(D_1\cap D_2)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(D_1\cap D_2) & = & \pause P(D_1)\times P_{D_1}(D_2)\\ \pause
                 & = & \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\\ \pause
                 & = & \dfrac{1}{4} \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité que le robot se déplace deux fois à droite est donc~: \pause
$$\boxed{P(D_1\cap D_2)=\dfrac{1}{4}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les événements $D_1$ et $\overline{D_1}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(D_2) & = & \pause P(D_1)\times P_{D_1}(D_2)+P(\overline{D_1})\times P_{\overline{D_1}}(D_2)\\ \pause
         & = & \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}\\ \pause
         & = & \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\\ \pause
         & = & \dfrac{7}{12} \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{p_2=\dfrac{7}{12}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Il s'agit de calculer $P_{\overline{D_2}}(D_1)$~: \pause
\begin{eqnarray*}
  P_{\overline{D_2}}(D_1) & = & \pause \dfrac{P(D_1\cap \overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}\\ \pause
            & = & \dfrac{P(D_1)\times P_{D_1}(\overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}\\ \pause
            & = & \dfrac{\mfrac{1}{3}\times \mfrac{1}{4}}{\mfrac{5}{12}}\\ \pause
            & = & \dfrac{1}{12}\times \dfrac{12}{5}\\ \pause
            & = & \dfrac{1}{5} \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.5cm
La probabilité que le robot se soit déplacé à droite lors du premier déplacement sachant qu'il s'est déplacé à gauche lors du deuxième est donc~: \pause
$$\boxed{P_{\overline{D_2}}(D_1)=\dfrac{1}{5}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on peut représenter la situation par l'arbre suivant~: \pause

 \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[labelsep=2pt,treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_n$}\taput{\footnotesize $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_{n+1}}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D_n}$}\tbput{\footnotesize $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_{n+1}}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
}
 \end{center}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Les événements $D_n$ et $\overline{D_n}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(D_{n+1}) & = & \pause P(D_n)\times P_{D_n}(D_{n+1})+P(\overline{D_n})\times P_{\overline{D_n}}(D_{n+1})\\ \pause
         & = & p_n\times \dfrac{3}{4}+(1-p_n)\times \dfrac{1}{2}\\ \pause
         & = & \dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n\\ \pause
         & = & \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2} \pause
 \end{eqnarray*}
 Soit~:
 $$\boxed{p_{n+1}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$. \pause
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
   Pour $n=1$, on a $p_1=\dfrac{1}{3}$ \pause et $p_2=\dfrac{7}{12}$. \pause On a donc bien $p_1\leqslant p_2<\dfrac{2}{3}$ \pause et la propriété est vraie au rang $n=1$. \pause
   \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}^*$, \pause c'est-à-dire $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$. \pause On a alors, en multipliant par $\dfrac{1}{4}$ qui est positif~: \pause
   $$\dfrac{1}{4}p_n\leqslant \dfrac{1}{4}p_{n+1}<\dfrac{1}{6}$$ \pause
   Puis en ajoutant $\dfrac{1}{2}$~: \pause
   $$\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{2}{3}$$ \pause
   Soit~:
   $$p_{n+1}\leqslant p_{n+2}<\dfrac{2}{3}$$ \pause
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause
   \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
   La propriété est vraie pour $n=1$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. \pause On a donc, pour tout $n\geqslant 1$~:
   $$\boxed{p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}}$$
  \end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La suite $(p_n)$ est~: \pause
  \begin{itemize}
   \item croissante \pause (car $p_n\leqslant p_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$) \pause
   \item majorée \pause (car $p_n<\dfrac{2}{3}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$)
  \end{itemize} \pause
  On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La suite $(p_n)$ est convergente}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch15_ex2_qB3a} Pour tout $n\geqslant 1$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   u_{n+1} & = & \pause p_{n+1}-\dfrac{2}{3}\\ \pause
           & = & \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\\ \pause
           & = & \dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6}\\ \pause
           & = & \dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{4}{6}\right)\\ \pause
           & = & \dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)\\ \pause
           & = & \dfrac{1}{4}u_n \pause
  \end{eqnarray*}
  Et comme $u_1=p_1-\dfrac{2}{3} \pause =\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3} \pause =-\dfrac{1}{3}$, \pause on en déduit que~:

  $$\hspace{0.5cm}\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de $\text{1}^{\text{er}}$ terme $u_0=-\dfrac{1}{3}$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch15_ex2_qB3b} D'après la question précédente, pour tout $n\geqslant 1$, on a $u_n=u_0\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$, \pause soit~:
  $$u_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$$ \pause
  Et comme $u_n=p_n-\dfrac{2}{3}$, \pause on a $p_n=u_n+\dfrac{2}{3}$, \pause soit~:
  $$p_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{3}$$ \pause
  Or $-1<\dfrac{1}{4}<1$ \pause donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ \pause d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{2}{3}}$$ \pause
  \leftskip=1cm
  Cela signifie, qu'à long terme, la probabilité que le robot se déplace à droite, pour un déplacement donné, sera proche de $\dfrac{2}{3}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\pause
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers la droite sur les 10 déplacements. \pause Comme on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (le robot se déplace vers la droite) est égale à $\dfrac{3}{4}$, \pause la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{4}$. \pause De plus, le robot revient à son point de départ si et seulement si il effectue exactement 5 déplacements vers la droite. \pause On obtient alors, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est~: \pause
$$\boxed{P(X=5)\approx 0,058}$$

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On a~:
 $$f\left(\ln(5)\right)= \pause \dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-\ln(5)}} \pause =\dfrac{6}{1+5\times \mfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln(5)}}} \pause =\dfrac{6}{1+\mfrac{5}{5}}=\dfrac{6}{1+1}=\dfrac{6}{2} \pause =3$$ \pause
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le point $A(\ln(5)\,;\,3)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=6} \pause \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$$ \pause
On en déduit que la droite d'équation $y=6$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f'(x) & = & \pause  -\dfrac{6\times (-5\mathrm{e}^{-x})}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\ \pause
         & = & \dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}
  \end{eqnarray*} \pause
Soit~:
  $$\boxed{f'(x)=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{-x}>0$ \pause donc $f'(x)>0$. \pause La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. \pause De plus, on a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0} \pause \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$$ \pause
 On a donc le tableau~:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=5]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.3}
{ $-\infty$  , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + ,  }
\tkzTabVar {-/$0$ , +/$6$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $30\mathrm{e}^{-x}>0$ \pause et $\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^3>0$ \pause donc $f''(x)$ est du signe de $5\mathrm{e}^{-x}-1$. \pause Or~:
  \begin{eqnarray*}
   5\mathrm{e}^{-x}-1\geqslant 0 & \Longleftrightarrow & \pause 5\mathrm{e}^{-x}\geqslant 1\\ \pause
                & \Longleftrightarrow & \mathrm{e}^{-x}\geqslant \dfrac{1}{5}\\ \pause
                & \Longleftrightarrow & -x\geqslant \ln\left(\dfrac{1}{5}\right)\\ \pause
                & \Longleftrightarrow & x\leqslant -\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)\\ \pause
                & \Longleftrightarrow & x\leqslant \ln\left(5\right)
  \end{eqnarray*} \pause
  On en déduit le tableau~:
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $-\infty$  , $\ln(5)$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , -  }
\tkzTabLine {  , \text{convexe} , t , \text{concave}  }
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
\leftskip=1cm
En $\ln(5)$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe donc~: \pause
$$\boxed{\text{La courbe $\mathscr{C}_f$ admet $A$ pour point d'inflexion}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Déterminons une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$. \pause On a $f(0)=\dfrac{6}{1+5}=1$  \pause et $f'(0)=\dfrac{30}{6^2}=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$. \pause La tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ admet donc pour équation $y=\dfrac{5}{6}(x-0)+1$, \pause soit~:
  $$y=\dfrac{5}{6}x+1$$ \pause
  Et comme la fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\,\ln(5)\right]$, \pause la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangente sur cet intervalle. \pause En particulier, elle est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$ \pause d'où, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,\ln(5)\right]$~: \pause
  $$\boxed{f(x)\geqslant \dfrac{5}{6}x+1}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La fonction $F_k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$~: \pause
  $$F_k'(x)= \pause \dfrac{k\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+5} \pause =\dfrac{k}{\mathrm{e}^{-x}(\mathrm{e}^x+5)} \pause =\dfrac{k}{1+5\mathrm{e}^{-x})}$$ \pause
  On en déduit que $F_k$ est une primitive de $f$ si et seulement si~: \pause
  $$\boxed{k=6}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Il s'agit de calculer $\displaystyle \int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   \int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[6\ln\left(\mathrm{e}^x+5\right)\Big]_0^{\ln(5)}\\ \pause
                          & = & 6\ln\left(\mathrm{e}^{\ln(5)}+5\right)-6\ln\left(\mathrm{e}^0+5\right)\\ \pause
                          & = & 6\ln\left(5+5\right)-6\ln\left(1+5\right)\\ \pause
                          & = & 6\left(\ln(10)-\ln(6)\right)\\ \pause
                          & = & 6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right)\\ \pause
                          & = & 6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \pause
  \end{eqnarray*}
\leftskip=0.7cm
L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln(5)$ est donc~: \pause
$$\boxed{\int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x=6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f(x)\right)^2 & = & \pause \dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}-\dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}\right)^2\\ \pause
      & = & \dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}- \dfrac{6^2}{6\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\ \pause
      & = & \dfrac{6(1+5\mathrm{e}^{-x})}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}- \dfrac{6}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\ \pause
      & = & \dfrac{6+30\mathrm{e}^{-x}-6}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\ \pause
      & = & \dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\ \pause
      & = & f'(x) \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.3cm
On a donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f(x)\right)^2$. \pause On a montré que~:
$$\boxed{\text{$f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch15_ex3_qB2} Résolvons l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$. \pause
 \begin{itemize}
  \item L'équation homogène associée $y'=-y$ admet pour solutions les fonctions de la forme~: \pause
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$ \pause
  \item L'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$ admet pour solution particulière constante la fonction~: \pause
  $$x\mapsto \dfrac{1}{6}$$ \pause
  \item Les solutions de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$ sont donc les fonctions de la forme~: \pause
  $$\boxed{x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{6} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}}$$
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch15_ex3_qB3a} Supposons que $h$ est solution de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$. \pause On a donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  $$h'(x)=-h(x)+\dfrac{1}{6}$$ \pause
  Or, on a $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ \pause donc $h'(x)=-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}$ \pause d'où~:
  $$-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}=-\dfrac{1}{g(x)}+\dfrac{1}{6}$$ \pause
  D'où, en multipliant par $g(x)^2$~: \pause
  $$-g'(x)=-g(x)+\dfrac{1}{6}g(x)^2$$ \pause
  Soit~:
  $$g'(x)=g(x)-\dfrac{1}{6}g(x)^2$$ \pause
  \leftskip=0.7cm
  Et donc~:
  $$\boxed{\text{$g$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La fonction $g_m$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ donc elle ne s'annule pas. \pause Posons alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~: \pause
  $$h_m(x)=\dfrac{1}{g_m(x)} \pause =\dfrac{1+6m\mathrm{e}^{-x}}{6} \pause =m\mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{6}$$ \pause
D'après la question \ref{ch15_ex3_qB2}, la fonction $h_m$ est solution de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$ \pause donc, d'après la question \ref{ch15_ex3_qB3a}~: \pause
$$\boxed{\text{La fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\ \pause
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=1,05u_n+3$. \pause La fonction \pyv{seuil(S)} renvoie la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant S$. \pause Or, on obtient à l'aide de la calculatrice~: \pause
 \begin{itemize}
  \item $u_{17}\approx 93,6<100$ \pause
  \item $u_{18}\approx 101,2>100$ \pause
 \end{itemize}
Le plus petit entier tel que $u_n\geqslant 100$ est donc $18$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch15_ex4_q2} \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\ \pause
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac{1}{5}$. \pause On a donc~:
$$S_n= \pause 1\times \dfrac{1-\left(\mfrac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\mfrac{1}{5}} \pause =\dfrac{1-\left(\mfrac{1}{5}\right)^{n+1}}{\mfrac{4}{5}} \pause =\dfrac{5}{4}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\right)$$ \pause
Or $-1<\dfrac{1}{5}<1$ \pause donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}=0$ \pause d'où $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{5}{4}$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\ \pause
Il s'agit de déterminer le nombre de combinaisons de $2$ éléments parmi $30$~: \pause
$$\binom{30}{2}= \pause \dfrac{30!}{2!\times (30-2)!} \pause =\dfrac{30!}{2!\times 28!} \pause =\dfrac{29\times 30}{2} \pause =435$$ \pause
On peut donc former 435 binômes de délégués différents.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
La fonction $f$ est dérivable sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left[1\,;\,+\infty\right[$~: \pause
\begin{eqnarray*}
 f'(x) & = & \pause 1\times \left(\ln(x)\right)^2+x\times 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x)\\ \pause
       & = & \left(\ln(x)\right)^2+2\ln(x)\\ \pause
       & = & \ln(x)\left(\ln(x)+2\right) \pause
\end{eqnarray*}
\leftskip=1.2cm
Sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$, $\ln(x)\geqslant 0$ \pause donc $f'(x)\geqslant 0$. \pause De plus, sur l'intervalle $\left]1\,;\,+\infty\right[$, $f'(x)>0$. \pause On en déduit que, sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$, \pause $f$ est continue et strictement croissante. \pause De plus $f(0)=0$ \pause et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. \pause Or $1\in\left[0\,;\,+\infty\right[$ \pause donc, d'après la théorème des valeurs intermédiaires, \pause l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item \textbf{Affirmation 5~: Vrai}\\ \pause
Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, posons~: \pause
$$\begin{cases}u(x)=x\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{cases} \pause \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$ \pause
On a, par intégration par parties~: \pause
\begin{eqnarray*}
 \int_0^1x\mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1 \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\\ \pause
        & = & -\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1\\ \pause
        & = & -\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1\\ \pause
        & = & 1-2\mathrm{e}^{-1}\\ \pause
        & = & 1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}\\ \pause
        & = & \dfrac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{frame}


\end{document}




