\chapter{Métropole - 12 septembre 2024 (remplacement)}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Un tétraèdre dans un cube}\label{15.1}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.\\
Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.\\
Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.\\
L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.\\
On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE})$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6,6.5)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.15](1,6)(4,4)(2,0)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,6)(4,4)(5,4)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.25](2,0)(4,4)(5,4)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5,2)(1,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,2)(0,0)
\psline(4,0)(4,4)
\psline(4,4)(0,4)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(1,6)
\psline(1,6)(5,6)
\psline(5,6)(4,4)
\psline(5,6)(5,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,6)(1,2)
\psline(1,6)(4,4)
\psline(1,6)(2,0)
\psline(2,0)(5,4)
\psline(1,6)(5,4)
\psline(4,4)(5,4)
\psline(4,4)(2,0)
\psline(1,6)(4,4)
\psline(4,4)(2,0)
\psline(2,0)(1,6)
\psline(1,6)(4,4)
\psline(4,4)(5,4)
\psline(5,4)(1,6)
\psline(2,0)(4,4)
\psline(4,4)(5,4)
\psline(5,4)(2,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.2,-0.3){$A$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](3.8,-0.3){$B$}
\psdots[dotstyle=*](5,2)
\rput[bl](5.05,2.08){$C$}
\psdots[dotstyle=*](1,2)
\rput[bl](1.04,2.08){$D$}
\psdots[dotstyle=*](0,4)
\rput[bl](-0.2,4.1){$E$}
\psdots[dotstyle=*](4,4)
\rput[bl](4.1,3.7){$F$}
\psdots[dotstyle=*](5,6)
\rput[bl](5.0,6.1){$G$}
\psdots[dotstyle=*](1,6)
\rput[bl](1.0,6.1){$H$}
\psdots[dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.0,-0.3){$I$}
\psdots[dotstyle=*](5,4)
\rput[bl](5.1,4.0){$J$}
\psdots[dotstyle=*](3.5,2)
\rput[bl](3.2,2.1){$N$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.
  \item Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ ont pour coordonnées respectives~:
  $$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$$
  \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ sont orthogonaux.\\
  On admet que $NF=\dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
  \item En déduire que l'aire du triangle $FIJ$ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
 \end{enumerate}
 \item On considère le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.
  \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est~: $4x-y-2z-2=0$.
  \item On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
  \item Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
  \item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.\\
  Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a~:
  $$\boxed{I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)} \quad \text{et} \quad \boxed{J\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)}$$
  Et comme $N$ est le milieu de $[IJ]$, on a $N\left(\dfrac{\mfrac{1}{2}+1}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{0+\mfrac{1}{2}}{2}\right)$, soit~:
  $$\boxed{N\left(\dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{4}\right)}$$

  \item On a alors~:
  $$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1-0,5\\1-0\\0,5-0\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}1-0,75\\0-0,5\\1-0,25 \end{pmatrix}$$
  Soit~:
  $$\boxed{\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix}} \quad \text{et} \quad \boxed{\overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}}$$
  \item On a~:
  $$\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{NF}=0,5\times 0,25+1\times(-0,5)+0,5\times 0,75=0,125-0,5+0,375=0$$
  Leur produit scalaire est nul donc~:
  $$\boxed{\text{Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ sont orthogonaux}}$$
  \item Les droites $(IJ)$ et $(NF)$ étant perpendiculaires, $NF$ est la hauteur issue de $F$ dans le triangle $FIJ$. L'aire du triangle $FIJ$ est donc~:
  $$\mathscr{A}_{FIJ}=\dfrac{IJ\times NF}{2}$$
  Or $IJ=\sqrt{0,5^2+1^2+0,5^2}=\sqrt{1,5}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ d'où~:
  $$\mathscr{A}_{FIJ}=\dfrac{\sqrt{\mfrac{3}{2}}\times \mfrac{\sqrt{14}}{4}}{2}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{7}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{7}}{8}$$
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{FIJ}=\dfrac{\sqrt{21}}{8}}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch15_ex1_q2a} On a~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{FI}=4\times (-0,5)-1\times 0 -2\times (-1)=-2+2=0$
   \item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{FJ}=4\times 0-1\times 1 -2\times (-0,5)=-1+1=0$
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est normal au plan $(FIJ)$}}$$
  \item D'après la question précédente, le plan $(FIJ)$ admet une équation cartésienne de la forme~:
  $$4x-y-2z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
  Et comme le point $F(1\,;\,0\,;\,1)$ appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation. On a donc $4\times 1-0-2\times 1+d=0$, soit $d=-2$. Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc~:
  $$\boxed{4x-y-2z-2=0}$$
  \item La droite $d$ passe par le point $H(0\,;\,1\,;\,1)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Elle admet donc pour représentation paramétrique~:
  $$\boxed{\begin{cases}x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}}$$

  \item Déterminons les coordonnées du point $K$, projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(FIJ)$. Il s'agit du point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(FIJ)$. On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de la droite $d$ dans l'équation cartésienne du plan $(FIJ)$~:
  \begin{align*}
   4\times 4t-(1-t)-2(1-2t)-2=0 & \Longleftrightarrow 16t-1+t-2+4t-2=0\\
                                & \Longleftrightarrow 21t=5\\
                                & \Longleftrightarrow t=\dfrac{5}{21}
  \end{align*}
 Le point $K$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{5}{21}$ dans la représentation paramétrique de $d$, soit le point de coordonnées~:
 $$\left(\dfrac{20}{21}\,;\,\dfrac{16}{21}\,;\,\dfrac{11}{21}\right)$$
 On a alors~:
 $$HK=\sqrt{\left(0-\dfrac{20}{21}\right)^2+\left(1-\dfrac{16}{21}\right)^2+\left(1-\dfrac{11}{21}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{400+25+100}{21^2}}=\sqrt{\dfrac{525}{21^2}}=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$$
Et comme la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est la distance entre le point $H$ et son projeté orthogonal sur le plan $(FIJ)$, cette distance est~:
$$\boxed{HK=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}}$$
  \item En choisissant pour base le triangle $FIJ$, la hauteur correspondante est la longueur $HK$. Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est alors~:
  $$\mathscr{V}_{HFIJ}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FIJ}\times HK=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21}=\dfrac{5}{24}$$
  Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est donc~:
  $$\boxed{\mathscr{V}_{HFIJ}=\dfrac{5}{24}}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch15_ex1_q2a}, on aurait pu utiliser deux autres vecteurs non colinéaires du plan $(IJF)$ comme par exemple $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



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\section{Marche aléatoire d'un robot}\label{15.2}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
\textit{La partie C est indépendante des parties A et B.}

\medskip

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d'un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.\\
Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac{1}{3}$.\\
S'il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{3}{4}$.\\
S'il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{1}{2}$.\\
Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on note~:
\begin{itemize}
 \item $D_n$ l'événement~: \og le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement \fg{}~;
 \item $\overline{D_n}$ l'événement contraire de $D_n$~;
 \item $p_n$ la probabilité de l'événement $D_n$.
\end{itemize}
On a donc $p_1=\dfrac{1}{3}$.

\medskip
\textbf{Partie A~: étude du cas particulier où $\bm{n=2}$}\\
Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.
\begin{enumerate}
 \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant~:
 \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_1$}\taput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D_1}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
}
 \end{center}
 \item Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.
 \item Montrer que $p_2=\dfrac{7}{12}$.
 \item Le robot s'est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu'il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement~?
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B~: étude de la suite $\bm{(p_n)}$}\\
On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d'un nombre important d'étapes.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a~:
 $$p_{n+1}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$$
 On pourra s'aider d'un arbre.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a~: $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$.
  \item La suite $(p_n)$ est-elle convergente~? Justifier.
 \end{enumerate}
 \item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, par $u_n=p_n-\dfrac{2}{3}$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
  \item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie C}\\
Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d'un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe égale à $\dfrac{3}{4}$.\\
Quelle est la probabilité qu'il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements~? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{tcolorbox}



\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On complète l'arbre de la façon suivante~:
 \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[labelsep=2pt,treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_1$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D_1}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{2}{3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_2}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
}
 \end{center}
 \item Il s'agit de calculer $P(D_1\cap D_2)$~:
 \begin{align*}
  P(D_1\cap D_2) & = P(D_1)\times P_{D_1}(D_2)\\
                 & = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
                 & = \dfrac{1}{4}
 \end{align*}
La probabilité que le robot se déplace deux fois à droite est donc~:
$$\boxed{P(D_1\cap D_2)=\dfrac{1}{4}}$$
 \item Les événements $D_1$ et $\overline{D_1}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(D_2) & = P(D_1)\times P_{D_1}(D_2)+P(\overline{D_1})\times P_{\overline{D_1}}(D_2)\\
         & = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}\\
         & = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\\
         & = \dfrac{7}{12}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{p_2=\dfrac{7}{12}}$$
 \item Il s'agit de calculer $P_{\overline{D_2}}(D_1)$~:
\begin{align*}
  P_{\overline{D_2}}(D_1) & = \dfrac{P(D_1\cap \overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}\\
            & = \dfrac{P(D_1)\times P_{D_1}(\overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}\\
            & = \dfrac{\mfrac{1}{3}\times \mfrac{1}{4}}{\mfrac{5}{12}}\\
            & = \dfrac{1}{12}\times \dfrac{12}{5}\\
            & = \dfrac{1}{5}
 \end{align*}
La probabilité que le robot se soit déplacé à droite lors du premier déplacement sachant qu'il s'est déplacé à gauche lors du deuxième est donc~:
$$\boxed{P_{\overline{D_2}}(D_1)=\dfrac{1}{5}}$$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

 \begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[labelsep=2pt,treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_n$}\taput{\footnotesize $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_{n+1}}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D_n}$}\tbput{\footnotesize $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D_{n+1}}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
}
 \end{center}

 Les événements $D_n$ et $\overline{D_n}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(D_{n+1}) & = P(D_n)\times P_{D_n}(D_{n+1})+P(\overline{D_n})\times P_{\overline{D_n}}(D_{n+1})\\
         & = p_n\times \dfrac{3}{4}+(1-p_n)\times \dfrac{1}{2}\\
         & = \dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n\\
         & = \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
 \end{align*}
 Soit~:
 $$\boxed{p_{n+1}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$.
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\
   Pour $n=1$, on a $p_1=\dfrac{1}{3}$ et $p_2=\dfrac{7}{12}$. On a donc bien $p_1\leqslant p_2<\dfrac{2}{3}$ et la propriété est vraie au rang $n=1$.
   \item \textbf{Hérédité~:}\\
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}^*$, c'est-à-dire $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$. On a alors, en multipliant par $\dfrac{1}{4}$ qui est positif~:
   $$\dfrac{1}{4}p_n\leqslant \dfrac{1}{4}p_{n+1}<\dfrac{1}{6}$$
   Puis en ajoutant $\dfrac{1}{2}$~:
   $$\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{2}{3}$$
   Soit~:
   $$p_{n+1}\leqslant p_{n+2}<\dfrac{2}{3}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   \item \textbf{Conclusion~:}\\
   La propriété est vraie pour $n=1$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. On a donc, pour tout $n\geqslant 1$~:
   $$\boxed{p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac{2}{3}}$$
  \end{itemize}

  \item La suite $(p_n)$ est~:
  \begin{itemize}
   \item croissante (car $p_n\leqslant p_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$)
   \item majorée (car $p_n<\dfrac{2}{3}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$)
  \end{itemize}
  On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La suite $(p_n)$ est convergente}}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch15_ex2_qB3a} Pour tout $n\geqslant 1$, on a~:
  \begin{align*}
   u_{n+1} & = p_{n+1}-\dfrac{2}{3}\\
           & = \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\\
           & = \dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6}\\
           & = \dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{4}{6}\right)\\
           & = \dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)\\
           & = \dfrac{1}{4}u_n
  \end{align*}
  Et comme $u_1=p_1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$, on en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_0=-\dfrac{1}{3}$}}$$

  \item \label{ch15_ex2_qB3b} D'après la question précédente, pour tout $n\geqslant 1$, on a $u_n=u_0\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$, soit~:
  $$u_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$$
  Et comme $u_n=p_n-\dfrac{2}{3}$, on a $p_n=u_n+\dfrac{2}{3}$, soit~:
  $$p_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{3}$$
  Or $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{2}{3}}$$
  Cela signifie, qu'à long terme, la probabilité que le robot se déplace à droite, pour un déplacement donné, sera proche de $\dfrac{2}{3}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie C}\\
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers la droite sur les 10 déplacements. Comme on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (le robot se déplace vers la droite) est égale à $\dfrac{3}{4}$, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{4}$. De plus, le robot revient à son point de départ si et seulement si il effectue exactement 5 déplacements vers la droite. On obtient alors, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est~:
$$\boxed{P(X=5)\approx 0,058}$$



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch15_ex2_qB3a}, pour montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique, on aurait également pu utiliser la relation $u_n=p_n-\dfrac{2}{3}$ d'où $p_n=u_n+\dfrac{2}{3}$ et on aurait présenter le calcul de la façon suivante~:
\begin{align*}
   u_{n+1} & = p_{n+1}-\dfrac{2}{3}\\
           & = \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\\
           & = \dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6}\\
           & = \dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{1}{6}\\
           & = \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}\\
           & = \dfrac{1}{4}u_n
  \end{align*}
  \item Dans la question \ref{ch15_ex2_qB3b}, pour déterminer la limite de la suite $(p_n)$, comme on avait déjà montré que la suite était convergente, on pouvait utiliser le fait que la limite $l$ était un point fixe, c'est-à-dire une solution de l'équation $x=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$. Il suffit alors de résoudre cette équation~:
  \begin{align*}
   x=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \dfrac{3}{4}x=\dfrac{1}{2}\\
            & \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\\
            & \Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}
  \end{align*}
On retrouve bien que la suite $(p_n)$ converge vers $\dfrac{2}{3}$.
\item Dans la partie C, on pouvait utiliser la formule~:
$$P(X=5)=\binom{10}{5}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^5$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Une fonction logistique}\label{15.3}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]

\medskip
\textbf{Partie A}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par~:
$$f(x)=\dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}$$
On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C_f}$ de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.65cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.2,-1.2)(8.2,8.2)
\multips(0,-1)(0,1.0){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(8.,0)}
\multips(-5,0)(1.0,0){14}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,8.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-5.,-1.)(8.,8.)
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=200]{-5}{8}{6/(1+5*EXP(-x))}
\rput[tl](7.3,6.7){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotstyle=*](1.61,3)
\rput[bl](1,3.1){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que le points $A$ de coordonnées $(\ln(5)\,;\,3)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
 \item Montrer que la droite d'équation $y=6$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a~:
  $$f'(x)=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}$$
  \item En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
 \end{enumerate}
 \item On admet que~:
 \begin{itemize}
  \item $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f''$ sa dérivée seconde~;
  \item pour tout réel $x$~:
  $$f''(x)=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}(5\mathrm{e}^{-x}-1)}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^3}$$
 \end{itemize}
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. On montrera en particulier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion.
  \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]-\infty\,;\,\ln(5)\right]$, on a~: $f(x)\geqslant \dfrac{5}{6}x+1$.
 \end{enumerate}
 \item On considère une fonction $F_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F_k(x)=k\ln\left(\mathrm{e}^x+5\right)$, où $k$ est une constante réelle.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \item En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln(5)$ est égale à $6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}\\
L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante~:
$$(E)~:\quad y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$$
On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x$ réel, on a~:
$$u'(x)=u(x)-\dfrac{1}{6}u(x)^2$$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
 \item Résoudre l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$.
 \item On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui ne s'annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$.
  \item Pour tout réel positif $m$, on considère la fonction $g_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par~:
  $$g_m(x)=\dfrac{6}{1+6m\mathrm{e}^{-x}}$$
  Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E)$~: $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$f\left(\ln(5)\right)=\dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-\ln(5)}}=\dfrac{6}{1+5\times \mfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln(5)}}}=\dfrac{6}{1+\mfrac{5}{5}}=\dfrac{6}{1+1}=\dfrac{6}{2}=3$$
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le point $A(\ln(5)\,;\,3)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$}}$$

 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=6} \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$$
On en déduit que la droite d'équation $y=6$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  \begin{align*}
   f'(x) & = -\dfrac{6\times (-5\mathrm{e}^{-x})}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\
         & = \dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{f'(x)=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}}$$
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)>0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, on a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0} \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$$
 On a donc le tableau~:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=5]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.3}
{ $-\infty$  , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + ,  }
\tkzTabVar {-/$0$ , +/$6$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $30\mathrm{e}^{-x}>0$ et $\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^3>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $5\mathrm{e}^{-x}-1$. Or~:
  \begin{align*}
   5\mathrm{e}^{-x}-1\geqslant 0 & \Longleftrightarrow 5\mathrm{e}^{-x}\geqslant 1\\
                & \Longleftrightarrow \mathrm{e}^{-x}\geqslant \dfrac{1}{5}\\
                & \Longleftrightarrow -x\geqslant \ln\left(\dfrac{1}{5}\right)\\
                & \Longleftrightarrow x\leqslant -\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)\\
                & \Longleftrightarrow x\leqslant \ln\left(5\right)
  \end{align*}
  On en déduit le tableau~:
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $-\infty$  , $\ln(5)$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , -  }
\tkzTabLine {  , \text{convexe} , t , \text{concave}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

En $\ln(5)$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe donc~:
$$\boxed{\text{La courbe $\mathscr{C}_f$ admet $A$ pour point d'inflexion}}$$

  \item Déterminons une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$. On a $f(0)=\dfrac{6}{1+5}=1$ et $f'(0)=\dfrac{30}{6^2}=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$. La tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ admet donc pour équation $y=\dfrac{5}{6}(x-0)+1$, soit~:
  $$y=\dfrac{5}{6}x+1$$
  Et comme la fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\,\ln(5)\right]$, la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangente sur cet intervalle. En particulier, elle est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$ d'où, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,\ln(5)\right]$~:
  $$\boxed{f(x)\geqslant \dfrac{5}{6}x+1}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $F_k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  $$F_k'(x)=\dfrac{k\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+5}=\dfrac{k}{\mathrm{e}^{-x}(\mathrm{e}^x+5)}=\dfrac{k}{1+5\mathrm{e}^{-x})}$$
  On en déduit que $F_k$ est une primitive de $f$ si et seulement si~:
  $$\boxed{k=6}$$

  \item Il s'agit de calculer $\displaystyle \int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x$~:
  \begin{align*}
   \int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x & = \Big[6\ln\left(\mathrm{e}^x+5\right)\Big]_0^{\ln(5)}\\
                          & = 6\ln\left(\mathrm{e}^{\ln(5)}+5\right)-6\ln\left(\mathrm{e}^0+5\right)\\
                          & = 6\ln\left(5+5\right)-6\ln\left(1+5\right)\\
                          & = 6\left(\ln(10)-\ln(6)\right)\\
                          & = 6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right)\\
                          & = 6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)
  \end{align*}
L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln(5)$ est donc~:
$$\boxed{\int_0^{\ln(5)}f(x)\,\mathrm{d}x=6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~:
 \begin{align*}
  f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f(x)\right)^2 & = \dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}-\dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}\right)^2\\
      & = \dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}- \dfrac{6^2}{6\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\
      & = \dfrac{6(1+5\mathrm{e}^{-x})}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}- \dfrac{6}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\
      & = \dfrac{6+30\mathrm{e}^{-x}-6}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\
      & = \dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\\
      & = f'(x)
 \end{align*}
On a donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f(x)\right)^2$. On a montré que~:
$$\boxed{\text{$f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$}}$$

 \item \label{ch15_ex3_qB2} Résolvons l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$.
 \begin{itemize}
  \item L'équation homogène associée $y'=-y$ admet pour solutions les fonctions de la forme~:
  $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-x} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
  \item L'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$ admet pour solution particulière constante la fonction~:
  $$x\mapsto \dfrac{1}{6}$$
  \item Les solutions de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$ sont donc les fonctions de la forme~:
  $$\boxed{x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{6} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}}$$
 \end{itemize}

 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch15_ex3_qB3a} Supposons que $h$ est solution de l'équation différentielle $y'=-y+\dfrac{1}{6}$. On a donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  $$h'(x)=-h(x)+\dfrac{1}{6}$$
  Or, on a $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ donc $h'(x)=-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}$ d'où~:
  $$-\dfrac{g'(x)}{g(x)^2}=-\dfrac{1}{g(x)}+\dfrac{1}{6}$$
  D'où, en multipliant par $g(x)^2$~:
  $$-g'(x)=-g(x)+\dfrac{1}{6}g(x)^2$$
  Soit~:
  $$g'(x)=g(x)-\dfrac{1}{6}g(x)^2$$
  Et donc~:
  $$\boxed{\text{$g$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$}}$$

  \item La fonction $g_m$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ donc elle ne s'annule pas. Posons alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
  $$h_m(x)=\dfrac{1}{g_m(x)}=\dfrac{1+6m\mathrm{e}^{-x}}{6}=m\mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{6}$$
\begin{sloppypar}
D'après la question \ref{ch15_ex3_qB2}, la fonction $h_m$ est solution de l'équation différentielle ${y'=-y+\dfrac{1}{6}}$ donc, d'après la question \ref{ch15_ex3_qB3a}~:
$$\boxed{\text{La fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac{1}{6}y^2$}}$$
\end{sloppypar}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour la dernière question, on aurait pu montrer que $g_m$ était solution de l'équation différentielle de manière \og brutale \fg{} mais, étant donné la configuration de l'énoncé, il était attendu (également plus rapide et plus élégant) d'utiliser les questions précédentes.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Encore un vrai-faux en vrac}\label{15.4}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
 \item On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil(S) :
      n = 0
      u = 7
      while u < S :
         n = n + 1
         u = 1.05*u + 3
      return(n)
\end{pyverbatim}

\textbf{Affirmation 1~:} l'instruction \pyv{seuil(100)} renvoie la valeur $18$.
\item Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $S_n=1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}\dots +\dfrac{1}{5^n}$.\\
\textbf{Affirmation 2~:} la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac{5}{4}$.
\item \textbf{Affirmation 3~:} dans une classe composée de 30 élèves, on peut former 870 binômes de délégués différents.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$ par $f(x)=x\left(\ln(x)\right)^2$.\\
\textbf{Affirmation 4~:} l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
\item \textbf{Affirmation 5~:}
$$\int_0^1x\mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}$$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=1,05u_n+3$. La fonction \pyv{seuil(S)} renvoie la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant S$. Or, on obtient à l'aide de la calculatrice~:
 \begin{itemize}
  \item $u_{17}\approx 93,6<100$
  \item $u_{18}\approx 101,2>100$
 \end{itemize}
Le plus petit entier tel que $u_n\geqslant 100$ est donc $18$.

\item \label{ch15_ex4_q2} \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac{1}{5}$. On a donc~:
$$S_n=1\times \dfrac{1-\left(\mfrac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\mfrac{1}{5}}=\dfrac{1-\left(\mfrac{1}{5}\right)^{n+1}}{\mfrac{4}{5}}=\dfrac{5}{4}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\right)$$
Or $-1<\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}=0$ d'où $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{5}{4}$.

\item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\
Il s'agit de déterminer le nombre de combinaisons de $2$ éléments parmi $30$~:
$$\binom{30}{2}=\dfrac{30!}{2!\times (30-2)!}=\dfrac{30!}{2!\times 28!}=\dfrac{29\times 30}{2}=435$$
On peut donc former 435 binômes de délégués différents.
\item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left[1\,;\,+\infty\right[$~:
\begin{align*}
 f'(x) & = 1\times \left(\ln(x)\right)^2+x\times 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x)\\
       & = \left(\ln(x)\right)^2+2\ln(x)\\
       & = \ln(x)\left(\ln(x)+2\right)
\end{align*}
\begin{sloppypar}
Sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$, $\ln(x)\geqslant 0$ donc $f'(x)\geqslant 0$. De plus, sur l'intervalle $\left]1\,;\,+\infty\right[$, ${f'(x)>0}$. On en déduit que, sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$, $f$ est continue et strictement croissante. De plus $f(0)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Or $1\in\left[0\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après la théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
\end{sloppypar}

\item \textbf{Affirmation 5~: Vrai}\\
Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, posons~:
$$\begin{cases}u(x)=x\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$
On a, par intégration par parties~:
\begin{align*}
 \int_0^1x\mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x & = \Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1 \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\\
        & = -\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1\\
        & = -\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1\\
        & = 1-2\mathrm{e}^{-1}\\
        & = 1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}\\
        & = \dfrac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}
\end{align*}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour la question \ref{ch15_ex4_q2}, on rappelle la formule donnant la somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$~:
 $$\boxed{S=\text{premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


