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\begin{document}



\title{Métropole - 11 septembre 2024 (remplacement)}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~: \pause
  $$\boxed{D(0\,;\,1\,;\,0)} \pause \qquad \boxed{B(1\,;\,0\,;\,0)} \pause \qquad \boxed{I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)} \pause \qquad \boxed{G(1\,;\,1\,;\,1)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Soit $\left(x_L\,;\,y_L\,;\,z_L\right)$, \pause on a $\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \overrightarrow{IG}\begin{pmatrix}1-\mfrac{1}{2}\\1-\mfrac{1}{2}\\1 \end{pmatrix}$ \pause soit $\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \overrightarrow{IG}\begin{pmatrix}\mfrac{1}{2}\\\mfrac{1}{2}\\1 \end{pmatrix}$ \pause puis $\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG}\begin{pmatrix}\mfrac{3}{8}\\\mfrac{3}{8}\\\mfrac{3}{4} \end{pmatrix}$ \pause et $\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \overrightarrow{IL}\begin{pmatrix}x_L-\mfrac{1}{2}\\y_L-\mfrac{1}{2}\\z_L \end{pmatrix}$ \pause d'où~:
  $$\overrightarrow{IL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG} \Longleftrightarrow \pause \begin{dcases}x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}\\y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}\\z_L=\dfrac{3}{4} \end{dcases} \pause
      \Longleftrightarrow \begin{dcases}x_L=\dfrac{7}{8}\\y_L=\dfrac{7}{8}\\z_L=\dfrac{3}{4} \end{dcases}$$ \pause
\leftskip=1.5cm
Soit~:
$$\boxed{L\left(\dfrac{7}{8}\,;\,\dfrac{7}{8}\,;\,\dfrac{3}{4}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il suffit de vérifier que les coordonnées des points $B$, $D$ et $G$ vérifient l'équation donnée. \pause
 \begin{itemize}
  \item $1+0-0-1=0$ \pause donc les coordonnées de $B$ vérifient l'équation. \pause
  \item $0+1-0-1=0$ \pause donc les coordonnées de $D$ vérifient l'équation. \pause
  \item $1+1-1-1=0$ \pause donc les coordonnées de $G$ vérifient l'équation. \pause
 \end{itemize}
Les coordonnées des trois points vérifient l'équation donc une équation du plan $(BDG)$ est~: \pause
$$\boxed{x+y-z-1=0}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item D'après son équation cartésienne, le plan $(BDG)$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}$ \pause et comme la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(BDG)$, elle admet le vecteur $\overrightarrow{n}$ pour vecteur directeur. \pause De plus, elle passe par le point $L\left(\dfrac{7}{8}\,;\,\dfrac{7}{8}\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$. \pause Elle admet donc pour représentation paramétrique~: \pause
  $$\boxed{\begin{dcases}x=\mfrac{7}{8}+t\\y=\mfrac{7}{8}+t\\z=\mfrac{3}{4}-t\end{dcases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$.}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Le point $K\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{13}{8}\right)$ appartient évidemment à l'axe $(AE)$. \pause Il appartient également à la droite $\Delta$ \pause car c'est le point de paramètre $t=-\dfrac{7}{8}$ dans la représentation paramétrique précédente. \pause Le point $K$ appartient donc à la fois à la droite $(AE)$ et à la droite $\Delta$ \pause et, comme ces droites ne sont pas confondues, on en déduit que~: \pause
 $$\hspace{-1.5cm}\boxed{\text{les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{13}{8}\right)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Le point $L$ est le point d'intersection du plan $(BDG)$ et de la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par $K$. \pause On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{Le point $L$ est le projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(BDG)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~:
  \begin{eqnarray*}
   KL & = & \pause \sqrt{\left(\dfrac{7}{8}-0\right)^2+\left(\dfrac{7}{8}-0\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{8}\right)^2}\\ \pause
      & = & \sqrt{\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(-\dfrac{7}{8}\right)^2}\\ \pause
      & = & \sqrt{\dfrac{49}{64}+\dfrac{49}{64}+\dfrac{49}{64}}\\ \pause
      & = & \sqrt{\dfrac{147}{64}}\\ \pause
      & = & \dfrac{7\sqrt{3}}{8} \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{KL=\dfrac{7\sqrt{3}}{8}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Le triangle $DBG$ étant équilatéral, le pied de la hauteur issue de $G$ est le point $I$, \pause son aire est donc $\mathscr{A}_{GBD}=\dfrac{BD\times GI}{2}$. \pause Or on a~:
  $$BD=\sqrt{2} \pause \quad \text{et} \quad GI=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$ \pause
  D'où~:
  $$\mathscr{A}_{GBD}= \pause \dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\mfrac{3}{2}}}{2} \pause =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ \pause
L'aire du triangle $BDG$ est donc bien~: \pause
$$\boxed{\mathscr{A}_{GBD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Le volume du tétraèdre $KDBG$ est donc~: \pause
  $$\mathscr{V}= \pause \dfrac{1}{3}\times\mathscr{A}_{GBD}\times KL \pause =\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{7\sqrt{3}}{8} \pause =\dfrac{7}{16}$$ \pause
Soit~:
$$\boxed{\mathscr{V}=\dfrac{7}{16}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La pyramide $ABCDK_a$ est une pyramide à base carrée, dont la base est le carré $ABCD$ d'aire égale à $1$ et la hauteur est $AK_a=a$. \pause Son volume est donc~:
  $$\boxed{\mathscr{V}_a=\dfrac{1}{3}a}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch14_ex1_q5b} Déterminons les coordonnées du point $L_a$, intersection du plan $(BDG)$ et de la droite $\Delta_a$. \pause On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $\Delta_a$ dans l'équation cartésienne du plan $(BDG)$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   t'+t'-(-t'+a)-1=0 & \Longleftrightarrow & \pause t'+t'+t'-a-1=0\\ \pause
                     & \Longleftrightarrow & 3t'=a+1\\ \pause
                     & \Longleftrightarrow & t'=\dfrac{a+1}{3} \pause
  \end{eqnarray*}
Le point $L_a$ est donc le point de paramètre $t'=\dfrac{a+1}{3}$, \pause soit le point de coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3}\,;\,\dfrac{a+1}{3}\,;\,-\dfrac{a+1}{3}+a\right)$, \pause d'où~:
$$\boxed{L_a\left(\dfrac{a+1}{3}\,;\,\dfrac{a+1}{3}\,;\,\dfrac{2a-1}{3}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item On peut remarquer que la droite $\Delta_a$ est la droite perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par $K_a$. \pause Le point $L_a$ est donc le projeté orthogonal de $K_a$ sur $(BDG)$. \pause Le volume du tétraèdre $GBDK_a$ est donc~: \pause
  $$\mathscr{V}_{GBDK_a}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{GBD}\times K_aL_a$$ \pause
  Or~:
  \begin{eqnarray*}
  K_aL_a & = & \pause \sqrt{\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2a-1}{3}-a\right)^2}\\ \pause
         & = & \sqrt{\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-a-1}{3}\right)^2}\\ \pause
         & = & \sqrt{3\times\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2}\\ \pause
         & = & \dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3} \pause
  \end{eqnarray*}
  Et donc~:
  $$\mathscr{V}_{GBDK_a}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a+1}{6}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

On a alors~:
\begin{eqnarray*}
 \mathscr{V}_{GBDK_a}=\mathscr{V}_a & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{a+1}{6}=\dfrac{1}{3}a\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & 2a=a+1\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & a=1 \pause
\end{eqnarray*}
Le tétraèdre $GBDK_a$ et la pyramide $ABCDK_a$ sont donc de même volume si et seulement si~: \pause
$$\boxed{a=1}$$

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Le polynôme $1-x^2$ admet pour racines $-1$ et $1$ et il est positif à l'intérieur de l'intervalle des racines. \pause On a donc, pour tout $x\in \left[-1\,;\,1\right]$, $1-x^2\geqslant 0$. \pause Et comme $\mathrm{e}^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, \pause on a, pour tout $x\in \left[-1\,;\,1\right]$~: \pause
  $$\boxed{f(x)\geqslant 0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Pour tout $x\in \left[-1\,;\,1\right]$, posons~: \pause
  $$\begin{cases}u(x)=1-x^2\\v'(x)=\mathrm{e}^x\end{cases}\quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=-2x\\v(x)=\mathrm{e}^x\end{cases}$$ \pause
  On a alors, par intégration par parties~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   \int_{-1}^1 (1-x^2)\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[(1-x^2)\mathrm{e}^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 -2x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\ \pause
      & = & (1-1)\mathrm{e}^1-(1-1)\mathrm{e}^{-1}+\int_{-1}^1 2x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\ \pause
      & = & 2\int_{-1}^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
  $$\boxed{\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_{-1}^1x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item L'aire $S$ est égale à l'intégrale précédente. \pause Calculons l'intégrale $\displaystyle \int_{-1}^1x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties. \pause Posons~:
 $$\begin{cases}u(x)=x\\v'(x)=\mathrm{e}^x\end{cases}\quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=\mathrm{e}^x\end{cases}$$ \pause
 On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
   \int_{-1}^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[x\mathrm{e}^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\ \pause
      & = & \mathrm{e}^1+\mathrm{e}^{-1}-\Big[\mathrm{e}^x\Big]_{-1}^1\\ \pause
      & = & \mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}-(\mathrm{e}^1-\mathrm{e}^{-1})\\ \pause
      & = & 2\mathrm{e}^{-1} \pause
  \end{eqnarray*}
  On a alors~:
  $$\mathscr{V}= \pause 3\times S \pause =3\times 2\int_{-1}^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \pause =12\mathrm{e}^{-1}$$ \pause
 Soit~:
 $$\boxed{\mathscr{V}\approx 4,4~\text{cm}^3}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{q\to+\infty}B(q)=-\infty} \pause \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{q\to+\infty}(8q^2)=+\infty\\\lim\limits_{q\to+\infty}(2-3\ln(q))=-\infty \end{cases}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La fonction $B$ est dérivable sur $\left[0,01\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $q\in\left[0,01\,;\,+\infty\right[$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  B'(q) & = & \pause 16q(2-3\ln(q))+8q^2\times \left(-\dfrac{3}{q}\right)\\ \pause
        & = & 16q(2-3\ln(q))-24q\\ \pause
        & = & 8q(4-6\ln(q)-3)\\ \pause
        & = & 8q(1-6\ln(q)) \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{B'(q)=8q(1-6\ln(q))}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Pour tout $q\in\left[0,01\,;\,+\infty\right[$, $q>0$ donc $B'(q)$ est du signe de $1-6\ln(q)$. \pause On a~:
 \begin{eqnarray*}
  1-6\ln(q)\geqslant 0 & \Longleftrightarrow & \pause 6\ln(q)\leqslant 1\\ \pause
                       & \Longleftrightarrow & \ln(q)\leqslant \dfrac{1}{6}\\ \pause
                       & \Longleftrightarrow & q\leqslant \mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}} \pause
 \end{eqnarray*}
On a alors la tableau~: \pause
\pgfkeys{/pgf/number format/.cd,fixed,precision=2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=1.7, espcl=2.5 , deltacl=1]%
{$q$ /0.7,
$B'(q)$ /0.7,
$B(q)$ /2.1}
{ $\pgfmathprintnumber{0.01}$  , $\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$B(\pgfmathprintnumber{0.01})$ , +/$B\left(\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}\right)$ , -/$-\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

De plus, on a~:
\begin{eqnarray*}
B(0,01) & = & \pause 0,0008(2-3\ln(0,01))-3\\ \pause
        & = &0,0024\ln(100)-2,9984\\ \pause
        & \approx & -2,9873 \pause
\end{eqnarray*}
Et~:
\begin{eqnarray*}
 B\left(\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}\right) & = & \pause 8\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}(2-3\ln(\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}))-3\\ \pause
  & = &8\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}\left(2-3\times \dfrac{1}{6}\right)-3\\ \pause
  & = &12\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}-3\\ \pause
  & \approx & 13,7
\end{eqnarray*}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item Le bénéfice est maximal pour $q=\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}\approx 1,18$ \pause (soit environ 118 bonbons) \pause et ce bénéfice, en dizaine d'euros, est égal à $12\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{3}$}}-3 \pause \approx 13,7$ \pause soit environ~:
 $$\boxed{137~\text{euros}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On peut remarquer que $1,2>\mathrm{e}^{\text{\footnotesize$\frac{1}{6}$}}$. \pause Sur l'intervalle $\left[1,2\,;\,+\infty\right[$, la fonction $B$ est continue et strictement décroissante. \pause De plus $B(1,2)\approx 13,7$ et $\lim\limits_{q\to+\infty}B(q)=-\infty$. \pause Or $10\in\left]-\infty\,;\,B(1,2)\right]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \pause l'équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\beta$ sur l'intervalle $\left[1,2\,;\,+\infty\right[$. \pause Et on a~:
 \begin{itemize}
  \item $B(1,558)\approx 10,007>10$ \pause
  \item $B(1,559)\approx 9,986<10$ \pause
 \end{itemize}
On en déduit que~:
$$\boxed{1,558<\beta<1,559}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item En utilisant le sens de variation de $B$ et le fait que l'équation $B(q)=10$ admet pour solutions $\alpha$ et $\beta$, \pause on en déduit que l'inéquation $B(q)\geqslant 10$ admet pour ensemble solution l'intervalle $\left[\alpha\,;\,\beta\right]$. \pause Le bénéfice est donc supérieur à 100~euros lorsqu'il vend~:
 $$\boxed{\text{Entre 78 et 155 bonbons}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{eqnarray*}
  w_{n+1} & = & \pause t_{n+1}-10\\ \pause
          & = & -0,8t_n+18-10\\ \pause
          & = & -0,8t_n+8\\ \pause
          & = & -0,8(t_n-10)\\ \pause
          & = & -0,8w_n \pause
 \end{eqnarray*}
La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $-0,8$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ on a, en multipliant par $\dfrac{1}{n}$ qui est positif~: \pause
 $$\dfrac{3n-4}{n}\leqslant \dfrac{S_n}{n}\leqslant \dfrac{3n+4}{n}$$ \pause
 Soit~:
 $$3-\dfrac{4}{n}\leqslant u_n\leqslant 3+\dfrac{4}{n}$$ \pause
 Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3-\dfrac{4}{n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3+\dfrac{4}{n}\right)=3$ \pause donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge vers $3$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\ \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  Pour $n=1$, on a d'une part $u_1=2$ \pause et d'autre part $\dfrac{1+1}{1}=2$. \pause La propriété est donc vraie au rang $n=1$. \pause
  \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\geqslant 1$, c'est-à-dire $v_n=\dfrac{n+1}{n}$, on a alors~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   v_{n+1} & = & \pause 2-\dfrac{1}{v_n}\\ \pause
           & = & 2-\dfrac{1}{\mfrac{n+1}{n}} \quad \textsl{(par hypothèse de récurrence)}\\ \pause
           & = & 2-\dfrac{n}{n+1}\\ \pause
           & = & \dfrac{2(n+1)}{n+1}-\dfrac{n}{n+1}\\ \pause
           & = & \dfrac{2n+2-n}{n+1}\\ \pause
           & = & \dfrac{n+2}{n+1} \pause
  \end{eqnarray*}
  \leftskip=1.5cm
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie pour $n=1$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Faux}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 $$u_n= \pause \mathrm{e}^n-n \pause =n\left(\dfrac{\mathrm{e}^n}{n}-1\right)$$ \pause
 Or, par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^n}{n}=+\infty$ \pause donc la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item \textbf{Affirmation 5~: Vrai}\\ \pause
 La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$, \pause on en déduit qu'elle est convergente vers une limite $l$. \pause De plus, cette suite est définie par la relation $u_{n+1}=0,5\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$, \pause c'est-à-dire par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie par $f(x)=0,5\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$. \pause La fonction $f$ étant continue sur $\mathbb{R}^*$, \pause on sait que $l$ est un point fixe de $f$, \pause c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$.
\end{enumerate}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$~:
 \begin{eqnarray*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause 0,5\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x+\dfrac{2}{x}=2x\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x-\dfrac{2}{x}=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \dfrac{x^2-2}{x}=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x^2=2\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x=\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x=-\sqrt{2} \pause
 \end{eqnarray*}
\leftskip=2cm
Et comme $\sqrt{2}\leqslant u_n\leqslant 2$, \pause la suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers $-\sqrt{2}$, \pause elle converge donc vers $\sqrt{2}$.

\end{frame}




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\begin{frame}{Exercice 4 - Partie A}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On répète 100 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (choisir un cachet non conforme) est égale à $0,02$. \pause La variable aléatoire $N$ compte le nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$N$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item L'espérance de $N$ est donnée par la formule $E(N)=n\times p \pause =100\times 0,02 \pause=2$ \pause , soit~:
 $$\boxed{E(N)=2}$$ \pause
 Cela signifie qu'en moyenne, il y aura 2 cachets non conformes par boîte.
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch14_ex4_qA3a} Il s'agit de calculer $P(N=3)$. \pause On obtient, à l'aide da la calculatrice, que la probabilité qu'une boîte contienne exactement 3 cachets non conformes est~: \pause
  $$\boxed{P(N=3)\approx 0,182}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Contenir au moins 95 cachets conforme revient à contenir au plus 5 cachets non conformes. \pause Il s'agit donc de calculer $P(N\leqslant 5)$. \pause On obtient, à l'aide da la calculatrice, que la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes~: \pause
  $$\boxed{P(N\leqslant 5)\approx 0,985}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \label{ch14_ex4_qA4} Soit $n$ le nombre de cachets par boîtes et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de cachets non conformes dans une boîte. \pause La variable aléatoire suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$. \pause La probabilité que la boîte ne contienne que des cachets conformes est $P(X=0)= \pause 0,98^n$. \pause On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  P(X=0)\geqslant 0,5 & \Longleftrightarrow & \pause 0,98^n\geqslant 0,5\\ \pause
                      & \Longleftrightarrow & \ln\left(0,98^n\right)\geqslant \ln\left(0,5\right)\\ \pause
                      & \Longleftrightarrow & n\ln\left(0,98\right)\geqslant \ln\left(0,5\right)\\ \pause
                      & \Longleftrightarrow & n\leqslant \dfrac{\ln\left(0,5\right)}{\ln\left(0,98\right)} \quad \textsl{(car $\ln\left(0,98\right)<0$)}
 \end{eqnarray*} \pause
\leftskip=1.5cm
Or $\dfrac{\ln\left(0,5\right)}{\ln\left(0,98\right)} \pause \approx 34,3$ \pause donc le nombre maximal de cachets par boîte pour qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes avec une probabilité supérieure à $0,5$ est~: \pause
$$\boxed{n=34}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}{Partie B}


\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item La variable aléatoire $S$ étant la somme de 100 variables aléatoires indépendantes suivant la même loi d'espérance $\mu=2$, \pause on sait que $E(S)=100\times 2=200$, \pause soit~:
 $$\boxed{E(S)=200}$$ \pause
 Cela signifie, qu'en moyenne, la masse totale des cahcets d'une boîte sera égale à 200~grammes.
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La variable aléatoire $S$ étant la somme de 100 variables aléatoires indépendantes suivant la même loi d'écart-type $\sigma$, \pause on sait que son écart-type est $s=\sqrt{100}\times \sigma=10\sigma$ \pause, soit~:
 $$\boxed{s=10\sigma}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



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\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On souhaite que $P(199<S<201)\geqslant 0,9$. \pause Or~:
  \begin{eqnarray*}
   \hspace{-1cm}P(199<S<201)\geqslant 0,9 & \Longleftrightarrow & \pause P(|S-200|<1)\geqslant 0,9\\ \pause
                             & \Longleftrightarrow & P(|S-200|\geqslant 1)\leqslant 0,1 \quad \textsl{(passage au contraire)}
  \end{eqnarray*} \pause
Cette condition est donc bien équivalente à~:
  $$\boxed{P(|S-200|\geqslant 1)\leqslant 0,1}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On sait que $E(S)=200$ et $V(S)=100\sigma^2$, \pause on a alors, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $\delta>0$~: \pause
  $$P(|S-E(S)|\geqslant \delta)\leqslant \dfrac{V(S)}{\delta^2}$$ \pause
  Soit, en prenant $\delta=1$~: \pause
  $$P(|S-200|\geqslant 1)\leqslant 100\sigma^2$$ \pause

  Afin d'assurer la condition, il suffit que $100\sigma^2\leqslant 0,1$ \pause d'où $\sigma^2\leqslant \dfrac{0,1}{100}=0,001$ \pause et donc $\sigma=\sqrt{0,001}$. \pause La valeur maximale de $\sigma$ est donc~:
  $$\boxed{\sigma=\sqrt{0,001}\approx 0,0316}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


\end{document}





