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    \put(0,3){\makebox(0,0)[bl]{
    \includegraphics[scale=0.13]{fleur_terminale.eps}}}
  \end{picture}
}{}




\begin{document}



\title{Suède - 7 juin 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\pause
\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\ \pause
 La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \pause $f'(x)=2\mathrm{e}^{2x}-6$. \pause On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(x)-2f(x) & = & \pause 2\mathrm{e}^{2x}-6-2\left(\mathrm{e}^{2x}-6x+1\right)\\ \pause
              & = & 2\mathrm{e}^{2x}-6-2\mathrm{e}^{2x}+12x-2\\ \pause
              & = & 12x-8\\ \pause
 \end{eqnarray*}
 La fonction $f$ n'est donc pas solution de l'équation différentielle $y'-2y=-6x+1$.
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\ \pause
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n$ est égal à la somme des terme d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac{3}{4}$. \pause On a donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$~: \pause
 $$u_n= \pause 1\times \dfrac{1-\left(\mfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\mfrac{3}{4}} \pause =\dfrac{1-\left(\mfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\mfrac{1}{4}} \pause =4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)$$ \pause
 Or $-1<\dfrac{3}{4}<1$ \pause donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=0$ \pause et donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4$.
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\ \pause
 L'instruction \pyv{for i in range(k)} permet de faire varier \pyv{i} entre \pyv{0} et \pyv{k-1}. Si l'on souhaite faire varier \pyv{i} entre \pyv{0} et \pyv{k}, il faut donc utiliser \pyv{for i in range(k+1)}. De plus, il faut utiliser l'indice \pyv{i} dans la boucle et non \pyv{k} (qui ne varie pas). Une fonction correcte serait donc~:

 \begin{pyverbatim}[][frame=single]
def suite(k) :
   S = 0
   for i in range(k+1) :
      S = S + (3/4)**i
   return S
\end{pyverbatim}
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
 La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
 $$f'(x)=\dfrac{a}{x}-2 \pause \quad \text{et donc} \quad f'(1)=a-2$$ \pause
 On a alors, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(1)=0 & \Longleftrightarrow & \pause a-2=0\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & a=2 \pause
 \end{eqnarray*}
 On en déduit que pour $a=2$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}


\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~: \pause

\begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R_1$}\taput{\footnotesize $0,85$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\taput{\footnotesize $0,6$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_2}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R_1}$}\tbput{\footnotesize $0,15$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\taput{\footnotesize $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_2}$}\tbput{\footnotesize $0,6$}
}
}
 \end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Les événements $R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(R_2) & = & \pause P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)+P(\overline{R_1})\times P_{\overline{R_1}}(R_2)\\ \pause
         & = &  0,85\times 0,6+0,15\times 0,4\\ \pause
         & = & 0,57 \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité de l'événement $R_2$ est donc~: \pause
$$\boxed{P(R_2)=0,57}$$
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch13_ex2_qA3} Il s'agit de calculer $P_{R_2}(\overline{R_1})$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_{R_2}(\overline{R_1}) & = & \pause \dfrac{P(\overline{R_1}\cap R_2)}{P(R_2)}\\ \pause
         & = & \dfrac{0,15\times 0,4}{0,57}\\ \pause
         & = & \dfrac{2}{19} \pause
 \end{eqnarray*}
 Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, la probabilité qu'il ait raté le premier est~: \pause
 $$\boxed{P_{R_2}(\overline{R_1})=\dfrac{2}{19}\approx 0,1053}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La variable aléatoire $Z$ peut prendre pour valeurs $0$, $1$ et $2$ et on a~: \pause
  \begin{itemize}
   \item $P(Z=0)= \pause P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2}) \pause =0,15\times 0,6 \pause =0,09$ \pause
   \item $P(Z=1)= \pause P(R_1\cap \overline{R_2})+P(\overline{R_1}\cap R_2) \pause =0,85\times 0,4+0,15\times 0,4 \pause =0,4$ \pause
   \item $P(Z=2)= \pause P(R_1\cap R_2)) \pause =0,85\times 0,6 \pause =0,51$ \pause
  \end{itemize}
La loi de probabilité de $Z$ est donc donnée dans le tableau suivants~: \pause

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ \\ \hline
$P(Z=k)$ & $0,09$ & $0,4$ & $0,51$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On a~:
  \begin{eqnarray*}
   E(Z) & = & \pause 0\times P(Z=0)+1\times P(Z=1)+2\times P(Z=2)\\ \pause
        & = & 0\times 0,09+1\times 0,4+2\times 0,51\\ \pause
        & = & 1,42 \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{E(Z)=1,42}$$ \pause
Cela signifie, qu'en moyenne, sur les deux premiers services, le joueur en réussi $1,42$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Lorsqu'il réussit le $n$-ième service, la probabilité qu'il réussisse le $n+1$-ième est égale à $0,6$, \pause soit~:
  $$\boxed{P_{R_n}(R_{n+1})=0,6}$$ \pause
  Lorsqu'il ne réussit pas le $n$-ième service, la probabilité qu'il ne réussisse pas le $n+1$-ième est égale à $0,6$, \pause soit~:
  $$\boxed{P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0,6}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Les événements $R_n$ et $\overline{R_{n+1}}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(R_{n+1}) & = & \pause P(R_n)\times P_{R_n}(R_{n+1})+P(\overline{R_n})\times P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})\\ \pause
         & = & x_n\times 0,6+(1-x_n)\times 0,4\\ \pause
         & = & 0,6x_n+0,4-0,4x_n\\ \pause
         & = & 0,2x_n+0,4 \pause
 \end{eqnarray*}
  Soit, pour tout entier naturel non nul $n$~:
  $$\boxed{x_{n+1}=0,2x_n+0,4}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a~:
  \begin{eqnarray*}
   u_{n+1} & = & \pause x_{n+1}-0,5\\ \pause
           & = & 0,2x_n+0,4-0,5\\ \pause
           & = & 0,2x_n-0,1\\ \pause
           & = & 0,2(x_n-0,5)\\ \pause
           & = & 0,2u_n \pause
  \end{eqnarray*}
On en déduit que~:
$$\hspace{-2.2cm}\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_1=0,85-0,5=0,35$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On déduit de la question précédente que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \pause $u_n=u_1\times 0,2^{n+1}$, \pause soit $u_n=0,85\times 0,2^{n-1}$. \pause Et comme $u_n=x_n-0,5$, \pause $x_n=u_n+0,5$, \pause soit~:
  $$\boxed{x_n=0,85\times 0,2^{n-1}+0,5}$$ \pause
  On a $-1<0,2<1$ \pause donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(0,2^{n-1}\right)=0$ \pause d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0,5}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Cela signifie, qu'à long terme, \pause la probabilité que le joueur réussisse un service se rapproche de $0,5$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie 1}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On lit graphiquement que la température maximale est atteint au bout de~: \pause
 $$\boxed{\text{$200$ minutes}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La température dépasse 300\degres C au bout d'environ $100$~minutes \pause et passe de nouveau en-dessous de 300\degres C après environ $350$~minutes. \pause La température à l'intérieur du foyer dépasse 300\degres C pendant environ~: \pause
 $$\boxed{\text{$250$ minutes}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item L'intégrale $\displaystyle \int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t$ \pause est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ et les droites verticales d'équations $x=0$ et $x=600$. \pause Or on peut évaluer que ce domaine est environ égal à 124 carreaux \pause et, comme l'aire d'un carreau est égale à $50\times 25=\np{1250}$~unités d'aires, \pause l'intégrale est égale à environ $124\times \np{1250}=\np{155000}$. \pause On peut alors estimer~:
 $$\boxed{\dfrac{1}{600}\int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t\approx 258}$$ \pause
Cela signifie que la température moyenne du four au cours des 600 premières minutes est d'environ 258\degres C.
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 2}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item \label{ch13_ex3_q1.1} Par croissances comparées, on a $\lim\limits_{x\to+\infty}t\mathrm{e}^{-0,01t}=0$ \pause donc~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(t)=20}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   g'(t) & = & \pause 10\mathrm{e}^{-0,01t}+10t\times (-0,01)\mathrm{e}^{-0,01t}\\ \pause
         & = & 10\mathrm{e}^{-0,01t}-0,1t\mathrm{e}^{-0,01t}\\ \pause
         & = & (-0,1t+10)\mathrm{e}^{-0,01t} \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{g'(t)=(-0,1t+10)\mathrm{e}^{-0,01t}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Pour tout $\left[0\,;\,+\infty\right[$, $\mathrm{e}^{-0,01t}>0$ \pause donc $g'(t)$ est du signe de $(-0,1t+10)$, \pause d'où le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$g'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.1}
{ $0$  , $100$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$20$ , +/$f(100)$ , -/$20$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \begin{itemize}
  \item Sur l'intervalle $\left[0\,;\,100\right]$, la fonction $g$ est continue et strictement croissante. \pause De plus $f(0)=20<300$ et $f(100)\approx 388>300$. \pause On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \pause que l'équation $f(t)=300$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[0\,;\,100\right]$. \pause
  \item Sur l'intervalle $\left[100\,;\,+\infty\right[$, la fonction $g$ est continue et strictement décroissante. \pause De plus $f(100)\approx 388>300$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=20<300$. \pause On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, \pause que l'équation $g(t)=300$ admet une unique solution $\beta$ sur $\left[100\,;\,+\infty\right[$. \pause
 \end{itemize}
Finalement, l'équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ \pause et on obtient, à l'aide de la calculatrice~: \pause
$$\boxed{\alpha\approx 43} \pause \quad \text{et} \quad \boxed{\beta\approx 193}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{small}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item On a~:
  \begin{eqnarray*}
   \int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t & = & \pause \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}+20\,\mathrm{d}t\\ \pause
         & = & \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t+\int_0^{600}20\,\mathrm{d}t\\ \pause
         & = & \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t+\np{12000}
  \end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{small}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{small}
Posons~:
$$\begin{cases}u(t)=10t\\v'(t)=\mathrm{e}^{-0,01t}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(t)=10\\v(t)=-100\mathrm{e}^{-0,01t}\end{cases}$$ \pause
On a, par intégration par parties~: \pause
\begin{eqnarray*}
 \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t & = & \pause \Big[10t\times (-100\mathrm{e}^{-0,01t})\Big]_0^{600}-\int_0^{600}10\times (-100\mathrm{e}^{-0,01t})\,\mathrm{d}t\\ \pause
      & = & \Big[-\np{1000}t\mathrm{e}^{-0,01t}\Big]_0^{600}+\int_0^{600}\np{1000}\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t\\ \pause
      & = & -\np{600000}\mathrm{e}^{-6}+\np{1000}\times 0\mathrm{e}^{0}+\Big[-\np{100000}\mathrm{e}^{-0,01t}\Big]_0^{600}\\ \pause
      & = & -\np{600000}\mathrm{e}^{-6}-\np{100000}\mathrm{e}^{-6}+\np{100000}\mathrm{e}^{0}\\ \pause
      & = & \np{100000}-\np{700000}\mathrm{e}^{-6}
\end{eqnarray*} \pause
Et finalement~:
$$\boxed{\int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t=\np{112000}-\np{700000}\mathrm{e}^{-6}\approx \np{110265}}$$
\end{small}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie 3}

\begin{itemize}
 \item Pour l'appareil A~: \pause
 \begin{itemize}
  \item la température maximale est supéieure à 320\degres C (elle est d'environ 350\degres C). \pause
  \item la température maximale n'est pas atteinte en moins de 2 heures (elle est atteinte en 200 minutes). \pause
  \item la température moyenne durant les 10 premières heures (donc les 600) premières minutes est supérieure à 250\degres C (elle est d'environ 258\degres C). \pause
  \item la température à l'intérieur du foyer ne dépasse pas 300\degres C pendant plus de 5 heures (elle les dépasse pendant environ 250 minutes).
 \end{itemize} \pause
 $$\boxed{\text{L'appareil A obtient donc exactement 3 étoiles}}$$
\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{itemize}
 \item Pour l'appareil B~: \pause
 \begin{itemize}
  \item la température maximale est supéieure à 320\degres C (elle est d'environ 388\degres C). \pause
  \item la température maximale est atteinte en moins de 2 heures (elle est atteinte en 100 minutes). \pause
  \item la température moyenne durant les 10 premières heures (donc les 600) premières minutes n'est pas supérieure à 250\degres C (elle est d'environ $\mfrac{\np{110265}}{600}\approx 184$\degres C). \pause
  \item la température à l'intérieur du foyer ne dépasse pas 300\degres C pendant plus de 5 heures \pause (elle les dépasse pendant environ 150 minutes entre la 43-ième minute et la 93-ième). \pause
 \end{itemize}
 $$\boxed{\text{L'appareil B obtient donc exactement 3 étoiles}}$$
\end{itemize}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item On a~:
 \begin{eqnarray*}
  BC & = & \pause \sqrt{\left(87-(-33)\right)^2+\left(75-75\right)^2+\left(-116-44\right)^2}\\ \pause
     & = & \sqrt{120^2+0^2+(-160^2)}\\ \pause
     & = & \sqrt{\np{40000}}\\ \pause
     & = & 200
 \end{eqnarray*} \pause
 Et on a directement $OA=200$, \pause soit~:
 $$\boxed{OA=200} \quad \text{et} \quad \boxed{BC=200}$$ \pause

\leftskip=1.5cm
Et comme les avions volent tous les deux à la même vitesse, \pause l'avion \no 2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ \pause que l'avion \no 1 à parcourir le segment $[0A]$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de montrer que les segments $[OA]$ et $[BC]$ sont sécants. \pause Les droites $(OA)$ et $(BC)$ admettent pour représentations paramétriques respectives~: \pause
$$\begin{cases}x=0\\y=t\\z=0\end{cases} \text{ avec $t\in\mathbb{R}$} \pause \quad \text{et} \quad \begin{cases}x=-33+120t'\\y=75\\z=44-160t'\end{cases} \text{ avec $t'\in\mathbb{R}$}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{small}
Déterminons l'intersection de ces deux droites~: \pause
\begin{eqnarray*}
 \begin{cases}0=-33+120t'\\t=75\\0=44-160t'\end{cases} & \Longleftrightarrow & \pause \begin{cases}120t'=33\\t=75\\160t'=44\end{cases}\\ \pause
  & \Longleftrightarrow & \begin{dcases}t'=\dfrac{33}{120}\\t=75\\t'=\dfrac{44}{160}\end{dcases}\\ \pause
  & \Longleftrightarrow & \begin{cases}t=75\\t'=0,275\end{cases}
\end{eqnarray*} \pause
Les deux droites sont donc sécantes au point de paramètre $t=75$ \pause dans la représentation paramétrique de $(OA)$ \pause et de paramètre $t'=0,275$ dans celle de $(BC)$, \pause c'est-à-dire au point~:
$$\boxed{H(0\,;\,75\,;\,0)}$$\pause

\leftskip=2cm
Et ce point appartient bien aux deux segments donc~: \pause
$$\boxed{\text{Les trajectoires des deux avions se coupent}}$$
\end{small}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{itemize}
 \item L'avion \no 1 se trouve au point $O$, de paramètre $t=0$ au bout de 0~seconde \pause et au point $A$, de paramètre $t=200$, \pause au bout d'une seconde. \pause Il passe donc par le point $H$, de paramètre $t=75$ après $\dfrac{75}{200}=0,375$~seconde. \pause
  \item L'avion \no 2 se trouve au point $B$, de paramètre $t'=0$, au bout de 0~seconde \pause et au point $C$, de paramètre $t'=1$, au bout d'une seconde. \pause Il passe donc par le point $H$, de paramètre $t'=0,275$ après $0,275$~seconde. \pause
 \end{itemize}
Les avions passent au point d'intersection de leurs trajectoires à $0,1$~seconde d'écart. \pause L'avion \no 2 aurra donc parcouru 20 mètres au moment ou l'avion \no 1 passera au point $H$. \pause On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Les deux avions ne devraient pas se percuter}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



\end{document}







