\chapter{Suède - 7 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Un vrai-faux en vrac}\label{13.1}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(4 points)}]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1~:} Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'-2y=-6x+1$.\\
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-6x+1$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2~:} On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par~:
$$u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dots +\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$$
La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.

\bigskip

\textbf{Affirmation 3~:} On considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation 2.\\
L'instruction \pyv{suite(50)} ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def suite(k) :
   S = 0
   for i in range(k) :
      S = S + (3/4)**k
   return S
\end{pyverbatim}


\bigskip

\textbf{Affirmation 4~:} Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par~:
$$f(x)=a\ln(x)-2x$$
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $(0\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j})$.\\
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.


\end{tcolorbox}




\textbf{Correction}
\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\
 La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=2\mathrm{e}^{2x}-6$. On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
 \begin{align*}
  f'(x)-2f(x) & = 2\mathrm{e}^{2x}-6-2\left(\mathrm{e}^{2x}-6x+1\right)\\
              & = 2\mathrm{e}^{2x}-6-2\mathrm{e}^{2x}+12x-2\\
              & = 12x-8
 \end{align*}
 La fonction $f$ n'est donc pas solution de l'équation différentielle $y'-2y=-6x+1$.
 \item \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n$ est égal à la somme des terme d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac{3}{4}$. On a donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
 $$u_n=1\times \dfrac{1-\left(\mfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\mfrac{3}{4}}=\dfrac{1-\left(\mfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\mfrac{1}{4}}=4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)$$
 Or $-1<\dfrac{3}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=0$ et donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4$.
 \item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\
 L'instruction \pyv{for i in range(k)} permet de faire varier \pyv{i} entre \pyv{0} et \pyv{k-1}. Si l'on souhaite faire varier \pyv{i} entre \pyv{0} et \pyv{k}, il faut donc utiliser \pyv{for i in range(k+1)}. De plus, il faut utiliser l'indice \pyv{i} dans la boucle et non \pyv{k} (qui ne varie pas). Une fonction correcte serait donc~:

 \begin{pyverbatim}[][frame=single]
def suite(k) :
   S = 0
   for i in range(k+1) :
      S = S + (3/4)**i
   return S
\end{pyverbatim}

 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
 La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 $$f'(x)=\dfrac{a}{x}-2 \quad \text{et donc} \quad f'(1)=a-2$$
 On a alors, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
  f'(1)=0 & \Longleftrightarrow a-2=0\\
          & \Longleftrightarrow a=2
 \end{align*}
 On en déduit que pour $a=2$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}






\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item La formule donnant la somme $S$ des premiers termes d'une suite géométrique de raison $q$~:
 $$\boxed{S=\text{premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$$
 \item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. En particulier, une courbe admet une tangente horizontale en un point si et seulement si le nombre dérivé est nul en ce point.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


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\section{Réussite d'un service de volley-ball}\label{13.2}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(5 points)}]
Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,85$.\\
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées~:
\begin{itemize}
 \item Si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0,6$.
 \item Si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$.
\end{itemize}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'événement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_n}$ l'événement contraire.

\medskip

\textbf{Partie A~:}\\
On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
 \item Démontrer que la probabilité de l'événement $R_2$ est égale à $0,57$.
 \item Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.
 \item Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).
  \item Calculer l'espérance mathématiques $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~:}\\
On s'intéresse maintenant au cas général. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'événement $R_n$.
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})$.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a~: $x_{n+1}=0,2x_n+0,4$.
 \end{enumerate}
 \item Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=x_n-0,5$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
  \item Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.
  \item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A~:}
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

\begin{center}
  \psset{nodesep=0mm,levelsep=23mm,treesep=11mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R_1$}\taput{\footnotesize $0,85$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\taput{\footnotesize $0,6$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_2}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R_1}$}\tbput{\footnotesize $0,15$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\taput{\footnotesize $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_2}$}\tbput{\footnotesize $0,6$}
}
}
 \end{center}

 \item Les événements $R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(R_2) & = P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)+P(\overline{R_1})\times P_{\overline{R_1}}(R_2)\\
         & =  0,85\times 0,6+0,15\times 0,4\\
         & = 0,57
 \end{align*}
La probabilité de l'événement $R_2$ est donc~:
$$\boxed{P(R_2)=0,57}$$
 \item \label{ch13_ex2_qA3} Il s'agit de calculer $P_{R_2}(\overline{R_1})$~:
 \begin{align*}
  P_{R_2}(\overline{R_1}) & = \dfrac{P(\overline{R_1}\cap R_2)}{P(R_2)}\\
         & = \dfrac{0,15\times 0,4}{0,57}\\
         & = \dfrac{2}{19}
 \end{align*}
 Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, la probabilité qu'il ait raté le premier est~:
 $$\boxed{P_{R_2}(\overline{R_1})=\dfrac{2}{19}\approx 0,1053}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La variable aléatoire $Z$ peut prendre pour valeurs $0$, $1$ et $2$ et on a~:
  \begin{itemize}
   \item $P(Z=0)=P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})=0,15\times 0,6=0,09$
   \item $P(Z=1)=P(R_1\cap \overline{R_2})+P(\overline{R_1}\cap R_2)=0,85\times 0,4+0,15\times 0,4=0,4$
   \item $P(Z=2)=P(R_1\cap R_2))=0,85\times 0,6=0,51$
  \end{itemize}
La loi de probabilité de $Z$ est donc donnée dans le tableau suivants~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ \\ \hline
$P(Z=k)$ & $0,09$ & $0,4$ & $0,51$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

  \item On a~:
  \begin{align*}
   E(Z) & = 0\times P(Z=0)+1\times P(Z=1)+2\times P(Z=2)\\
        & = 0\times 0,09+1\times 0,4+2\times 0,51\\
        & = 1,42
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{E(Z)=1,42}$$
Cela signifie, qu'en moyenne, sur les deux premiers services, le joueur en réussi $1,42$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~:}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Lorsqu'il réussit le $n$-ième service, la probabilité qu'il réussisse le $n+1$-ième est égale à $0,6$, soit~:
  $$\boxed{P_{R_n}(R_{n+1})=0,6}$$
  Lorsqu'il ne réussit pas le $n$-ième service, la probabilité qu'il ne réussisse pas le $n+1$-ième est égale à $0,6$, soit~:
  $$\boxed{P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0,6}$$

  \item Les événements $R_n$ et $\overline{R_{n+1}}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(R_{n+1}) & = P(R_n)\times P_{R_n}(R_{n+1})+P(\overline{R_n})\times P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})\\
         & =  x_n\times 0,6+(1-x_n)\times 0,4\\
         & = 0,6x_n+0,4-0,4x_n\\
         & = 0,2x_n+0,4
 \end{align*}
  Soit, pour tout entier naturel non nul $n$~:
  $$\boxed{x_{n+1}=0,2x_n+0,4}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a~:
  \begin{align*}
   u_{n+1} & = x_{n+1}-0,5\\
           & = 0,2x_n+0,4-0,5\\
           & = 0,2x_n-0,1\\
           & = 0,2(x_n-0,5)\\
           & = 0,2u_n
  \end{align*}
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_1=0,85-0,5=0,35$}}$$

  \item On déduit de la question précédente que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $u_n=u_1\times 0,2^{n+1}$, soit ${u_n=0,85\times 0,2^{n-1}}$. Et comme $u_n=x_n-0,5$, $x_n=u_n+0,5$, soit~:
  $$\boxed{x_n=0,85\times 0,2^{n-1}+0,5}$$
  On a $-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(0,2^{n-1}\right)=0$ d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0,5}$$
  \item À long terme, la probabilité que le joueur réussisse un service se rapproche de $0,5$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \label{ch13_ex2_qA3}, l'énoncé ne précise pas s'il faut arrondir le résultat. On peut donc supposer que c'est la valeur exacte qui est attendue, soit $\dfrac{2}{19}$. Personnellement, j'ai pour coutume d'arrondir les probabilités à $10^{-4}$ près, soit $0,1053$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



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\section{Certification d'un appareil de chauffage}\label{13.3}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(7 points)}]
Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.
\begin{center}
 \textit{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}
\end{center}
\textbf{Partie 1~: appareil de la marque A}\\
À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque A.\\
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

\begin{center}
\psset{xunit=0.0075cm,yunit=0.015cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-200,-50)(1400,450)

\multips(0,0)(0,25.0){17}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(1200,0)}
\multips(0,0)(50.0,0){25}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,400)}

\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100.,Dy=50.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(0.,0)(1200,400)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0}{1200}{4.5*x*2.718^(-0.005*x)+20}
\rput[tl](-150,430){Température (en \degres C)}
\rput[tl](1050,-30){Temps (en min)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\underline{Par lecture graphique~:}
\begin{enumerate}
 \item Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.
 \item Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse 300\degres C.
 \item On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.\\
 Estimer la valeur de $\displaystyle \dfrac{1}{600}\int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2~: étude d'une fonction}\\
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $g(t)=10t\mathrm{e}^{-0,01t}+20$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, $g'(t)=(-0,1t+10)\mathrm{e}^{-0,01t}$.
  \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et construire son tableau de variations.
 \end{enumerate}
 \item Démontrer que l'équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.
  \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 3~: évaluation}\\
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$~minutes après l'allumage est modélisée sur $\left[0\,;\,600\right]$ par la fonction $g$.\\

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants~:
\begin{itemize}
 \item Critère 1~: la température maximale est supérieure à 320\degres C.
 \item Critère 2~: la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
 \item Critère 3~: la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse 250\degres C.
 \item Critère 4~: la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300\degres C pendant plus de 5 heures.
\end{itemize}
Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles~? Justifier votre réponse.
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie 1}
\begin{enumerate}
 \item On lit graphiquement que la température maximale est atteint au bout de~:
 $$\boxed{\text{$200$ minutes}}$$

 \item La température dépasse 300\degres C au bout d'environ $100$~minutes et passe de nouveau en-dessous de 300\degres C après environ $350$~minutes. La température à l'intérieur du foyer dépasse 300\degres C pendant environ~:
 $$\boxed{\text{$250$ minutes}}$$

 \item L'intégrale $\displaystyle \int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t$ est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ et les droites verticales d'équations $x=0$ et $x=600$. Or on peut évaluer que ce domaine est environ égal à 124 carreaux et, comme l'aire d'un carreau est égale à $50\times 25=\np{1250}$~unités d'aires, l'intégrale est égale à environ $124\times \np{1250}=\np{155000}$. On peut alors estimer~:
 $$\boxed{\dfrac{1}{600}\int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t\approx 258}$$
Cela signifie que la température moyenne du four au cours des 600 premières minutes est d'environ 258\degres C.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 2}
\begin{enumerate}
 \item \label{ch13_ex3_q1.1} Par croissances comparées, on a $\lim\limits_{x\to+\infty}t\mathrm{e}^{-0,01t}=0$ donc~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(t)=20}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
  \begin{align*}
   g'(t) & = 10\mathrm{e}^{-0,01t}+10t\times (-0,01)\mathrm{e}^{-0,01t}\\
         & = 10\mathrm{e}^{-0,01t}-0,1t\mathrm{e}^{-0,01t}\\
         & = (-0,1t+10)\mathrm{e}^{-0,01t}
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{g'(t)=(-0,1t+10)\mathrm{e}^{-0,01t}}$$
  \item Pour tout $\left[0\,;\,+\infty\right[$, $\mathrm{e}^{-0,01t}>0$ donc $g'(t)$ est du signe de $(-0,1t+10)$, d'où le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$g'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.1}
{ $0$  , $100$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$20$ , +/$f(100)$ , -/$20$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{sloppypar}
 \begin{itemize}
  \item Sur l'intervalle $\left[0\,;\,100\right]$, la fonction $g$ est continue et strictement croissante. De plus ${f(0)=20<300}$ et $f(100)\approx 388>300$. On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(t)=300$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[0\,;\,100\right]$.
  \item Sur l'intervalle $\left[100\,;\,+\infty\right[$, la fonction $g$ est continue et strictement décroissante. De plus $f(100)\approx 388>300$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=20<300$. On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $g(t)=300$ admet une unique solution $\beta$ sur $\left[100\,;\,+\infty\right[$.
 \end{itemize}
 \end{sloppypar}
Finalement, l'équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et on obtient, à l'aide de la calculatrice~:
$$\boxed{\alpha\approx 43} \quad \text{et} \quad \boxed{\beta\approx 193}$$
  \item On a~:
  \begin{align*}
   \int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t & = \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}+20\,\mathrm{d}t\\
         & = \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t+\int_0^{600}20\,\mathrm{d}t\\
         & = \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t+\np{12000}
  \end{align*}
Posons~:
$$\begin{cases}u(t)=10t\\v'(t)=\mathrm{e}^{-0,01t}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(t)=10\\v(t)=-100\mathrm{e}^{-0,01t}\end{cases}$$
On a, par intégration par parties~:
\begin{align*}
 \int_0^{600}10t\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t & = \Big[10t\times (-100\mathrm{e}^{-0,01t})\Big]_0^{600}-\int_0^{600}10\times (-100\mathrm{e}^{-0,01t})\,\mathrm{d}t\\
      & = \Big[-\np{1000}t\mathrm{e}^{-0,01t}\Big]_0^{600}+\int_0^{600}\np{1000}\mathrm{e}^{-0,01t}\,\mathrm{d}t\\
      & = -\np{600000}\mathrm{e}^{-6}+\np{1000}\times 0\mathrm{e}^{0}+\Big[-\np{100000}\mathrm{e}^{-0,01t}\Big]_0^{600}\\
      & = -\np{600000}\mathrm{e}^{-6}-\np{100000}\mathrm{e}^{-6}+\np{100000}\mathrm{e}^{0}\\
      & = \np{100000}-\np{700000}\mathrm{e}^{-6}
\end{align*}
Et finalement~:
$$\boxed{\int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t=\np{112000}-\np{700000}\mathrm{e}^{-6}\approx \np{110265}}$$

\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie 3}
\begin{itemize}
 \item Pour l'appareil A~:
 \begin{itemize}
  \item [\ding{52}] la température maximale est supérieure à 320\degres C (elle est d'environ 350\degres C).
  \item [\ding{54}] la température maximale n'est pas atteinte en moins de 2 heures (elle est atteinte en 200 minutes).
  \item [\ding{52}] la température moyenne durant les 10 premières heures (donc les 600) premières minutes est supérieure à 250\degres C (elle est d'environ 258\degres C).
  \item [\ding{52}] la température à l'intérieur du foyer ne dépasse pas 300\degres C pendant plus de 5 heures (elle les dépasse pendant environ 250 minutes).
 \end{itemize}
 $$\boxed{\text{L'appareil A obtient donc exactement 3 étoiles}}$$
 \item Pour l'appareil B~:
 \begin{itemize}
  \item [\ding{52}] la température maximale est supérieure à 320\degres C (elle est d'environ 388\degres C).
  \item [\ding{52}] la température maximale est atteinte en moins de 2 heures (elle est atteinte en 100 minutes).
  \item [\ding{54}] la température moyenne durant les 10 premières heures (donc les 600) premières minutes n'est pas supérieure à 250\degres C (elle est d'environ $\mfrac{\np{110265}}{600}\approx 184$\degres C).
  \item [\ding{52}] la température à l'intérieur du foyer ne dépasse pas 300\degres C pendant plus de 5 heures (elle les dépasse pendant environ 150 minutes entre la 43-ième minute et la 93-ième).
 \end{itemize}
 $$\boxed{\text{L'appareil B obtient donc exactement 3 étoiles}}$$
\end{itemize}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch13_ex3_q1.1}, l'argument \og par croissances comparées \fg{} est un peu rapide. Si l'on veut se ramener à la formule du cours, on peut écrire~:
 $$t\mathrm{e}^{-0,01t}=-100\times (-0,01t)\mathrm{e}^{-0,01t}$$
 On se ramène ainsi à une expression de la forme $\lim\limits_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^x$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Voltige aérienne}\label{13.4}

\begin{tcolorbox}[title=\textbf{Énoncé \hfill(4 points)}]
On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante~:
\begin{itemize}
 \item on se place dans un repère orthonormé $(0\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$, une unité représentant un mètre~;
 \item l'avion \no 1 doit relier le point $O$ au point $A(0\,;\,200\,;\,0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de 200 m/s~;
 \item l'avion \no 2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33\,;\,75\,;\,44)$ au point $C(87\,;\,75\,;\,-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de 200 m/s.
 \item au même instant, l'avion \no 1 est au point $O$ et l'avion \no 2 est au point $B$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-15,-18)(25,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=100,Dy=50,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-}(0,0)(-15,-18)(25,10)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-9,-4)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0)(7.5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,0)(7.5,-12)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,-12)(-1.5,-16)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-9,-4)(-1.5,-4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.5,-4)(7.5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.5,-16)(-9,-16)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.5,-16)(-1.5,-4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-9,-16)(-9,-4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,-12)(0,-12)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,-12)(-9,-16)
\psplot{-15}{25}{(-0-4*x)/-9}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,0)(10.8292,1.4796)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](10.8292,1.4796)(3.4167,1.5185)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3.4167,1.5185)(3.4167,5.9185)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](10.8292,1.4796)(10.8292,5.9185)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](10.8292,5.9185)(3.4167,5.9185)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3.4167,5.9185)(0,4.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,4.4)(0,0)
\psline(0,0)(7.5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0)(3.4167,1.5185)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,0)(7.5,4.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,4.4)(0,4.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](7.5,4.4)(10.8292,5.9185)
\psline(0,4.4)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0)(0,-12)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(20,0)
\rput[tl](-13.9,-5.1){$x$}
\rput[tl](23.7,0.9){$y$}
\rput[tl](-1.0,9.1){$z$}
\psline[linewidth=2pt](-1.5,-16)(10.8292,5.9185)
\rput[tl](10.5,7.4){$B$}
\rput[tl](-2.0,-16.4){$C$}
\rput[tl](-1.2,1.2){$O$}
\rput[bl](19.9,0.5){$A$}
\begin{footnotesize}
\rput[tl](1.2,2.5){$-33$}
\rput[tl](7.9,-0.3){$75$}
\rput[tl](-9.8,-2.6){$87$}
\rput[tl](-2.7,-11.1){$-116$}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](20,0)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.5,-16)
\psdots[dotstyle=*](10.8292,5.9185)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,-12)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Justifier que l'avion \no 2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion \no 1 à parcourir le segment $[0A]$.
 \item Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
 \item Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage~?
\end{enumerate}



\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 \begin{align*}
  BC & = \sqrt{\left(87-(-33)\right)^2+\left(75-75\right)^2+\left(-116-44\right)^2}\\
     & = \sqrt{120^2+0^2+(-160^2)}\\
     & = \sqrt{\np{40000}}\\
     & = 200
 \end{align*}
 Et on a directement $OA=200$, soit~:
 $$\boxed{OA=200} \quad \text{et} \quad \boxed{BC=200}$$
Et comme les avions volent tous les deux à la même vitesse, l'avion \no 2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion \no 1 à parcourir le segment $[0A]$.
 \item Il s'agit de montrer que les segments $[OA]$ et $[BC]$ sont sécants. Les droites $(OA)$ et $(BC)$ admettent pour représentations paramétriques respectives~:
$$\begin{cases}x=0\\y=t\\z=0\end{cases} \text{ avec $t\in\mathbb{R}$} \quad \text{et} \quad \begin{cases}x=-33+120t'\\y=75\\z=44-160t'\end{cases} \text{ avec $t'\in\mathbb{R}$}$$
Déterminons l'intersection de ces deux droites~:
\begin{align*}
 \begin{cases}0=-33+120t'\\t=75\\0=44-160t'\end{cases} & \Longleftrightarrow \begin{cases}120t'=33\\t=75\\160t'=44\end{cases}\\
  & \Longleftrightarrow \begin{dcases}t'=\dfrac{33}{120}\\t=75\\t'=\dfrac{44}{160}\end{dcases}\\
  & \Longleftrightarrow \begin{cases}t=75\\t'=0,275\end{cases}
\end{align*}
Les deux droites sont donc sécantes au point de paramètre $t=75$ dans la représentation paramétrique de $(OA)$ et de paramètre $t'=0,275$ dans celle de $(BC)$, c'est-à-dire au point~:
$$\boxed{H(0\,;\,75\,;\,0)}$$
Et ce point appartient bien aux deux segments donc~:
$$\boxed{\text{Les trajectoires des deux avions se coupent}}$$
 \item
 \begin{itemize}
  \item L'avion \no 1 se trouve au point $O$, de paramètre $t=0$, au bout de 0~seconde et au point $A$, de paramètre $t=200$, au bout d'une seconde. Il passe donc par le point $H$, de paramètre $t=75$ après $\dfrac{75}{200}=0,375$~seconde.
  \item L'avion \no 2 se trouve au point $B$, de paramètre $t'=0$, au bout de 0~seconde et au point $C$, de paramètre $t'=1$, au bout d'une seconde. Il passe donc par le point $H$, de paramètre $t'=0,275$ après $0,275$~seconde.
 \end{itemize}
Les avions passent au point d'intersection de leurs trajectoires à $0,1$~seconde d'écart. L'avion \no 2 aura donc parcouru 20 mètres au moment où l'avion \no 1 passera au point $H$. On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Les deux avions ne devraient pas se percuter}}$$
\end{enumerate}





\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Afin d'obtenir une représentation paramétrique de la droite $(BC)$, on utilise le vecteur $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}87-(-33)\\75-75\\-116-44\end{pmatrix}$, soit $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}120\\0\\-160\end{pmatrix}$.
 \item Les paramètres $t$ et $t'$ peuvent être vus comme le temps écoulé à partir de l'instant $0$. Cependant, avec les représentations paramétriques que j'ai choisies, le temps ne s'écoule pas à la même vitesse. Si l'on souhaite que le temps s'écoule en seconde pour les deux représentations, on aurait dû choisir la représentation paramétrique suivante pour la droite $(OA)$~:
 $$\begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\end{cases} \text{ avec $t\in\mathbb{R}$}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

