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%     }
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}{}




\begin{document}



\title{Métropole - 20 juin 2024 (sujet dévoilé)}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On complète l'arbre de la façon suivante~: \pause

  \medskip
   \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize $0,47$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize $0,53$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Il s'agit de calculer $P(R\cap F)$~: \pause
   \begin{eqnarray*}
    P(R\cap F) & = & \pause P(R)\times P_R(F)\\ \pause
               & = & 0,6\times 0,47\\ \pause
               & = & 0,282 \pause
   \end{eqnarray*}
La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité est donc~: \pause
$$\boxed{P(R\cap F)=0,282}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Il s'agit de calculer $P_{\overline{R}}(F)$. \pause Commençons par calculer $P(\overline{R}\cap F)$. \pause Les événements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
   $$P(F)=P(R\cap F)+P(\overline{R}\cap F)$$ \pause
   On en déduit~:
   $$P(\overline{R}\cap F)= \pause P(F)-P(R\cap F) \pause =0,38-0,282 \pause =0,098$$ \pause
   On a alors~:
   \begin{eqnarray*}
    P_{\overline{R}}(F) & = & \pause \dfrac{P(\overline{R}\cap F)}{P(\overline{R})}\\ \pause
                        & = & \dfrac{0,098}{0,4}\\ \pause
                        & = & 0,245 \pause
   \end{eqnarray*}
   \leftskip=1cm
La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier est donc~: \pause
$$\boxed{P_{\overline{R}}(F)=0,245}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item Calculons $P_F(R)$~: \pause
   \begin{eqnarray*}
    P_F(R) & = & \pause \dfrac{P(R\cap F)}{P(F)}\\ \pause
           & = & \dfrac{0,282}{0,38}\\ \pause
           & \approx & 0,74 \pause
   \end{eqnarray*}
 La probabilité que le client soit un client régulier sachant qu'il a acheté la carte de fidélité est donc d'environ $0,74$, soit environ 74~\%. \pause On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{L'affirmation du directeur est inexacte}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On répète 20 fois, de façon identique et indépendante, \pause une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès égale à $0,38$. \pause La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 5)$. \pause On obtient, à l'aide de la calculatrice que la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité parmi les 20 clients est~: \pause
 $$\boxed{P(X\geqslant 5)\approx 0,927}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $X_2$ suit une loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$. \pause Son espérance est donc $E(X_2)= \pause n\times p \pause=\np{1000}\times 0,47 \pause =470$, \pause soit~:
 $$\boxed{E(X_2)=470}$$ \pause
 Cela signifie que sur un échantillon de \np{1000} clients réguliers, il y en a 470, en moyenne, qui ont acheté la carte de fidélité.
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch22_ex1_qB2} La variable aléatoire $Z$ modélise~: \pause
 $$\boxed{\text{Le montant moyen offert à chacun des \np{1000} clients}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Calculons son espérance~:
 \begin{eqnarray*}
  E(Z) & = & \pause E\left(\dfrac{Y}{\np{1000}}\right)  \\ \pause
       & = & \dfrac{1}{\np{1000}}E(Y_1+Y_2) \quad  \textsl{(linéarité de l'espérance)}\\ \pause
       & = & \dfrac{1}{\np{1000}}\left(E(Y_1)+E(Y_2)\right) \quad \textsl{(linéarité de l'espérance)}\\ \pause
       & = & \dfrac{1}{\np{1000}}\left(\np{30000}+50E(X_2)\right) \\ \pause
       & = & \dfrac{1}{\np{1000}}\left(\np{30000}+50\times 470\right) \\ \pause
       & = & 53,5 \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{E(Z)=53,5}$$


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Calculons maintenant sa variance\index{variance}. \pause On sait que $X_2$ suit une loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$, \pause sa variance est donc $V(X_2)= \pause np(1-p) \pause =\np{1000}\times 0,47\times 0,53 \pause =249,1$. \pause On en déduit, d'après une propriété de la variance que $V(Y_2)= \pause V(50X_2) \pause =50^2V(X_2) \pause =\np{2500}\times 249,1 \pause =\np{622750}$. \pause Puis, comme les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes~: \pause
$$V(Y)= \pause V(Y_1+Y_2) \pause =V(Y_1)+V(Y_2) \pause =\np{100000}+\np{622750} \pause =\np{722750}$$ \pause
Et enfin $V(Z)= \pause \dfrac{1}{\np{1000}^2}V(Y) \pause =\dfrac{\np{722750}}{\np{1000000}}$, \pause soit~:
$$\boxed{V(Z)=0,72275}$$

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch22_ex1_qB3} D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a~: \pause
 $$P\left(|Z-E(Z)|\geqslant 1,8\right)\leqslant \dfrac{V(Z)}{1,8^2}$$ \pause
 Soit~:
 $$P\left(|Z-53,5|\geqslant 1,8\right)\leqslant \dfrac{0,72275}{3,24}$$ \pause
 Et, par passage à l'événement contraire~: \pause
 $$P\left(53,5-1,8< Z< 53,5+1,8\right)\geqslant 1-\dfrac{0,72275}{3,24}$$ \pause
 Soit~:
 $$P\left(51,7< Z< 55,3\right)\geqslant 1-\dfrac{0,72275}{3,24}$$ \pause

 \leftskip=1.3cm
 Or $1-\dfrac{0,72275}{3,24}\approx 0,777$ \pause donc on a bien~:
 $$\boxed{P\left(51,7< Z< 55,3\right)\geqslant 0,75}$$
\end{enumerate}


\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2}

\pause
\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\ \pause
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6 \end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0 \end{pmatrix}$. \pause Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et~: \pause
\begin{itemize}
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}= \pause 2\times 6+2\times(-3)+(-1)\times 6 \pause =12-6-6 \pause =0$ \pause
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= \pause2\times 6+2\times(-6)+0\times 6 \pause =12-6-6 \pause =0$ \pause
\end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. \pause On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\end{itemize}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\ \pause
Les points $A$ et $B$ appartiennent tous les deux à la droite de représentation paramétrique $\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$. \pause En effet $A$ est le point de paramètre $t=-1$ \pause et $B$ le point de paramètre $2$. \pause Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc bien $\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\ \pause
Le plan d'équation cartésienne $2x+2y-z-9=0$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}'\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ pour vecteur normal. \pause Or ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$ donc ce plan n'est pas orthogonal à $(AB)$. \pause Il ne s'agit donc pas d'une équation du plan $\mathscr{P}$.
\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Faux}\\ \pause
La droite $\mathscr{D}$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$ \pause et la droite $\mathscr{D}'$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\2 \end{pmatrix}$. \pause Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires \pause donc les droites  $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ ne sont pas parallèles.
\end{itemize}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Déterminons leur intersection~: \pause

\begin{eqnarray*}
  \begin{cases}3+t=2t'\\1+t=4-t'\\2+t=-1+2t'\end{cases} & \Longleftrightarrow & \pause \begin{cases}t=2t'-3\\1+2t'-3=4-t'\\2+2t'-3=-1+2t'\end{cases}\\ \pause
    & \Longleftrightarrow & \begin{cases}t=2t'-3\\3t'=6\\-1=-1\end{cases}\\ \pause
     & \Longleftrightarrow & \begin{cases}t=1\\t'=2\end{cases} \pause
\end{eqnarray*}

\leftskip=2cm
Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont donc sécantes \pause et le point d'intersection est le point de paramètre $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ \pause et de paramètre $t'=2$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}'$, \pause soit le point de coordonnées $\left(4\,;\,2\,;\,3\right)$. \pause Les droites étant sécantes, elles sont coplanaires.

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch22_ex3_qA1a} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   u_{n+1}-2 & = & \pause u_n^2-2u_n+2-2 \\ \pause
             & = & u_n^2-2u_n \\ \pause
             & = & u_n(u_n-2) \quad \textsl{(factorisation par $u_n$)} \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{u_{n+1}-2=u_n(u_n-2)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch22_ex3_qA1b} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a d'une part~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   u_{n+1}-u_n & = & \pause u_n^2-2u_n+2-u_n\\ \pause
               & = & u_n^2-3u_n+2 \pause
  \end{eqnarray*}
Et d'autre part~: \pause
\begin{eqnarray*}
   (u_n-1)(u_n-2) & = & \pause u_n^2-2u_n-u_n+2\\ \pause
                  & = & u_n^2-3u_n+2 \pause
  \end{eqnarray*}
  On a donc bien~:
 $$\boxed{u_{n+1}-u_n=(u_n-1)(u_n-2)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch22_ex3_q2a} Montrons par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<2$. \pause
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
   Pour $n=0$, on a $u_0=a$ \pause et, dans cette partie, on a supposé $1<a<2$. \pause On a donc $u_0<2$ et la propriété est vraie pour $n=0$. \pause
   \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire $u_n<2$. \pause On sait, d'après la question \ref{ch22_ex3_qA1a}, que~: \pause
   $$u_{n+1}-2=u_n(u_n-2)$$ \pause
   Or d'après l'énoncé, $u_n>1$ \pause et, par hypothèse de récurrence, $u_n<2$ \pause donc $u_n-2<0$. \pause On en déduit $u_n(u_n-2)<0$, \pause soit $u_{n+1}-2<0$ \pause et donc~:
   $$u_{n+1}<2$$ \pause
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause
   \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
   La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, \pause elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
   $$\boxed{u_n<2}$$
  \end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \begin{itemize}
   \item D'après la question \ref{ch22_ex3_qA1b}, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=(u_n-1)(u_n-2)$. \pause Or $u_n>1$ \pause donc $u_n-1>0$ \pause et $u_n<2$ \pause donc $u_n-2<0$. \pause On en déduit que $u_{n+1}-u_n<0$ \pause donc que la suite $(u_n)$ est décroissante. \pause
   \item D'après l'énoncé, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>1$. \pause La suite $(u_n)$ est donc minorée par $1$. \pause
   \item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, \pause on en déduit que~:
   $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est convergente}}$$ \pause
   \item \label{ch22_ex3_q2b} Déterminons alors sa limite $l$. \pause La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause où $f$ est la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$, par $f(x)=x^2-2x+2$. \pause La suite $(u_n)$ étant convergente et la fonction $f$ étant continue sur $\mathbb{R}$, \pause la limite $l$ est un point fixe de $f$, \pause c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. \pause Or, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
   \begin{eqnarray*}
    f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause x^2-2x+2=x\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & x^2-3x+2=0 \pause
   \end{eqnarray*}
   Il s'agit d'une équation du second degré qui admet deux racines~: $1$ et $2$. \pause Et comme la suite $(u_n)$ est décroissante et $u_0<2$, \pause la suite ne peut pas converger vers $2$. \pause On en déduit~:
   $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}$$
   \end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item La commande \pyv{u(2,1)} renvoie la valeur de $u_1$ dans le cas où $a=2$. \pause Or, dans ce cas, on a $u_1= \pause 2^2-2\times 2+2 \pause =4-4+2 \pause =2$. \pause On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La commande } \pyv{u(2,1)} \text{ renvoie la valeur $2$}}$$ \pause
  De même la commande \pyv{u(2,2)} renvoie la valeur de $u_2$ dans le cas où $a=2$. \pause Or, dans ce cas, $u_2=2$ \pause donc~:
  $$\boxed{\text{La commande } \pyv{u(2,2)} \text{ renvoie la valeur $2$}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch22_ex3_qB2} On peut conjecturer que dans la cas où $a=2$~: \pause
 $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est constante égale à $2$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\vspace{-0.5cm}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   v_{n+1} & = & \pause \ln\left(u_{n+1}-1\right)\\ \pause
           & = & \ln\left(u_n^2-2u_n+2-1\right)\\ \pause
           & = & \ln\left(u_n^2-2u_n+1\right)\\ \pause
           & = & \ln\left((u_n-1)^2\right)\\ \pause
           & = & 2\ln\left(u_n-1\right)\\ \pause
           & = & 2v_n \pause
  \end{eqnarray*}
  De plus $v_0= \pause \ln(u_0-1) \pause =\ln(a-1)$ \pause donc~:
$$\boxed{\text{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de $1^{\text{er}}$ terme $v_0=\ln(a-1)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'après la question précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $v_n=v_0\times 2^n$, \pause soit~:
  $$v_n=\ln(a-1)\times 2^n$$ \pause
  Et comme $v_n=\ln(u_n-1)$, \pause on a $u_n-1=\mathrm{e}^{v_n}$, \pause soit $u_n=1+\mathrm{e}^{v_n}$ \pause et donc~:
  $$\boxed{u_n=1+\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Distinguons les cas~: \pause
 \begin{itemize}
  \item Si $1<a<2$ \pause alors $0<a-1<1$ \pause donc $\ln(a-1)<0$. \pause On en déduit que $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2^n\ln(a-1)\right)= \pause -\infty$, \pause puis $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}=0$ \pause et enfin~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1}$$ \pause
  \item Si $a=2$ \pause alors $a-1=1$ \pause donc $\ln(a-1)=0$. \pause On a alors $u_n= \pause 1+\mathrm{e}^0 \pause =1+1 \pause =2$ \pause et donc~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2}$$ \pause
  \item Si $a>2$ \pause alors $a-1>1$ \pause donc $\ln(a-1)>0$. \pause On en déduit que $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2^n\ln(a-1)\right)=+\infty$, \pause puis $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}=+\infty$ \pause et enfin~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty}$$
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch22_ex4_qA1a} On lit graphiquement~: \pause
  $$\boxed{f(0)=2}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item \label{ch22_ex4_qA1b}
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Il s'agit du coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$. \pause On lit alors~:
  $$\boxed{f'(0)=-1}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch22_ex4_qA2} La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisse en un unique point~: \pause le point de coordonnées $(-2\,;\,0)$. \pause L'équation $f(x)=0$ admet donc pour unique solution~: \pause
 $$\boxed{x=-2}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item On peut remarquer que sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$, la courbe $\mathscr{C}_f$ est sous la tangente $T$. \pause La fonction $f$ ne peut donc pas être convexe. \pause Plus précisément, on peut conjecturer que~: \pause
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ et convexe sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Si $F$ est une primitive de $f$ alors $F'=f$. \pause On peut alors construire le tableau de variations de $F$~: \pause

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /0.7,
$F(x)$ /2}
{ $-\infty$  , $-2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {+/ , -/ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
La seule courbe qui peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc~: \pause
$$\boxed{\text{La courbe 2}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item D'après la question \ref{ch22_ex4_qA1a} de la partie A, on sait que $f(0)=2$. \pause Or~:
 $$f(0)= \pause (a\times 0+b)\mathrm{e}^{\lambda\times 0} \pause =b\times 1 \pause =b$$ \pause
 On a donc~:
 $$\boxed{b=2}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item D'après la question \ref{ch22_ex4_qA2} de la partie A, on sait que $f(-2)=0$. \pause On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  f(-2)=0 & \Longleftrightarrow & \pause (a\times(-2)+b)\mathrm{e}^{\lambda\times (-2)}=0 \\ \pause
          & \Longleftrightarrow & (-2a+b)\mathrm{e}^{-2\lambda}=0  \\ \pause
          & \Longleftrightarrow & -2a+b=0 \quad \textsl{(car $\mathrm{e}^{-2\lambda}\neq 0$)} \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc bien~:
$$\boxed{-2a+b=0}$$ \pause
Et comme $b=2$, on a $-2a+2=0$ \pause d'où $-2a=-2$ \pause et donc~:
$$\boxed{a=1}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item On sait maintenant que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{\lambda x}$. \pause Il reste donc à déterminer la valeur de $\lambda$. \pause La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(x) & = & \pause 1\times \mathrm{e}^{\lambda x}+(x+2)\times \lambda \mathrm{e}^{\lambda x}\\ \pause
        & = & (1+\lambda x+2\lambda)\mathrm{e}^{\lambda x}\\ \pause
        & = & (\lambda x+2\lambda+1)\mathrm{e}^{\lambda x} \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc $f'(0)= \pause (2\lambda+1)\mathrm{e}^{0} \pause =2\lambda+1$. \pause Or, d'après la question \ref{ch22_ex4_qA1b}, $f'(0)=-1$~: \pause
\begin{eqnarray*}
 f'(0)=-1 & \Longleftrightarrow & \pause 2\lambda+1=-1\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 2\lambda=-2\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & \lambda=-1 \pause
\end{eqnarray*}
\leftskip=1.3cm
On a donc $\lambda=-1$, \pause soit, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
$$\boxed{f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty} \pause \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty \end{cases}$$
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch22_ex4_qC2} Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{-x}>0$ \pause donc $f'(x)$ est du signe de $(-x-1)$, \pause d'où le tableau~: \pause

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.2}
{ $-\infty$  , $-1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$-\infty$ , +/$\mathrm{e}$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\pause
Justifions les valeurs du tableau~: \pause
\begin{itemize}
\leftskip=1cm
 \item $f(-1)= \pause (-1+2)\mathrm{e}^{-(-1)} \pause =1\times \mathrm{e}^1 \pause =\mathrm{e}$. \pause
 \item $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. \pause En effet, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x}$ \pause et $\lim\limits_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=0$ \pause par croissance comparées \pause et $\lim\limits_{x\to+\infty}2\mathrm{e}^{-x}=0$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f''(x) & = & \pause -1\times \mathrm{e}^{-x}+(-x-1)\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\ \pause
          & = & (-1+x+1)\mathrm{e}^{-x}\\ \pause
          & = & x\mathrm{e}^{-x} \pause
  \end{eqnarray*}
On en déduit que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)$ est du signe de $x$, \pause d'où le tableau~: \pause

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $-\infty$  , $0$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , +  }
\tkzTabLine {  , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La fonction dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $0$ \pause donc la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$, \pause c'est-à-dire au point~:
  $$\boxed{N(0\,;\,2)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Soit $t\geqslant 0$. \pause Pour tout $x\in [-2\,;\,t]$, on pose~: \pause
  $$\begin{cases}u(x)=x+2\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{cases} \pause \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$ \pause
  On a alors, par intégration par parties~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   \int_{-2}^t (x+2)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[-(x+2)\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
    & = & -(t+2)\mathrm{e}^{-t}+(-2+2)\mathrm{e}^{2}+\int_{-2}^t \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \pause
    & = & -(t+2)\mathrm{e}^{-t}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^t\\ \pause
    & = & (-t-2)\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2}\\ \pause
    & = & (-t-3)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2} \pause
  \end{eqnarray*}
  \leftskip=1.2cm
Soit~:
  $$\boxed{I(t)=(-t-3)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^2}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch22_ex4_qC4b} Par croissances comparées, on a $\lim\limits_{t\to+\infty}\left((-t-3)\mathrm{e}^{-t}\right)=0$ \pause d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}I(t)=\mathrm{e}^2}$$ \pause
  L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}_f$ entre $-2$ et $+\infty$ est donc égale à $\mathrm{e}^2$. \pause Il s'agit donc d'une surface non limitée dont l'aire est finie.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}





\end{document}









