\chapter{Métropole - 20 juin 2024 (Sujet dévoilé)}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Des clients fidèles}\label{12.1}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}\\
Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme \og régulier \fg{} un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que 60\% de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47\% ont acheté la carte de fidélité.\\
Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38\% ont acheté la carte de fidélité.\\
On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants~:
\begin{itemize}
 \item $R$~: \og le client est un client régulier \fg{}~;
 \item $F$~: \og le client a acheté la carte de fidélité \fg{}.
\end{itemize}
Pour un événement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les pointillés.
   \item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité.
   \item Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier.
   \end{enumerate}
    \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}
\end{multicols}

  \begin{enumerate}
  \setcounter{enumii}{3}
   \item Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80\% sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte~? Justifier.
  \end{enumerate}
\item On choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante. On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 20 clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F)=0,38$.\\
Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$~? Justifier.
 \item Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de 20.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions.\\
On choisit au hasard un échantillon de \np{1000} clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces \np{1000} clients répondent.
\begin{itemize}
 \item Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.
 \item La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de 50 euros versée sur la carte de fidélité.
\end{itemize}
On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des \np{1000} clients. On admet que son espérance $E(Y_1)$ est égale à \np{30000} et que sa variance $V(Y_1)$ est égale à \np{100000}.\\
On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée.\\
On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $\np{1000}$ et $0,47$ et que $Y_2=50X_2$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer l'espérance $E(X_2)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
On note $Y=Y_1+Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) au \np{1000} clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.\\
On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=\dfrac{Y}{\np{1000}}$.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0,72275$.
 \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre 51,7~euros et 55,3~euros est supérieure à $0,75$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\newpage
\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item
  \begin{enumerate}
   \item On complète l'arbre de la façon suivante~:

   \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize $0,47$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize $0,53$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}

   \item Il s'agit de calculer $P(R\cap F)$~:
   \begin{align*}
    P(R\cap F) & = P(R)\times P_R(F)\\
               & = 0,6\times 0,47\\
               & = 0,282
   \end{align*}
La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité est donc~:
$$\boxed{P(R\cap F)=0,282}$$
   \item Il s'agit de calculer $P_{\overline{R}}(F)$. Commençons par calculer $P(\overline{R}\cap F)$. Les événements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
   $$P(F)=P(R\cap F)+P(\overline{R}\cap F)$$
   On en déduit~:
   $$P(\overline{R}\cap F)=P(F)-P(R\cap F)=0,38-0,282=0,098$$
   On a alors~:
   \begin{align*}
    P_{\overline{R}}(F) & = \dfrac{P(\overline{R}\cap F)}{P(\overline{R})}\\
                        & = \dfrac{0,098}{0,4}\\
                        & = 0,245
   \end{align*}
La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier est donc~:
$$\boxed{P_{\overline{R}}(F)=0,245}$$
   \item Calculons $P_F(R)$~:
   \begin{align*}
    P_F(R) & = \dfrac{P(R\cap F)}{P(F)}\\
           & = \dfrac{0,282}{0,38}\\
           & \approx 0,74
   \end{align*}
 La probabilité que le client soit un client régulier sachant qu'il a acheté la carte de fidélité est donc d'environ $0,74$, soit environ 74~\%. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{L'affirmation du directeur est inexacte}}$$

  \end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item On répète 20 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès égale à $0,38$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~:
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$}}$$

 \item Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 5)$. On obtient, à l'aide de la calculatrice que la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité parmi les 20 clients est~:
 $$\boxed{P(X\geqslant 5)\approx 0,927}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $X_2$ suit une loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$. Son espérance est donc $E(X_2)=n\times p=\np{1000}\times 0,47=470$, soit~:
 $$\boxed{E(X_2)=470}$$
 Cela signifie que sur un échantillon de \np{1000} clients réguliers, il y en a 470, en moyenne, qui ont acheté la carte de fidélité.

 \item \label{ch22_ex1_qB2} La variable aléatoire $Z$ modélise~:
 $$\boxed{\text{Le montant moyen offert à chacun des \np{1000} clients}}$$
 Calculons son espérance~:
 \begin{alignat*}{3}
  E(Z) & = E\left(\dfrac{Y}{\np{1000}}\right) & \\
       & = \dfrac{1}{\np{1000}}E(Y_1+Y_2) & \textsl{(linéarité de l'espérance)}\\
       & = \dfrac{1}{\np{1000}}\left(E(Y_1)+E(Y_2)\right) & \textsl{(linéarité de l'espérance)}\\
       & = \dfrac{1}{\np{1000}}\left(\np{30000}+50E(X_2)\right) &\\
       & = \dfrac{1}{\np{1000}}\left(\np{30000}+50\times 470\right) &\\
       & = 53,5 &
 \end{alignat*}
Soit~:
$$\boxed{E(Z)=53,5}$$
Calculons maintenant sa variance\index{variance}. On sait que $X_2$ suit une loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$, sa variance est donc $V(X_2)=np(1-p)=\np{1000}\times 0,47\times 0,53=249,1$. On en déduit, d'après une propriété de la variance que~:
$$V(Y_2)=V(50X_2)=50^2V(X_2)=\np{2500}\times 249,1=\np{622750}$$
Puis, comme les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes~:
$$V(Y)=V(Y_1+Y_2)=V(Y_1)+V(Y_2)=\np{100000}+\np{622750}=\np{722750}$$
Et enfin $V(Z)=\dfrac{1}{\np{1000}^2}V(Y)=\dfrac{\np{722750}}{\np{1000000}}$, soit~:
$$\boxed{V(Z)=0,72275}$$

 \item \label{ch22_ex1_qB3} D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a~:
 $$P\left(|Z-E(Z)|\geqslant 1,8\right)\leqslant \dfrac{V(Z)}{1,8^2}$$
 Soit~:
 $$P\left(|Z-53,5|\geqslant 1,8\right)\leqslant \dfrac{0,72275}{3,24}$$
 Et, par passage à l'événement contraire~:
 $$P\left(53,5-1,8< Z< 53,5+1,8\right)\geqslant 1-\dfrac{0,72275}{3,24}$$
 Soit~:
 $$P\left(51,7< Z< 55,3\right)\geqslant 1-\dfrac{0,72275}{3,24}$$
 Or $1-\dfrac{0,72275}{3,24}\approx 0,777$ donc on a bien~:
 $$\boxed{P\left(51,7< Z< 55,3\right)\geqslant 0,75}$$
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch22_ex1_qB2} de la partie B, on utilise différentes propriétés de la variance~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item Si $X$ est une variable aléatoire et $a$ un réel, alors on a~:
  $$\boxed{V(aX)=a^2V(X)}$$
  \item Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes alors~:
  $$\boxed{V(X+Y)=V(X)+V(Y)}$$
  Attention, pour utiliser cette propriété, il faut que les variables aléatoires soient indépendantes~!
 \end{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch22_ex1_qB3} de la partie B, on utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev~:
 $$\boxed{P\left(|X-\mu|\geqslant \delta\right)\leqslant \dfrac{V}{\delta^2}}$$
 avec $\delta=1,8$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



\newpage
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\section{Équations cartésiennes et représentations paramétriques}\label{12.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0\,;\,4\,;\,-1)$, $B(6\,;\,1\,;\,5)$ et $C(6\,;\,-2\,;\,-1)$. On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

\medskip

\textbf{Affirmation 1~:} Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2~:} Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3~:} Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est $2x+2y-z-9=0$.

\medskip

On considère les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique~:
$$\mathscr{D}~:~\begin{cases}x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}\text{où $t\in\mathbb{R}$~;}\quad \mathscr{D}'~:~\begin{cases}x=2t'\\y=4-t'\\z=-1+2t'\end{cases}\text{où $t'\in\mathbb{R}$.}$$

\medskip

\textbf{Affirmation 4~:} $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ ne sont pas coplanaires.

\end{tcolorbox}



\textbf{Correction}\\
\textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et~:
\begin{itemize}
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times 6+2\times(-3)+(-1)\times 6=12-6-6=0$
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times 6+2\times(-6)+0\times 6=12-6-6=0$
\end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\
\begin{sloppypar}
Les points $A$ et $B$ appartiennent tous les deux à la droite de représentation paramétrique $\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$. En effet $A$ est le point de paramètre $t=-1$ et $B$ le point de paramètre $2$. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc bien $\begin{cases}x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$.
\end{sloppypar}

\medskip

\textbf{Affirmation 3~: Faux}\\
Le plan d'équation cartésienne $2x+2y-z-9=0$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}'\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ pour vecteur normal. Or ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$ donc ce plan n'est pas orthogonal à $(AB)$. Il ne s'agit donc pas d'une équation du plan $\mathscr{P}$.

\medskip


\textbf{Affirmation 4~: Faux}\\
La droite $\mathscr{D}$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et la droite $\mathscr{D}'$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\2 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites  $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ ne sont pas parallèles. Déterminons leur intersection~:
\begin{align*}
 \begin{cases}3+t=2t'\\1+t=4-t'\\2+t=-1+2t'\end{cases} & \Longleftrightarrow \begin{cases}t=2t'-3\\1+2t'-3=4-t'\\2+2t'-3=-1+2t'\end{cases}\\
   & \Longleftrightarrow \begin{cases}t=2t'-3\\3t'=6\\-1=-1\end{cases}\\
    & \Longleftrightarrow \begin{cases}t=1\\t'=2\end{cases}
\end{align*}
Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont donc sécantes et le point d'intersection est le point de paramètre $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ et de paramètre $t'=2$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}'$, soit le point de coordonnées $\left(4\,;\,2\,;\,3\right)$. Les droites étant sécantes, elles sont coplanaires.





\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour l'affirmation 4, j'ai commencé par regarder si les droites étaient parallèles. Cela n'était finalement pas nécessaire car on démontre ensuite qu'elles sont sécantes en un unique point ce qui prouve également qu'elles ne sont pas parallèles.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
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\section{La limite dépend du premier terme}\label{12.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$~:
$$u_{n+1}=u_n^2-2u_n+2$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.\\
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

\medskip

\textbf{Partie A~: étude de la suite $\bm{(u_n)}$ dans le cas $\bm{1<a<2}$.}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a~: $u_{n+1}-2=u_n(u_n-2)$.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a~: $u_{n+1}-u_n=(u_n-1)(u_n-2)$.
 \end{enumerate}
 \item Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$~:
  $$u_n<2$$
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \medskip

 \textbf{Partie B~: étude dans le cas particulier $\bm{a=2}$.}
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item On donne ci-contre la fonction \pyv{u} écrite en langage Python.\\
  Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit \pyv{u(2,1)} et \pyv{u(2,2)} dans la console Python.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def u(a,n) :
    u=a
    for k in range(n):
        u=u**2-2*u+2
    return u
\end{pyverbatim}

 \end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $(u_n)$ dans le cas où $a=2$~? On admettra ce résultat sans démonstration.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C~: étude dans le cas général.}
\begin{enumerate}
 \item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\ln(u_n-1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}$.
 \end{enumerate}
 \item Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à $1$, la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\newpage
\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch22_ex3_qA1a} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
  \begin{alignat*}{3}
   u_{n+1}-2 & = u_n^2-2u_n+2-2 & \\
             & = u_n^2-2u_n & \\
             & = u_n(u_n-2) & \textsl{(factorisation par $u_n$)}
  \end{alignat*}
Soit~:
$$\boxed{u_{n+1}-2=u_n(u_n-2)}$$
  \item \label{ch22_ex3_qA1b} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a d'une part~:
  \begin{align*}
   u_{n+1}-u_n & = u_n^2-2u_n+2-u_n\\
               & = u_n^2-3u_n+2
  \end{align*}
Et d'autre part~:
\begin{align*}
   (u_n-1)(u_n-2) & = u_n^2-2u_n-u_n+2\\
                  & = u_n^2-3u_n+2
  \end{align*}
  On a donc bien~:
 $$\boxed{u_{n+1}-u_n=(u_n-1)(u_n-2)}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch22_ex3_q2a} Montrons par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<2$.
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\
   Pour $n=0$, on a $u_0=a$ et, dans cette partie, on a supposé $1<a<2$. On a donc $u_0<2$ et la propriété est vraie pour $n=0$.
   \item \textbf{Hérédité~:}\\
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire $u_n<2$. On sait, d'après la question \ref{ch22_ex3_qA1a}, que~:
   $$u_{n+1}-2=u_n(u_n-2)$$
   Or d'après l'énoncé, $u_n>1$ et, par hypothèse de récurrence, $u_n<2$ donc $u_n-2<0$. On en déduit $u_n(u_n-2)<0$, soit $u_{n+1}-2<0$ et donc~:
   $$u_{n+1}<2$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   \item \textbf{Conclusion~:}\\
   La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
   $$\boxed{u_n<2}$$
  \end{itemize}

  \item
  \begin{itemize}
   \item D'après la question \ref{ch22_ex3_qA1b}, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=(u_n-1)(u_n-2)$. Or $u_n>1$ donc $u_n-1>0$ et $u_n<2$ donc $u_n-2<0$. On en déduit que $u_{n+1}-u_n<0$ donc que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   \item D'après l'énoncé, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>1$. La suite $(u_n)$ est donc minorée par $1$.
   \item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, on en déduit que~:
   $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est convergente}}$$
   \item \label{ch22_ex3_q2b} Déterminons alors sa limite $l$. La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$, par $f(x)=x^2-2x+2$. La suite $(u_n)$ étant convergente et la fonction $f$ étant continue sur $\mathbb{R}$, la limite $l$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. Or, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
   \begin{align*}
    f(x)=x & \Longleftrightarrow x^2-2x+2=x\\
           & \Longleftrightarrow x^2-3x+2=0
   \end{align*}
   Il s'agit d'une équation du second degré qui admet deux racines~: $1$ et $2$. Et comme la suite $(u_n)$ est décroissante et $u_0<2$, la suite ne peut pas converger vers $2$. On en déduit~:
   $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}$$

  \end{itemize}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \medskip

 \textbf{Partie B}
 \begin{enumerate}
  \item La commande \pyv{u(2,1)} renvoie la valeur de $u_1$ dans le cas où $a=2$. Or, dans ce cas, on a $u_1=2^2-2\times 2+2=4-4+2=2$. On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La commande } \pyv{u(2,1)} \text{ renvoie la valeur $2$}}$$
  De même la commande \pyv{u(2,2)} renvoie la valeur de $u_2$ dans le cas où $a=2$. Or, dans ce cas, $u_2=2$ donc~:
  $$\boxed{\text{La commande } \pyv{u(2,2)} \text{ renvoie la valeur $2$}}$$
 \item \label{ch22_ex3_qB2} On peut conjecturer que dans la cas où $a=2$~:
 $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est constante égale à $2$}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
  \begin{align*}
   v_{n+1} & = \ln\left(u_{n+1}-1\right)\\
           & = \ln\left(u_n^2-2u_n+2-1\right)\\
           & = \ln\left(u_n^2-2u_n+1\right)\\
           & = \ln\left((u_n-1)^2\right)\\
           & = 2\ln\left(u_n-1\right)\\
           & = 2v_n
  \end{align*}
  De plus $v_0=\ln(u_0-1)=\ln(a-1)$ donc~:
$$\boxed{\text{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de $1^{\text{er}}$ terme $v_0=\ln(a-1)$}}$$

  \item D'après la question précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $v_n=v_0\times 2^n$, soit $v_n=\ln(a-1)\times 2^n$. Et comme $v_n=\ln(u_n-1)$, on a $u_n-1=\mathrm{e}^{v_n}$, soit $u_n=1+\mathrm{e}^{v_n}$ et donc~:
  $$\boxed{u_n=1+\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}}$$
 \end{enumerate}
 \item Distinguons les cas~:
 \begin{sloppypar}
 \begin{itemize}
  \item Si $1<a<2$ alors $0<a-1<1$ donc $\ln(a-1)<0$. On en déduit que ${\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2^n\ln(a-1)\right)=-\infty}$, puis $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}=0$ et enfin~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1}$$
  \item Si $a=2$ alors $a-1=1$ donc $\ln(a-1)=0$. On a alors $u_n=1+\mathrm{e}^0=1+1=2$ et donc~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2}$$
  \item Si $a>2$ alors $a-1>1$ donc $\ln(a-1)>0$. On en déduit que ${\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2^n\ln(a-1)\right)=+\infty}$, puis $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{2^n\times \ln(a-1)}=+\infty$ et enfin~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty}$$
 \end{itemize}
 \end{sloppypar}
\end{enumerate}





\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour montrer l'égalité de la question \ref{ch22_ex3_qA1b} de la partie A, il n'est pas aisé de partir d'un membre pour arriver à l'autre. Il est donc plus simple d'opter pour une présentation de la forme \og d'une part... d'autre part... \fg{}. Cependant on aurait tout de même pu dérouler les calculs directement en remarquant que le polynôme $x^2-3x+2$ admet deux racines~: $1$ et $2$. Il peut donc se factoriser de la façon suivante~:
 $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
 D'où l'égalité~:
 $$u_n^2-3u_n+2=(u_n-1)(u_n-2)$$
 \item Dans la question \ref{ch22_ex3_q2a}, on démontre que la suite $(u_n)$ est majorée par $2$. Au vu de l'enchaînement des questions, on pense que l'on va devoir utiliser ce résultat dans la suite. Il n'en ai rien car pour montrer la convergence de la suite, on utilise le fait que celle-ci est minorée par $1$ et on n'a que faire de savoir qu'elle est majorée par $2$. Est-ce un piège~? Je ne sais pas.
 \item Dans la question \ref{ch22_ex3_q2b}, pour la résolution de l'équation $x^2-3x+2=0$, on peut, au choix~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item Utiliser directement la calculatrice qui sait très bien résoudre ce type d'équation.
  \item Remarquer que le nombre $1$ est racine évidente et utiliser le fait que le produit des racines est égal à $\mfrac{c}{a}$ (avec les notations habituelles).
  \item Calculer le discriminant et appliquer les formules.
 \end{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch22_ex3_qB2} de la partie B, on conjecture que la suite $(u_n)$ est constante égale à $2$. Ce résultat peut se démontrer à l'aide d'une récurrence très rapide. Plus précisément, on montre par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la propriété \og $u_n=2$ \fg{}.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Représentation graphique d'une primitive}\label{12.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.\\
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés~:
\begin{itemize}
 \item la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$~;
 \item la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ en son point $N(0\,;\,2)$~;
 \item le point $M(-2\,;\,0)$ appartenant à $\mathscr{C}_f$ et $P(2\,;\,0)$ appartenant à la tangente $T$.
\end{itemize}
On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,-1\right]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.2)(5.2,3.2)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(5.,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-3.,-2.)(5.,3.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-2.2177}{5.0}{(x+2.0)*EXP(-x)}
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.}{4.}{(--2.-1.*x)/1.}
\rput[tl](2.7,-1.1){$T$}
\rput[tl](-2.7,-1.1){$\mathscr{C}_f$}
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,2.)
\rput[bl](0.1,2.1){$N$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-2.,0.)
\rput[bl](-1.9,0.1){$M$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](2.,0.)
\rput[bl](2.1,0.1){$P$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A~: étude graphique.}\\
On répondra aux questions en utilisant le graphique.
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Donner $f(0)$.
  \item Déterminer $f'(0)$.
 \end{enumerate}
 \item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
 \item La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$~? Justifier.
 \item Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifier.

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\textbf{Courbe 1}\\
\psset{xunit=0.33cm,yunit=0.33cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-8.2)(6.2,3.2)
\multips(0,-8)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(6.,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-8.)(0,3.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-4.,-8.)(6.,3.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{-(x+1.0)*EXP(-x)}
\end{pspicture*}

\textbf{Courbe 2}\\
\psset{xunit=0.33cm,yunit=0.33cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-8.2)(6.2,3.2)
\multips(0,-8)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(6.,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-8.)(0,3.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-4.,-8.)(6.,3.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{(-x-3.0)*2.718281828459045^(-x)}
\end{pspicture*}

\textbf{Courbe 3}\\
\psset{xunit=0.33cm,yunit=0.33cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-8.2)(6.2,3.2)
\multips(0,-8)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(6.,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-8.)(0,3.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-4.,-8.)(6.,3.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{x*2.718281828459045^(-x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~: recherche d'une expression algébrique.}\\
On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{\lambda x}$, où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $b=2$.
 \item Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$.
 \item Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C~: étude algébrique.}\\
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 \item On admet que $f'(x)=(-x-1)\mathrm{e}^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de $f$.
  \item Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.
 \end{enumerate}
 \item Pour tout nombre réel $t\geqslant 0$, on pose~:
 $$I(t)=\int_{-2}^tf(x)\,\mathrm{d}x.$$
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant une intégration par parties, montrer que~:
  $$I(t)=(-t-3)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^2.$$
  \item En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{tcolorbox}



\textbf{Correction}\\

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch22_ex4_qA1a} On lit graphiquement~:
  $$\boxed{f(0)=2}$$
  \item \label{ch22_ex4_qA1b} Il s'agit du coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$. On lit alors~:
  $$\boxed{f'(0)=-1}$$
 \end{enumerate}
 \item \label{ch22_ex4_qA2} La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un unique point~: le point de coordonnées $(-2\,;\,0)$. L'équation $f(x)=0$ admet donc pour unique solution~:
 $$\boxed{x=-2}$$

 \item On peut remarquer que sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$, la courbe $\mathscr{C}_f$ est sous la tangente $T$. La fonction $f$ ne peut donc pas être convexe. Plus précisément, on peut conjecturer que~:
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ et convexe sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$}}$$

 \item Si $F$ est une primitive de $f$ alors $F'=f$. On peut alors construire le tableau de variations de $F$~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /0.7,
$F(x)$ /2}
{ $-\infty$  , $-2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {+/ , -/ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La seule courbe qui peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc~:
$$\boxed{\text{La courbe 2}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item D'après la question \ref{ch22_ex4_qA1a} de la partie A, on sait que $f(0)=2$. Or~:
 $$f(0)=(a\times 0+b)\mathrm{e}^{\lambda\times 0}=b\times 1=b$$
 On a donc~:
 $$\boxed{b=2}$$

 \item D'après la question \ref{ch22_ex4_qA2} de la partie A, on sait que $f(-2)=0$. On a alors~:
 \begin{alignat*}{3}
  f(-2)=0 & \Longleftrightarrow (a\times(-2)+b)\mathrm{e}^{\lambda\times (-2)}=0 &\\
          & \Longleftrightarrow (-2a+b)\mathrm{e}^{-2\lambda}=0 & \\
          & \Longleftrightarrow -2a+b=0 & \textsl{(car $\mathrm{e}^{-2\lambda}\neq 0$)}\\
 \end{alignat*}
On a donc bien~:
$$\boxed{-2a+b=0}$$
Et comme $b=2$, on a $-2a+2=0$ d'où $-2a=-2$ et donc~:
$$\boxed{a=1}$$
 \item On sait maintenant que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{\lambda x}$. Il reste donc à déterminer la valeur de $\lambda$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 1\times \mathrm{e}^{\lambda x}+(x+2)\times \lambda \mathrm{e}^{\lambda x}\\
        & = (1+\lambda x+2\lambda)\mathrm{e}^{\lambda x}\\
        & = (\lambda x+2\lambda+1)\mathrm{e}^{\lambda x}
 \end{align*}
On a donc $f'(0)=(2\lambda+1)\mathrm{e}^{0}=2\lambda+1$. Or, d'après la question \ref{ch22_ex4_qA1b}, $f'(0)=-1$~:
\begin{align*}
 f'(0)=-1 & \Longleftrightarrow 2\lambda+1=-1\\
          & \Longleftrightarrow 2\lambda=-2\\
          & \Longleftrightarrow \lambda=-1
\end{align*}
On a donc $\lambda=-1$, soit, pour tout $x\in\mathbb{R}$~:
$$\boxed{f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty} \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty \end{cases}$$

 \item \label{ch22_ex4_qC2} Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(-x-1)$, d'où le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.2}
{ $-\infty$  , $-1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$-\infty$ , +/$\mathrm{e}$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Justifions les valeurs du tableau~:
\begin{itemize}
 \item $f(-1)=(-1+2)\mathrm{e}^{-(-1)}=1\times \mathrm{e}^1=\mathrm{e}$.
 \item $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. En effet, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=0$ par croissance comparées et $\lim\limits_{x\to+\infty}2\mathrm{e}^{-x}=0$.
\end{itemize}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~:
  \begin{align*}
   f''(x) & = -1\times \mathrm{e}^{-x}+(-x-1)\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\
          & = (-1+x+1)\mathrm{e}^{-x}\\
          & = x\mathrm{e}^{-x}
  \end{align*}
On en déduit que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)$ est du signe de $x$, d'où le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $-\infty$  , $0$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , +  }
\tkzTabLine {  , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

  \item La fonction dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $0$ donc la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$, c'est-à-dire au point~:
  $$\boxed{N(0\,;\,2)}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Soit $t\geqslant 0$. Pour tout $x\in [-2\,;\,t]$, on pose~:
  $$\begin{cases}u(x)=x+2\\v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$
  On a alors, par intégration par parties~:
  \begin{align*}
   \int_{-2}^t (x+2)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x & = \Big[-(x+2)\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
    & = -(t+2)\mathrm{e}^{-t}+(-2+2)\mathrm{e}^{2}+\int_{-2}^t \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\
    & = -(t+2)\mathrm{e}^{-t}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_{-2}^t\\
    & = (-t-2)\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2}\\
    & = (-t-3)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{I(t)=(-t-3)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^2}$$
  \item \label{ch22_ex4_qC4b} Par croissances comparées, on a $\lim\limits_{t\to+\infty}\left((-t-3)\mathrm{e}^{-t}\right)=0$ d'où~:
  $$\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}I(t)=\mathrm{e}^2}$$
  L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}_f$ entre $-2$ et $+\infty$ est donc égale à $\mathrm{e}^2$. Il s'agit donc d'une surface non limitée dont l'aire est finie.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch22_ex4_qC2} de la partie C, on peut justifier ainsi l'étude du signe de $-x-1$~:
 \begin{align*}
  -x-1\geqslant 0 & \Longleftrightarrow -x\geqslant 1\\
                  & \Longleftrightarrow x\leqslant -1
 \end{align*}

 \item Le domaine considéré dans la question \ref{ch22_ex4_qC4b} de la partie C est grisé sur la figure suivante~:


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.2)(5.2,3.2)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(5.,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-3.,-2.)(5.,3.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-2.2177}{5.0}{(x+2.0)*EXP(-x)}
\pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-2.}{10.}{(x+2.0)*EXP(-x)}\lineto(10.,0)\lineto(-2.,0)\closepath}
\rput[tl](-2.7,-1.1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
