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}{}




\begin{document}



\title{Métropole - 19 juin 2024 (sujet de secours)}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On a les coordonnées~: \pause
 $$\boxed{C(4\,;\,4\,;\,0)} \pause \qquad \boxed{F(4\,;\,0\,;\,4)} \pause \qquad \boxed{G(4\,;\,4\,;\,4)} \pause \qquad \boxed{H(0\,;\,4\,;\,4)}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a~: \pause
 $$I\left(\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{4+4}{2}\right) \pause\quad \text{soit} \quad I(2\,;\,0\,;\,4)$$ \pause
 Et~:
 $$\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix}4-2\\4-0\\0-4\end{pmatrix} \pause \quad \text{soit} \quad \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$$ \pause
 La droite $(IC)$ passe donc par le point $I(2\,;\,0\,;\,4)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$. \pause Elle admet donc pour représentation paramétrique~: \pause
 $$\boxed{\begin{cases}x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{cases}\text{avec $t\in\mathbb{R}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Le plan $P$ admet le vecteur $\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$ pour vecteur normal \pause donc également le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, \pause il a donc une équation cartésienne de la forme~: \pause
  $$x+2y-2z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
  De plus, le point $G(4\,;\,4\,;\,4)$ appartient au plan $P$ \pause donc ses coordonnées vérifient l'équation. \pause On a donc $4+2\times 4-2\times 4+d=0$, \pause soit $4+d=0$ \pause et donc $d=-4$. \pause
On en déduit une équation cartésienne du plan $P$~: \pause
  $$\boxed{x+2y-2z-4=0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch23_ex1_q3b} $J$ étant le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $(IC)$, \pause ses coordonnées vérifient à la fois l'équation cartésienne de $P$ et la représentation paramétrique de $(IC)$. \pause On injecte donc les expressions de la représentation paramétrique de $(IC)$ dans l'équation cartésienne de $P$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   (2+2t)+2(4t)-2(4-4t)-4=0 & \Longleftrightarrow & \pause 2+2t+8t-8+8t-4=0\\ \pause
                            & \Longleftrightarrow & 18t=10\\ \pause
                            & \Longleftrightarrow & t=\dfrac{10}{18}\\ \pause
                            & \Longleftrightarrow & t=\dfrac{5}{9} \pause
  \end{eqnarray*}
Le point $J$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{5}{9}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(IC)$, \pause soit le point de coordonnées $\left(2+2\times\dfrac{5}{9}\,;\,4\times \dfrac{5}{9}\,;\,4-4\times \dfrac{5}{9}\right)$. \pause On a donc~:
$$\boxed{J\left(\dfrac{28}{9}\,;\,\dfrac{20}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Le point $J$ est à l'intersection entre le plan $P$ et la droite passant par $C$ orthogonalement à $C$. \pause On en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{$J$ est le projeté orthogonal de $C$ sur le plan $P$}}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item On a~:
  $$0+2\times 2-2\times 0-4= \pause 4-4 \pause =0$$ \pause
  Les coordonnées du point $K$ vérifient l'équation cartésienne de $P$ donc~: \pause
  $$\boxed{\text{Le point $K$ appartient au plan $P$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item Les plans $P$ et $(ABC)$ ne sont pas parallèles, \pause ils sont donc sécants suivant une droite. De plus~: \pause
  \begin{itemize}
   \item Le point $B$ appartient au plan $P$ car ses coordonnées vérifient l'équation de $P$ \pause ($4+2\times 0-2\times 0-4=0)$ \pause et il appartient aussi au plan $(ABC)$ \pause (par définition de ce plan). \pause
   \item Le point $K$ appartient au plan $P$ \pause (d'après la question précédente) \pause et il appartient au plan $(ABC)$ \pause (car il appartient à la droite $(AD)$). \pause
  \end{itemize}
Les points $B$ et $K$ appartenant tous deux aux plans $P$ et $(ABC)$, on en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{La droite $(BK)$ est l'intersection des plans $P$ et $(ABC)$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Afin de calculer le volume de la pyramide $CBKG$, \pause on peut choisir la face $CBK$ pour base. \pause La hauteur correspondante est alors le segment $[CG]$. \pause L'aire $\mathscr{A}_{CBK}$ du triangle $CBK$ est~: \pause
  $$\mathscr{A}_{CBK}= \pause \dfrac{4\times 4}{2} \pause =8$$ \pause
  Et le volume $\mathscr{V}_{CBKG}$ est donné par~: \pause
  \begin{eqnarray*}
  \mathscr{V}_{CBKG} & = & \pause \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{CBK}\times CG\\ \pause
          & = & \dfrac{1}{3}\times 8\times 4\\ \pause
          & = & \dfrac{32}{3} \pause
  \end{eqnarray*}
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{V}_{CBKG}=\dfrac{32}{3}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'autre part, on peut exprimer le volume de la pyramide $CBKG$ en choisissant pour base le triangle $BKG$. \pause La hauteur correspondante est alors le segment $[CJ]$ et~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   CJ & = & \pause \sqrt{\left(\dfrac{28}{9}-4\right)^2+\left(\dfrac{20}{9}-4\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}-0\right)^2}\\ \pause
      & = & \sqrt{\dfrac{64}{81}+\dfrac{256}{81}+\dfrac{256}{81}}\\ \pause
      & = & \sqrt{\dfrac{576}{81}}\\ \pause
      & = & \dfrac{8}{3} \pause
  \end{eqnarray*}
  On a alors, on notant $\mathscr{A}_{BKG}$ l'aire du triangle $BKG$~: \pause
  $$\mathscr{V}_{CBKG}= \pause \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{BKG}\times CJ \pause =\dfrac{8}{9}\mathscr{A}_{BKG}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Et comme, d'après la question précédente, $\mathscr{V}_{CBKG}=\dfrac{32}{3}$, on a~: \pause
  $$\dfrac{8}{9}\mathscr{A}_{BKG}=\dfrac{32}{3}$$ \pause
  Et donc~:
  $$\mathscr{A}_{BKG}=\dfrac{32}{3}\times \dfrac{9}{8}$$ \pause
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{BKG}=12}$$

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item Les points $B$ et $G$ appartiennent tous deux au plan $P$ donc~: \pause
$$\boxed{\text{La droite $(BG)$ est incluse dans $P$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{5}
 \item $I'$ étant un point de l'arête $(EF)$, \pause il existe $x\in\left[0\,;\,4\right]$ tel que~: \pause
 $$I'\left(x\,;\,0\,;\,4\right) \pause \quad \text{et donc} \quad \overrightarrow{CI'}\begin{pmatrix}x-4\\-4\\4 \end{pmatrix}$$ \pause
 Le plan $P'$ étant orthogonal à la droite $(I'C)$, \pause il admet le vecteur $\overrightarrow{CI'}$ pour vecteur normal. \pause D'autre part, on a $\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}0\\4\\4 \end{pmatrix}$ \pause et donc~:
 $$\overrightarrow{BG}.\overrightarrow{CI'}= \pause 0\times (x-4)+4\times 4+4\times (-4) \pause =16-16 \pause =0$$ \pause
 \leftskip=1.3cm
 Les vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{CI'}$ sont donc orthogonaux \pause et comme le point $B$ appartient au plan $P'$, \pause le point $G$ appartient également au plan $P'$ et finalement~: \pause
 $$\boxed{\text{La droite $(BG)$ est incluse dans le plan $P'$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On répète 10 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès égale à $0,25$. \pause La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 4)$. \pause On obtient à l'aide de la calculatrice, que la probabilité qu'au moins 4 clients dans un échantillon de 10 passent moins de 12 minutes à la station est~: \pause
 $$\boxed{P(X\geqslant 4)\approx 0,224}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item On a $E(X)= \pause n\times p \pause =10\times 0,25 \pause =2,5$. \pause Cela signifie que sur un échantillon de 10 clients, le nombre moyen de clients qui passent moins de 12 minutes à la station est~: \pause
 $$\boxed{E(X)=2,5}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire est égale au temps total donc à la somme des 3 temps, soit~: \pause
 $$\boxed{S=T_1+T_2+T_3}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Par linéarité de l'espérance, on a~: \pause
  $$E(S)= \pause E(T_1)+E(T_2)+E(T_3) \pause =6+6+6 \pause =18$$ \pause
  Cela signifie que le temps d'attente moyen de ce troisième client, en minutes, est~: \pause
  $$\boxed{E(S)=18}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Les variables aléatoires $T_1$, $T_2$ et $T_3$ étant indépendantes, on a~: \pause
  $$V(S)= \pause V(T_1)+V(T_2)+V(T_3) \pause =1+1+1 \pause =3$$ \pause
  La variance du temps d'attente total $S$ de ce troisième client est donc~: \pause
  $$\boxed{V(S)=3}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch23_ex2_qB3} D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a~: \pause
 $$P\left(|S-E(S)|\geqslant 4\right)\leqslant \dfrac{V(S)}{4^2}$$ \pause
 Soit~:
 $$P\left(|S-18|\geqslant 4\right)\leqslant \dfrac{3}{16}$$ \pause
 Et, par passage au complémentaire~:
 $$P\left(|S-18|< 4\right)\geqslant 1-\dfrac{3}{16}$$ \pause
 Soit~:
 $$P(14<S<22)\geqslant \dfrac{13}{16}$$ \pause
 \leftskip=1.3cm
 Or $\dfrac{13}{16}=0,8125\geqslant 0,81$ \pause donc la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre 14 et 22 minutes à la station est~: \pause
  $$\boxed{P(14<S<22)\geqslant 0,81}$$
\end{enumerate}

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie A}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f'(x) & = & \pause 1-\dfrac{2x}{x^2+1}\\ \pause
         & = & \dfrac{x^2+1}{x^2+1}-\dfrac{2x}{x^2+1}\\ \pause
         & = & \dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}\\ \pause
         & = & \dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
  $$\boxed{f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On a alors le tableau~: \pause

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$(x-1)^2$ /0.7,
$x^2+1$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $-\infty$  , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , + , z , + ,  }
\tkzTabLine {  , + , t , + ,  }
\tkzTabLine {  , + , z , + ,  }
\tkzTabVar {-/ , R , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
La dérivée étant strictement positive sauf en un point où elle s'annule, on en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Pour tout $x>0$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right) & = & \pause x-\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^2+1}{x^2}\right)\\ \pause
    & = & x-\ln\left(x^2\right)-\left(\ln\left(x^2+1\right)-\ln\left(x^2\right)\right)\\ \pause
    & = & x-\ln\left(x^2\right)-\ln\left(x^2+1\right)+\ln\left(x^2\right)\\ \pause
    & = & x-\ln\left(x^2+1\right)\\ \pause
    & = & f(x) \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc bien, pour tout $x>0$~: \pause
 $$\boxed{f(x)=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Pour tout $x>0$, on a~: \pause
 $$f(x)= \pause x\left(1-2\times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$$ \pause
 Or, par croissances comparées~: \pause
 $$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0 \pause \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-2\times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty$$ \pause
 Et~:
 $$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1 \pause \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=0$$ \pause
 Finalement~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$$
\end{enumerate}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 0$. \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  Pour $n=0$, on a $u_0=7\geqslant 0$. \pause La propriété est donc vraie au rang $n=0$. \pause
  \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~: \pause
  $$u_n\geqslant 0$$ \pause
  On en déduit, en appliquant la fonction $f$ qui est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$~: \pause
  $$f(u_n)\geqslant f(0)$$ \pause
  Et comme $f(0)=0-\ln(1)=0$, on a~: \pause
  $$f(u_n)\geqslant 0$$ \pause
  \leftskip=1.3cm
  Soit~:
  $$u_{n+1}\geqslant 0$$ \pause
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
  La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$, \pause soit~:
  $$\boxed{u_n\geqslant 0 \quad \text{pour tout $n\in\mathbb{N}$}}$$
\end{itemize}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  u_{n+1}-u_n & = & \pause f(u_n)-u_n\\ \pause
              & = & u_n-\ln(u_n^2+1)-u_n\\ \pause
              & = & -\ln(u_n^2+1) \pause
 \end{eqnarray*}
Or $u_n^2\geqslant 0$ \pause donc $u_n^2+1\geqslant 1$ \pause puis $\ln(u_n^2+1)\geqslant 0$ \pause et finalement~:
$$u_{n+1}-u_n\leqslant 0$$ \pause
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est décroissante}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (par $0$) donc~: \pause
 $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause où $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$. \pause De plus, on sait que la suite $(u_n)$ converge. \pause On en déduit que la limite $l$ est un point fixe de $f$, \pause c'est-à-dire que $f(l)=l$. \pause Résolvons alors l'équation $f(x)=x$, \pause pour $x\in\mathbb{R}$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause x-\ln\left(x^2+1\right)=x\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \ln\left(x^2+1\right)=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x^2+1=1\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x^2=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & x=0 \pause
 \end{eqnarray*}
On en déduit que~:
$$\boxed{l=0}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On peut compléter le script de la façon suivante~: \pause

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
from math import log as ln

def seuil(h) :
    n = 0
    u = 7
    while u > h :
        n = n + 1
        u = u-ln(u**2 + 1)
    return n
\end{pyverbatim}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La valeur renvoyée lorsque l'on saisit \pyv{seuil(0.01)} est la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant 0,01$. \pause Or on obtient à l'aide de la calculatrice~: \pause
\begin{itemize}
 \item $u_{96}\approx0,01003>0,01$ \pause
 \item $u_{97}\approx0,0099<0,01$ \pause
\end{itemize}
La valeur renvoyée est donc~:
$$\boxed{97}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie C}

\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $f(0)=0$. \pause On en déduit que~: \pause
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est positive sur $[0\,;\,+\infty[$}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La fonction $f$ étant positive sur l'intervalle $[2\,;\,4]$, \pause l'intégrale $I$ est égale à l'aire, en unités d'aires, du domaine délimité par \pause l'axe des abscisses, \pause la courbe représentative de la fonction $f$ \pause et les droites d'équations $x=2$ et $x=4$.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \label{ch23_ex3_qC3} On admet que, pour tout nombre réel $x\in[2\,;\,4]$~: \pause
 $$0,5x-1\leqslant f(x)\leqslant 0,25x+0,25$$ \pause
 On a alors, par croissance de l'intégrale~: \pause
 $$\int_2^4 0,5x-1\,\mathrm{d}x\leqslant \pause \int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x \pause \leqslant \int_2^4 0,25x+0,25\,\mathrm{d}x$$ \pause
 Or~:
 \begin{eqnarray*}
  \int_2^4 0,5x-1\,\mathrm{d}x & = & \pause \left[\dfrac{1}{4}x^2-x\right]_2^4\\ \pause
                               & = & \left(\dfrac{1}{4}\times 4^2-4\right)-\left(\dfrac{1}{4}\times 2^2-2\right)\\ \pause
                               & = & 0-(-1)\\ \pause
                               & = & 1
 \end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Et~:
 \begin{eqnarray*}
  \int_2^4 0,25x+0,25\,\mathrm{d}x & = & \pause \left[\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{4}x\right]_2^4\\ \pause
                               & = & \left(\dfrac{1}{8}\times 4^2+\dfrac{1}{4}\times 4\right)-\left(\dfrac{1}{8}\times 2^2+\dfrac{1}{4}\times 2\right)\\ \pause
                               & = & 3-1\\ \pause
                               & = & 2 \pause
 \end{eqnarray*}
On en déduit l'encadrement~:
 $$\boxed{1\leqslant I \leqslant 2}$$

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\pause
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\ \pause
 D'après la tableau de variations, la courbe $\mathscr{C}_f$ admet~: \pause
 \begin{itemize}
  \item Une asymptote horizontale d'équation $y=5$ en $-\infty$ \pause (car $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=5$) \pause
  \item Une asymptote horizontale d'équation $y=1$ en $+\infty$ \pause (car $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$) \pause
  \item Une asymptote verticale d'équation $x=-2$ \pause (car $\lim\limits_{x\to-2}f(x)=-\infty$) \pause
 \end{itemize}
Mais elle n'admet pas la droite d'équation $y=-2$ pour asymptote horizontale.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\ \pause
 On a $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=5^-$, \pause c'est-à-dire que lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $f(x)$ tend vers $5$ avec $f(x)<5$. \pause Cela découle du fait que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=5$ \pause et que la fonction $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,-2\right[$. \pause On en déduit que $\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-5)=0^-$ \pause et donc que~:
 $$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2}{f(x)-5}=-\infty$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch23_ex4_q2}
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\ \pause
  La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   g'(x) & = & \pause 1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times(-\mathrm{e}^{-x})\\ \pause
         & = & (1-x)\mathrm{e}^{-x} \pause
  \end{eqnarray*}
  La fonction $g'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   g''(x) & = & \pause -1\times \mathrm{e}^{-x}+(1-x)\times(-\mathrm{e}^{-x})\\ \pause
         & = & (x-2)\mathrm{e}^{-x} \pause
  \end{eqnarray*}
On en déduit le tableau~: \pause
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$g''(x)$ /0.7,
$g$ /0.7}
{ $-\infty$  , $2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , +  }
\tkzTabLine {  , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
\leftskip=1.3cm
La fonction $g''$ s'annule en changeant de signe en $2$ \pause donc la courbe $\mathscr{C}_g$ admet un point d'inflexion en $2$. \pause Or $g(2)=2\mathrm{e}^{-2}$ \pause donc le point d'inflexion est le point de coordonnées~: \pause
$$\left(2\,;\,\dfrac{2}{\mathrm{e}^2}\right)$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
  On a vu que la fonction $g$ était concave sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,2\right[$. \pause La courbe $\mathscr{C}_g$ est donc en dessous de ses tangentes et, \pause en particulier en dessous de sa tangente au point d'abscisse $0$. \pause Or $g(0)=0$ \pause et $g'(0)=1$ \pause donc la tangente au point d'abscisse $0$ admet pour équation $y=1(x-0)+0$, \pause soit $y=x$. \pause On en déduit que, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,2\right[$~: \pause
  $$\boxed{g(x)\leqslant x}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Affirmation 5~: Faux}\\ \pause
Soit $h$ la fonction définie, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, par $h(x)=x\ln(x)$.\\ \pause
On a $\lim\limits_{x\to 0}h(x)=0$ par croissances comparées \pause et $\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$.\\ \pause
De plus la fonction $h$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, \pause pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
\begin{eqnarray*}
 h'(x) & = & \pause 1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\\ \pause
       & = & \ln(x)+1 \pause
\end{eqnarray*}
On a alors~:
\begin{eqnarray*}
 h'(x)\geqslant 0 & \Longleftrightarrow & \pause \ln(x)+1\geqslant 0\\ \pause
                  & \Longleftrightarrow & \ln(x)\geqslant -1\\ \pause
                  & \Longleftrightarrow & x\geqslant \mathrm{e}^{-1}
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

D'où le tableau~:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$h'(x)$ /0.7,
$h(x)$ /2.2}
{ $0$  , $\mathrm{e}^{-1}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {D+/$0$ , -/$-\mathrm{e}^{-1}$ , +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center} \pause
On déduit du tableau de variations que~: \pause

\begin{itemize}
\leftskip=1.3cm
 \item L'équation $h(x)=1$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,\mathrm{e}^{-1}\right]$. \pause
 \item D'après le théorème des valeurs intermédiaires, \pause l'équation $h(x)=1$ \pause admet une unique solution sur l'intervalle $\left[\mathrm{e}^{-1}\,;\,+\infty\right[$. \pause
\end{itemize}
\leftskip=2.3cm
Finalement, l'équation $x\ln x=1$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

\end{frame}



\end{document}









