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    \put(0,3){\makebox(0,0)[bl]{
    \includegraphics[scale=0.13]{fleur_terminale.eps}}}
%     \put(130,3){\makebox(0,0)[bl]{
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%     }
  \end{picture}
}{}




\begin{document}



\title{Polynésie - 20 juin 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~: \pause

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $\mfrac{8}{9}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $\mfrac{1}{9}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Il s'agit alors de calculer $P(J\cap S)$~: \pause
\begin{eqnarray*}
 P(J\cap S) & = & \pause P(J)\times P_J(S)\\ \pause
            & = & 0,6\times \dfrac{8}{9}\\ \pause
            & = & \dfrac{6}{10}\times \dfrac{8}{9}\\ \pause
            & = & \dfrac{8}{15} \pause
\end{eqnarray*}
La probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est donc bien~: \pause
$$\boxed{P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}}$$



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Il s'agit de calculer $P(\overline{J}\cap S)$. \pause Les événements $J$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers, \pause donc d'après la formule des probabilités totales~: \pause
  $$P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)$$ \pause
  Or, d'après l'énoncé, $P(S)=\dfrac{2}{3}$ \pause et, d'après la question précédente, $P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}$. \pause On en déduit~:
  $$P(\overline{J}\cap S)= \pause \dfrac{2}{3}-\dfrac{8}{15} \pause =\dfrac{2}{15}$$ \pause
La probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est donc~: \pause
$$\boxed{P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{15}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On a~:
  \begin{eqnarray*}
   P_{\overline{J}}(S) & = & \pause \dfrac{P(\overline{J}\cap S)}{P(\overline{J})}\\ \pause
                       & = & \dfrac{\mfrac{2}{15}}{0,4}\\ \pause
                       & = & \dfrac{2}{15}\times \dfrac{10}{4}\\ \pause
                       & = & \dfrac{1}{3} \pause
  \end{eqnarray*}
La probabilité que la personne pratique une activité sportive régulière sachant qu'elle n'a pas l'intention de regarder les JOP est donc~: \pause
$$\boxed{P_{\overline{J}}(S)=\dfrac{1}{3}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On répète 30 fois, de façon identique et indépendante, \pause une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est égale à $\dfrac{2}{3}$. \pause La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~: \pause
  $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch21_ex1_q3b} Il s'agit de calculer $P(X=16)$. \pause On obtient, à l'aide de la calculatrice que la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes est~: \pause
  $$\boxed{P(X=16)\approx 0,046}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Le budget de \np{10000} euros permet de payer 26 places, \pause il s'agit donc de calculer $P(X\geqslant 27)$. \pause On obtient, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité que ce budget soit insuffisant est~: \pause
  $$\boxed{P(X\geqslant 27)\approx 0,003}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2}

\pause
\begin{small}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Réponse B}\\ \pause
 L'équation différentielle est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$. \pause Les solutions sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $\lambda \in\mathbb{R}$, \pause soit les fonctions de la forme~:
 $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$ \pause
 Soit $f$ la solution vérifiant $f(0)=1$, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f(0)=1 & \Longleftrightarrow & \pause \lambda \mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}=1\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \lambda \mathrm{e}^{0}+\dfrac{7}{3}=1\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \lambda =1-\dfrac{7}{3}\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & \lambda =-\dfrac{4}{3} \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.2cm
 $f$ est donc la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par~: \pause
 $$\boxed{f(x)=-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}}$$
\end{enumerate}
\end{small}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \textbf{Réponse C}\\ \pause
 L'intégrale $I$ est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, \pause la courbe représentative de la fonction $f$ est les droites d'équations $x=1$ et $x=5$. \pause Cette aire est comprise entre l'aire du domaine hachuré et celle du domaine grisée sur la figure ci-dessous. \pause
\begin{center}
 \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(6.2,4.2)
\multips(0,-1)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(6.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,4.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.,-1.)(6.,4.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0.001}{6.0}{-4.8115079365079364E-4*x^(6.0)+0.010892857142857143*x^(5.0)-0.1193204365079365*x^(4.0)+0.8202380952380952*x^(3.0)-3.2739484126984126*x^(2.0)+5.562619047619048*x}\pspolygon[linewidth=1pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2](1.,0.)(1.,3.)(2.,3.)(2.,2.)(3.,2.)(3.,0.)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.,0.)(1.,4.)(2.,4.)(2.,3.)(3.,3.)(3.,2.)(4.,2.)(4.,1.)(5.,1.)(5.,0.)
\end{pspicture*}
\end{center} \pause
\leftskip=1.2cm
On a donc l'encadrement~:
$$\boxed{5\leqslant I\leqslant 10}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Réponse B}\\ \pause
 On a~:
 \begin{eqnarray*}
  \int_0^2g'(x)\,\mathrm{d}x & = & \pause \Big[g(x)\Big]_0^2\\ \pause
                             & = & \Big[x^2\ln(x^2+4)\Big]_0^2\\ \pause
                             & = & 4\ln(8)\\ \pause
                             & \approx & 8,3 \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{\int_0^2g'(x)\,\mathrm{d}x\approx 8,3}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \textbf{Réponse D}\\ \pause
 Dans cette situation, on choisit 5 élèves parmi 31 sans répétition et sans tenir compte de l'ordre. \pause Il s'agit donc du nombre de combinaisons de 5 éléments parmi 31, \pause soit~:
 $$\boxed{\displaystyle \binom{31}{5}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item \textbf{Réponse A}\\ \pause
 Le nombre de possibilités pour le choix des 3 élèves ayant choisi la spécialité SES est $\displaystyle \binom{20}{5}$ \pause et le nombre de possibilités pour les 2 autres élèves est $\displaystyle \binom{11}{2}$. \pause Le nombre total de groupes possibles est donc~: \pause
 $$\boxed{\displaystyle \binom{20}{3}\times \binom{11}{2}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3}

\pause
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch21_ex3_q1a} On a~:
  \begin{itemize}
   \item $u_1= \pause 8-\ln\left(\dfrac{8}{4}\right) \pause =8-\ln(2) \pause \approx 7,31$ \pause
   \item $u_2= \pause 8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right) \pause \approx 6,70$
  \end{itemize} \pause
Soit~:
$$\boxed{u_1\approx 7,31} \quad \text{et} \quad \boxed{u_2\approx 6,70}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch21_ex3_q1b} La fonction \pyv{mystere} renvoie la somme des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$. \pause Cela signifie donc que~:
  $$\boxed{u_0+u_1+u_2+\dots+u_9\approx 58.44045206721732}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$, on peut modifier la fonction de la façon suivante~: \pause

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def mystere(k) :
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k) :
        S = S + u
        u = u - log(u / 4)
    return S / k
\end{pyverbatim}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch21_ex3_q2} La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(x) & = & \pause 1-\dfrac{\mfrac{1}{4}}{\mfrac{x}{4}}\\ \pause
        & = & 1-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{x}\\ \pause
        & = & 1-\dfrac{1}{x}\\ \pause
        & = & \dfrac{x-1}{x}
 \end{eqnarray*}
 \end{enumerate}

 \end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

 On en déduit le tableau~: \pause

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $0$  , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {D+/ , -/$1+2\ln(2)$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$. \pause
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
   On a $u_0=8$ \pause et $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$ \pause donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$. \pause La propriété est vraie au rang $n=0$. \pause
   \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire~:
   $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$ \pause
   On a alors, en appliquant la fonction $f$, qui est croissante sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$~: \pause
   $$f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)$$ \pause
   Soit~:
   $$1+2\ln(2)\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$ \pause
   Et donc a fortiori, comme $1+2\ln(2)\geqslant 1$~: \pause
   $$1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$ \pause
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause
   \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
   La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause On a donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$~: \pause
   $$\boxed{1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}$$
  \end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~: \pause
  \begin{itemize}
   \item décroissante \pause (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
   \item minorée par $1$ \pause (car $u_n\geqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
  \end{itemize}
  On en déduit que~: \pause
  $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & \ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & \dfrac{x}{4}=1\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=4 \pause
  \end{eqnarray*}
L'équation $f(x)=x$ admet donc pour unique solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
$$\boxed{x=4}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(d)]
  \item La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause où $f$ est une fonction continue sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. \pause Cette suite étant convergente, sa limite est nécessairement un point fixe de $f$, c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. \pause Or cette équation admet $4$ pour unique solution, d'où~: \pause
  $$\boxed{\ell=4}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\begin{enumerate}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$. \pause Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires \pause (car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), \pause on en déduit que~:
 $$\boxed{\text{Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}= \pause 2\times 5-3\times (-1)+1\times (-13) \pause =10+3-13 \pause =0$ \pause
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= \pause 2\times 2-3\times (-2)+1\times (-10) \pause =4+6-10 \pause =0$ \pause
 \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. \pause On en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $\mathscr{P}$}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Le plan $\mathscr{P}$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal. \pause Il a donc une équation de la forme~: \pause
 $$2x-3y+z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
 De plus, le point $A(-1\,;\,-1\,;\,17)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation. \pause On en déduit $2\times (-1)-3\times (-1)+17+d=0$, \pause soit $-2+3+17+d=0$ \pause et donc $d=-18$. \pause Le plan $\mathscr{P}$ admet donc pour équation cartésienne~: \pause
 $$\boxed{2x-3y+z-18=0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On lit directement sur sa représentation paramétrique que la droite $d$ admet pour vecteur directeur le vecteur~: \pause
  $$\boxed{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4 \end{pmatrix}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item On injecte les expressions de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   \hspace{-1.3cm} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0 & \Longleftrightarrow & \pause 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\ \pause
                              & \Longleftrightarrow & 7t=28\\ \pause
                              & \Longleftrightarrow & t=4 \pause
  \end{eqnarray*}
  Le point $E$ est donc le point de paramètre $t=4$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, soit~: \pause
  $$\boxed{E(14\,;\,9\,;\,17)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item La distance entre le point $D$ et le plan $\mathscr{P}$ est la distance entre $D$ et son projeté orthogonal sur le plan $\mathscr{P}$. \pause Il s'agit donc de calculer la longueur $DF$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  DF & = & \pause \sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(-1-5\right)^2+\left(3-1\right)^2}\\ \pause
     & = & \sqrt{4^2+\left(-6\right)^2+2^2}\\ \pause
     & = & \sqrt{16+36+4}\\ \pause
     & = & \sqrt{56}\\ \pause
     & = & \sqrt{4\times 14}\\ \pause
     & = & 2\sqrt{14} \pause
 \end{eqnarray*}
 \leftskip=1.2cm
La distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathscr{P}$ est donc, en centaines de mètres~: \pause
$$\boxed{DF=2\sqrt{14}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item La distance la plus courte pour aller du point $D$ au plan $\mathscr{P}$ est la distance $DF$ \pause qui est égale à $2\sqrt{14}$ centaines de mètres. \pause Calculons alors le temps $t$, en secondes, nécessaire pour parcourir cette distance~: \pause
 $$t= \pause \dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6} \pause \approx 40,23$$ \pause
 Cela se jouera donc à 2 dixièmes de secondes mais~: \pause
$$\boxed{\text{Le nouveau drone n'arrivera pas à temps}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}






\end{document}









