\chapter{Polynésie - 20 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Les jeux olympiques 2024}\label{10.1}


\begin{tcolorbox}[height fill,title=Énoncé]
Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes~:
\begin{itemize}
 \item 60~\% des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision~;
 \item parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
\end{itemize}
On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants~:
\begin{itemize}
 \item $J$~: \og la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision \fg{}~;
 \item $S$~: \og la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière \fg{}.
\end{itemize}
On note $\overline{J}$ et $\overline{S}$ leurs évènements contraires.\\
\textit{Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.\\
 \textit{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
\end{enumerate}
Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
  \item En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline{J}$ notée $P_{\overline{J}}(S)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Dans le cadre d'une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.\\
 On assimile ce choix à un tirage avec remise.\\
 On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
  \item Calculer la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.
  \item La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.\\
  Le prix d'une place s'élève à 380~\euro{} et on dispose d'un budget de \np{10000} euros pour cette opération.\\
  Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant~?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $\mfrac{8}{9}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $\mfrac{1}{9}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{\footnotesize $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}

Il s'agit alors de calculer $P(J\cap S)$~:
\begin{align*}
 P(J\cap S) & = P(J)\times P_J(S)\\
            & = 0,6\times \dfrac{8}{9}\\
            & = \dfrac{6}{10}\times \dfrac{8}{9}\\
            & = \dfrac{8}{15}
\end{align*}
La probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est donc bien~:
$$\boxed{P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Il s'agit de calculer $P(\overline{J}\cap S)$. Les événements $J$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales~:
  $$P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)$$
  Or, d'après l'énoncé, $P(S)=\dfrac{2}{3}$ et, d'après la question précédente, $P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}$. On en déduit~:
  $$P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{2}{15}$$
La probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est donc~:
$$\boxed{P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{15}}$$
  \item On a~:
  \begin{align*}
   P_{\overline{J}}(S) & = \dfrac{P(\overline{J}\cap S)}{P(\overline{J})}\\
                       & = \dfrac{\mfrac{2}{15}}{0,4}\\
                       & = \dfrac{2}{15}\times \dfrac{10}{4}\\
                       & = \dfrac{1}{3}
  \end{align*}
La probabilité que la personne pratique une activité sportive régulière sachant qu'elle n'a pas l'intention de regarder les JOP est donc~:
$$\boxed{P_{\overline{J}}(S)=\dfrac{1}{3}}$$
 \end{enumerate}

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On répète 30 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est égale à $\dfrac{2}{3}$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~:
  $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$}}$$
  \item \label{ch21_ex1_q3b} Il s'agit de calculer $P(X=16)$. On obtient, à l'aide de la calculatrice que la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes est~:
  $$\boxed{P(X=16)\approx 0,046}$$
  \item Le budget de \np{10000} euros permet de payer 26 places, il s'agit donc de calculer $P(X\geqslant 27)$. On obtient, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité que ce budget soit insuffisant est~:
  $$\boxed{P(X\geqslant 27)\approx 0,003}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch21_ex1_q3b}, on aurait pu utiliser la formule~:
 $$P(X=16)=\binom{30}{16}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{14}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
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\section{Un QCM sur différents thèmes}\label{10.2}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.\\
Pour chacune des questions, \textbf{une seule des quatre réponses est exacte}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.}
\begin{enumerate}
 \item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'=-3y+7$ telle que $f(0)=1$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par~:
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
  \item[A.] $f(x)=\mathrm{e}^{-3x}$
  \item[C.] $f(x)=\mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
  \item[B.] $f(x)=-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
  \item[D.] $f(x)=-\dfrac{10}{3}\mathrm{e}^{-3x}-\dfrac{7}{3}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
 \item La courbe d'une fonction $f$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(6.2,4.2)
\multips(0,-1)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(6.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,4.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.,-1.)(6.,4.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0.001}{6.0}{-4.8115079365079364E-4*x^(6.0)+0.010892857142857143*x^(5.0)-0.1193204365079365*x^(4.0)+0.8202380952380952*x^(3.0)-3.2739484126984126*x^(2.0)+5.562619047619048*x}
\end{pspicture*}
\end{center}
Un encadrement de l'intégrale $\displaystyle I=\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ est~:
\begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
  \item[A.] $0\leqslant I\leqslant 4$
  \item[C.] $5\leqslant I\leqslant 10$
  \item[B.] $1\leqslant I\leqslant 5$
  \item[D.] $10\leqslant I\leqslant 15$
\end{multicols}
\end{enumerate}
 \item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2\ln(x^2+4)$.\\
 Alors $\displaystyle \int_0^2g'(x)\,\mathrm{d}x$ vaut, à $10^{-1}$ près~:
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
  \item[A.] $4,9$
  \item[C.] $1,7$
  \item[B.] $8,3$
  \item[D.] $7,5$
\end{multicols}
\end{enumerate}
 \item Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.\\
 Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves~?
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
  \item[A.] $31^5$
  \item[C.] $31+30+29+28+27$
  \columnbreak
  \item[B.] $31\times 30\times 29\times 28\times 27$
  \item[D.] $\displaystyle \binom{31}{5}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
 \item La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe~:
 \begin{itemize}
  \item 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie~;
  \item 20 élèves ont choisi la spécialité SES~;
  \item 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
 \end{itemize}
 Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe~?
\begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
  \item[A.] $\displaystyle \binom{20}{3}\times \binom{11}{2}$
  \item[C.] $\displaystyle \binom{20}{3}$
  \item[B.] $\displaystyle \binom{20}{3}+ \binom{11}{2}$
  \item[D.] $20^3\times 11^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Réponse B}\\
 L'équation différentielle est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$. Les solutions sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $\lambda \in\mathbb{R}$, soit les fonctions de la forme~:
 $$x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3} \quad \text{avec $\lambda\in\mathbb{R}$}$$
 Soit $f$ la solution vérifiant $f(0)=1$, on a~:
 \begin{align*}
  f(0)=1 & \Longleftrightarrow \lambda \mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}=1\\
         & \Longleftrightarrow \lambda \mathrm{e}^{0}+\dfrac{7}{3}=1\\
         & \Longleftrightarrow \lambda =1-\dfrac{7}{3}\\
         & \Longleftrightarrow \lambda =-\dfrac{4}{3}
 \end{align*}
 $f$ est donc la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par~:
 $$\boxed{f(x)=-\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-3x}+\dfrac{7}{3}}$$

 \item \textbf{Réponse C}\\
 L'intégrale $I$ est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ est les droites d'équations $x=1$ et $x=5$. Cette aire est comprise entre l'aire du domaine hachuré et celle du domaine grisée sur la figure ci-dessous.
\begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(6.2,4.2)
\multips(0,-1)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(6.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,4.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.,-1.)(6.,4.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0.001}{6.0}{-4.8115079365079364E-4*x^(6.0)+0.010892857142857143*x^(5.0)-0.1193204365079365*x^(4.0)+0.8202380952380952*x^(3.0)-3.2739484126984126*x^(2.0)+5.562619047619048*x}\pspolygon[linewidth=1pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2](1.,0.)(1.,3.)(2.,3.)(2.,2.)(3.,2.)(3.,0.)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.,0.)(1.,4.)(2.,4.)(2.,3.)(3.,3.)(3.,2.)(4.,2.)(4.,1.)(5.,1.)(5.,0.)
\end{pspicture*}
\end{center}
On a donc l'encadrement~:
$$\boxed{5\leqslant I\leqslant 10}$$

 \item \textbf{Réponse B}\\
 On a~:
 $$\int_0^2g'(x)\,\mathrm{d}x  = \Big[g(x)\Big]_0^2
                              = \Big[x^2\ln(x^2+4)\Big]_0^2
                              = 4\ln(8)
                              \approx 8,3$$
Soit~:
$$\boxed{\int_0^2g'(x)\,\mathrm{d}x\approx 8,3}$$

 \item \textbf{Réponse D}\\
 Dans cette situation, on choisit 5 élèves parmi 31 sans répétition et sans tenir compte de l'ordre. Il s'agit donc du nombre de combinaisons de 5 éléments parmi 31, soit~:
 $$\boxed{\displaystyle \binom{31}{5}}$$

 \item \textbf{Réponse A}\\
 Le nombre de possibilités pour le choix des 3 élèves ayant choisi la spécialité SES est $\displaystyle \binom{20}{5}$ et le nombre de possibilités pour les 2 autres élèves est $\displaystyle \binom{11}{2}$. Le nombre total de groupes possibles est donc~:
 $$\boxed{\displaystyle \binom{20}{3}\times \binom{11}{2}}$$
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée. Je me suis permis ici de justifier les réponses car cela n'aurait pas eu un très grand intérêt pédagogique de donner uniquement les cinq lettres correspondant aux bonnes réponses.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Une fonction mystère}\label{10.3}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
On considère la suite $(u_n)$, définie par~:
$$\text{$u_0=8$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$}$$
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
  \item On considère la fonction \pyv{mystere} définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif \pyv{a}, \pyv{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \pyv{a}.
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def mystere(k):
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k):
        S = S + u
        u = u - log(u / 4)
    return S
\end{pyverbatim}
L'exécution de \pyv{mystere(10)} renvoie \pyv{58.44045206721732}. Que représente ce résultat~?
\item Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$.
 \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par~:
 $$f(x)=x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right).$$
 On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$~:

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.8)(6.2,6.2)
\multips(0,0)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0.,0)(6.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0.)(0,6.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(0.,0.)(6.,6.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0.01}{6.0}{x-ln(x/4.0)}
\rput[tl](5.1,5.5){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Étudier les variations de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et dresser son tableau de variations.\\
\textit{On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Les limites ne sont pas demandées.}
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a~:
  $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
  \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle.\\
  On note $\ell$ la valeur de cette limite.
  \item Résoudre l'équation $f(x)=x$.
  \item En déduire la valeur de $\ell$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch21_ex3_q1a} On a~:
  \begin{itemize}
   \item $u_1=8-\ln\left(\dfrac{8}{4}\right)=8-\ln(2)\approx 7,31$
   \item $u_2=8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right)\approx 6,70$
  \end{itemize}
Soit~:
$$\boxed{u_1\approx 7,31} \quad \text{et} \quad \boxed{u_2\approx 6,70}$$

  \item \label{ch21_ex3_q1b} La fonction \pyv{mystere} renvoie la somme des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$. Cela signifie donc que~:
  $$\boxed{u_0+u_1+u_2+\dots+u_9\approx 58.44045206721732}$$

\item Afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$, on peut modifier la fonction de la façon suivante~:

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def mystere(k) :
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k) :
        S = S + u
        u = u - log(u / 4)
    return S / k
\end{pyverbatim}

 \end{enumerate}
 \item \label{ch21_ex3_q2} La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 1-\dfrac{\mfrac{1}{4}}{\mfrac{x}{4}}\\
        & = 1-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{x}\\
        & = 1-\dfrac{1}{x}\\
        & = \dfrac{x-1}{x}
 \end{align*}
 \newpage
 On en déduit le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $0$  , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {D+/ , -/$1+2\ln(2)$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\
   On a $u_0=8$ et $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$ donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$. La propriété est vraie au rang $n=0$.
   \item \textbf{Hérédité~:}\\
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~:
   $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$
   On a alors, en appliquant la fonction $f$, qui est croissante sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$~:
   $$f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)$$
   Soit~:
   $$1+2\ln(2)\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
   Et donc a fortiori, comme $1+2\ln(2)\geqslant 1$~:
   $$1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   \item \textbf{Conclusion~:}\\
   La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. On a donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
   $$\boxed{1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}$$
  \end{itemize}

  \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~:
  \begin{itemize}
   \item décroissante (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
   \item minorée par $1$ (car $u_n\geqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
  \end{itemize}
  On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$}}$$
  \item Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
  \begin{align*}
   f(x)=x & \Longleftrightarrow x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x\\
          & \Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0\\
          & \Longleftrightarrow \dfrac{x}{4}=1\\
          & \Longleftrightarrow x=4
  \end{align*}
L'équation $f(x)=x$ admet donc pour unique solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
$$\boxed{x=4}$$
  \item La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction continue sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Cette suite étant convergente, sa limite est nécessairement un point fixe de $f$, c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$. Or cette équation admet $4$ pour unique solution, d'où~:
  $$\boxed{\ell=4}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch21_ex3_q1a}, pour le calcul de $u_2$, il faut utiliser la valeur exacte de $u_1$ et pas sa valeur arrondie car cela pourrait entraîner des erreurs. On aurait également pu utiliser directement le mode \og suite \fg{} de la calculatrice .
 \item Dans la question \ref{ch21_ex3_q1b}, on peut utiliser le symbole $\Sigma$ pour écrire la somme. Cela se note de la façon suivante~:
 $$\sum\limits_{i=0}^9u_i=u_0+u_1+u_2+\dots+u_9$$
 \item Détaillons le calcul du minimum de la fonction $f$ dans le tableau de variations de la question \ref{ch21_ex3_q2}~:
 $$f(1) = 1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)=1+\ln(4)=1+\ln\left(2^2\right)=1+2\ln(2)$$

\end{itemize}
\end{tcolorbox}



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\section{Trajectoires de drones}\label{10.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.\\
Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$ dont l'unité est la centaine de mètres.\\
La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ $D$ de coordonnées $(2\,;\,5\,;\,1)$.\\
On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathscr{P}$.\\
Trois drones sont positionnés aux points $A(-1\,;\,-1\,;\,17)$, $B(4\,;\,-2\,;\,4)$ et $C(1\,;\,-3\,;\,7)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\end{enumerate}
Dans la suite, on note $\mathscr{P}$ le plan $(ABC)$ et on considère le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1 \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $\mathscr{P}$.
 \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est~: $2x-3y+z-18=0$.
\end{enumerate}
 \item Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par~:
 $$d~:~\begin{cases}x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}, \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}$$
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
  \item Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathscr{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathscr{P}$.
 \end{enumerate}
 \item Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathscr{P}$, soit à l'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathscr{P}$. On admet que le point $F(6\,;\,-1\,;\,3)$ correspond à cet emplacement.\\
 Démontrer que la distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathscr{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
 \item L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan $\mathscr{P}$ (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $D$. Sachant qu'il reste 40 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6~\text{m}.\text{s}^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps~?
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), on en déduit que~:
 $$\boxed{\text{Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés}}$$
\item
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times 5-3\times (-1)+1\times (-13)=10+3-13=0$
  \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times 2-3\times (-2)+1\times (-10)=4+6-10=0$
 \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $\mathscr{P}$}}$$
 \item Le plan $\mathscr{P}$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal. Il a donc une équation de la forme~:
 $$2x-3y+z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
 De plus, le point $A(-1\,;\,-1\,;\,17)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation. On en déduit $2\times (-1)-3\times (-1)+17+d=0$, soit $-2+3+17+d=0$ et donc $d=-18$. Le plan $\mathscr{P}$ admet donc pour équation cartésienne~:
 $$\boxed{2x-3y+z-18=0}$$
\end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On lit directement sur sa représentation paramétrique que la droite $d$ admet pour vecteur directeur le vecteur~:
  $$\boxed{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4 \end{pmatrix}}$$

  \item On injecte les expressions de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$~:
  \begin{align*}
   \hspace{-0.3cm} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0 & \Longleftrightarrow 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\
                              & \Longleftrightarrow 7t=28\\
                              & \Longleftrightarrow t=4
  \end{align*}
  Le point $E$ est donc le point de paramètre $t=4$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, soit~:
  $$\boxed{E(14\,;\,9\,;\,17)}$$
 \end{enumerate}
 \item La distance entre le point $D$ et le plan $\mathscr{P}$ est la distance entre $D$ et son projeté orthogonal sur le plan $\mathscr{P}$. Il s'agit donc de calculer la longueur $DF$~:
 \begin{align*}
  DF & = \sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(-1-5\right)^2+\left(3-1\right)^2}\\
     & = \sqrt{4^2+\left(-6\right)^2+2^2}\\
     & = \sqrt{16+36+4}\\
     & = \sqrt{56}\\
     & = \sqrt{4\times 14}\\
     & = 2\sqrt{14}
 \end{align*}
La distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathscr{P}$ est donc, en centaines de mètres~:
$$\boxed{DF=2\sqrt{14}}$$
 \item La distance la plus courte pour aller du point $D$ au plan $\mathscr{P}$ est la distance $DF$ qui est égale à $2\sqrt{14}$ centaines de mètres. Calculons alors le temps $t$, en secondes, nécessaire pour parcourir cette distance~:
 $$t=\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6}\approx 40,23$$
 Cela se jouera donc à 2 dixièmes de secondes mais~:
$$\boxed{\text{Le nouveau drone n'arrivera pas à temps}}$$
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item La distance la plus courte entre un point $M$ et un plan $\mathscr{P}$ est la distance entre le point $M$ et son projeté orthogonal sur le plan $\mathscr{P}$. Cette distance est appelée la distance du point $M$ au plan $\mathscr{P}$. Cela signifie que pour se déplacer d'un point à un plan, la façon la plus rapide est d'y aller de façon orthogonale.

\end{itemize}
\end{tcolorbox}


