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}{}




\begin{document}



\title{Polynésie - 19 juin 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1}

\pause
\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\ \pause
On a $\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$ \pause donc~:
$$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{OC}= \pause 1\times 5+0\times 0+2\times(-3) \pause =5-6 \pause =-1 \pause \neq 0$$ \pause
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ n'est donc pas orthogonal au vecteur $\overrightarrow{OC}$, \pause il ne peut donc pas être normal au plan $(OAC)$.
\end{itemize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\ \pause
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\2 \end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2 \end{pmatrix}$. \pause On remarque que $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$ \pause donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. \pause On en déduit que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés \pause et donc que le point $C$ appartient à la droite $(AB)$. \pause D'autre part, on peut remarquer que le point $C$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. \pause En effet, c'est le point de paramètre $t=-2$. \pause Le point $C$ appartient donc à la fois aux droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ \pause et comme ces deux droites ne sont pas confondues, \pause elle sont sécantes au point $C$.
\end{itemize}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\ \pause
D'après son équation cartésienne, le plan $\mathscr{P}$ admet le vecteur $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}1\\5\\-2 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal \pause et, d'après sa représentation paramétrique, la droite $\mathscr{D}$
admet le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. \pause On a alors~:
$$\overrightarrow{n'}.\overrightarrow{u}= \pause 1\times (-1)+5\times 1+(-2)\times 2 \pause =-1+5-4 \pause =0$$ \pause

\leftskip=1cm

Les vecteurs $\overrightarrow{n'}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux \pause donc la droite $\mathscr{D}$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
\end{itemize}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\ \pause
Le plan $(Q)$ admet le vecteur $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6\\-2\\-4 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal, \pause donc également n'importe quel vecteur qui lui est colinéaire, \pause par exemple le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2 \end{pmatrix}$. \pause Il admet donc une équation cartésienne de la forme~: \pause
$$3x-y-2z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
Soit $I$ le milieu de $[BC]$, \pause on a $I\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+0}{2}\,;\,\dfrac{1+(-3)}{2}\right)$ \pause soit $I\left(2\,;\,1\,;\,-1\right)$. \pause

\leftskip=1.2cm

Le point $I$ appartient au plan $(Q)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation, \pause soit $3\times 2-1-2\times (-1)+d=0$ \pause puis $6-1+2+d=0$ \pause et donc $d=-7$. \pause Le plan $(Q)$ admet donc pour équation~: \pause
$$3x-y-2z-7=0$$
\end{itemize}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item L'équation différentielle $y'+0,02y=m$ est de la forme $y'=ay+b$ \pause avec $a=-0,02$ et $b=m$. \pause On a alors $-\dfrac{b}{a}= \pause \dfrac{m}{0,02} \pause =50m$, \pause les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions de la forme~: \pause
 $$\boxed{t\mapsto k\mathrm{e}^{-0,02t}+50m} \quad \text{avec $k\in\mathbb{R}$}$$ \pause
 D'où l'affichage obtenu.
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a $f(t)=k\mathrm{e}^{-0,02t}+50m$. \pause Or $\lim\limits_{t\to +\infty}\mathrm{e}^{-0,02t}=0$ \pause donc $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=50m$. \pause D'après l'énoncé, $\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)=30$, \pause d'où $50m=30$ \pause soit~:
 $$\boxed{m=\dfrac{30}{50}=0,6}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item D'après la question précédente, la fonction $f$ est de la forme~: \pause
 $$f(t)=k\mathrm{e}^{-0,02t}+30$$ \pause
 On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  f(0)=210 & \Longleftrightarrow & \pause k\mathrm{e}^{0}+30=210\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & k+30=210\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & k=180 \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc, pour tout $t\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~: \pause
$$\boxed{f(t)=180\mathrm{e}^{-0,02t}+30}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On lit graphiquement que la température passe en-dessous de 50\degres au bout d'environ 110~secondes. \pause Le temps à attendre avant de démouler l'objet est donc d'environ~: \pause
  $$\boxed{\text{1 minute et 50 secondes}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch20_ex2_qB1b} Il s'agit de résoudre l'équation $f(t)=50$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f(t)=50 & \Longleftrightarrow & \pause 180\mathrm{e}^{-0,02t}+30=50\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & 180\mathrm{e}^{-0,02t}=20\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & \mathrm{e}^{-0,02t}=\dfrac{1}{9}\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & -0,02t=\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & -0,02t=-\ln(9)\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & t=\dfrac{-\ln(9)}{-0,02}\\ \pause
           & \Longleftrightarrow & t=50\ln(9) \pause
  \end{eqnarray*}
  Soit~:
  $$\boxed{T=100\ln(3)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,100]$~: \pause

 \leftskip=2cm

 \begin{eqnarray*}
  m & = & \pause \dfrac{1}{100}\int_0^{100}f(t)\,\mathrm{d}t\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\int_0^{100}180\mathrm{e}^{-0,02t}+30\,\mathrm{d}t\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\left[\dfrac{180}{-0,02}\mathrm{e}^{-0,02t}+30t\right]_0^{100}\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\Big[-\np{9000}\mathrm{e}^{-0,02t}+30t\Big]_0^{100}\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\left(-\np{9000}\mathrm{e}^{-0,02\times 100}+30\times 100 +\np{9000}\mathrm{e}^{0}+ 0\right)\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\left(-\np{9000}\mathrm{e}^{-2}+\np{3000} +\np{9000}\right)\\ \pause
    & = & \dfrac{1}{100}\left(-\np{9000}\mathrm{e}^{-2}+\np{12000}\right)\\ \pause
    & = & 120-90\mathrm{e}^{-2}
 \end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


La valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes est donc (en \degres C)~: \pause
$$\boxed{m=120-90\mathrm{e}^{-2}\approx 108}$$


\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, \pause une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès (obtenir \og Face \fg{}) est égale à $0,5$. \pause La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~: \pause
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,5$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch20_ex3_qA2} La loi de $X$ est donnée dans le tableau suivant~: \pause
 \begin{center}
 \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
  \hline
  $k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
  $P(X=k)$ & $0,125$ & $0,375$ & $0,375$ & $0,125$ \\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item Il s'agit de la probabilité de gagner la partie sachant qu'une pièce est tombée du côté \og Face \fg{} au premier lancer. \pause Pour cela, il faut obtenir \og Face \fg{} avec les deux autres pièces, \pause la probabilité est alors égale à $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}= \pause \dfrac{1}{4}$. \pause On a donc~:
 $$\boxed{P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item On a l'arbre~: \pause

 \vspace{-0.5cm}

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=9mm,labelsep = 2pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_0$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{8}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{8}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{7}{8}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_1$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{8}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{3}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_2$}\taput{\footnotesize $\dfrac{3}{8}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{2}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_3$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{1}{8}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\footnotesize $1$}
}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Il s'agit de calculer $P(G)$. \pause Les événements $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ forment une partition de l'univers \pause donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
   \hspace{-1.7cm} P(G) & = & \pause P(A_0) P_{A_0}(G)+P(A_1) P_{A_1}(G)+P(A_2) P_{A_2}(G)+P(A_3) P_{A_3}(G)\\ \pause
       & = & \dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\times 1\\ \pause
       & = & \dfrac{1}{64}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}\\ \pause
       & = & \dfrac{1}{64}+\dfrac{6}{64}+\dfrac{12}{64}+\dfrac{8}{64}\\ \pause
       & = & \dfrac{27}{64} \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{p=\dfrac{27}{64}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Il s'agit de calculer $P_G(A_1)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_G(A_1) & = & \pause \dfrac{P(A_1\cap G)}{P(G)}\\ \pause
           & = & \dfrac{\mfrac{3}{8}\times \mfrac{1}{4}}{\mfrac{27}{64}}\\ \pause
           & = & \dfrac{3}{32}\times \dfrac{64}{27}\\ \pause
           & = & \dfrac{2}{9} \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté \og Face \fg{} à la première tentative sachant que la partie est gagnée est donc~: \pause
$$\boxed{P_G(A_1)=\dfrac{2}{9}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de parties gagnées sur $n$ parties jouées. \pause $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$. \pause La probabilité de gagner au moins une partie est~: \pause
 $$P(Y\geqslant 1)= \pause 1-P(Y=0) \pause =1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n$$ \pause
 On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,95 & \Longleftrightarrow & \pause 1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n\geqslant 0,95\\ \pause
    & \Longleftrightarrow & \left(\dfrac{37}{64}\right)^n\leqslant 0,05\\ \pause
    & \Longleftrightarrow & \ln\left(\left(\dfrac{37}{64}\right)^n\right)\leqslant \ln(0,05)\\ \pause
    & \Longleftrightarrow & n\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)\leqslant \ln(0,05)\\ \pause
    & \Longleftrightarrow & n\geqslant \dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\mfrac{37}{64}\right)} \quad \textsl{(car $\ln\left(\mfrac{37}{64}\right)<0$)}\\
 \end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\mfrac{37}{64}\right)}\approx 5,47$ \pause donc le nombre de parties qu'il faut jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ est~: \pause
 $$\boxed{n=6}$$

\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]{Exercice 4 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On complète le script de la façon suivante~: \pause

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def suite(n) :
    u = 3
    for i in range(n) :
        u = 4 / (5 - u)
    return u
\end{pyverbatim}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item La commande \pyv{suite(2)} renvoie la valeur de $u_2$. \pause Or, on a~:
\begin{itemize}
 \item $u_1= \pause \dfrac{4}{5-3} \pause =\dfrac{4}{2} \pause =2$ \pause
 \item $u_2= \pause \dfrac{4}{5-2} \pause =\dfrac{4}{3} \pause \approx 1,3333$ \pause
\end{itemize}
Cela explique l'affichage.
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les affichages nous donnent les valeurs suivantes~: \pause
\begin{itemize}
 \item $u_2\approx 1,3333333333333333$ \pause
 \item $u_5\approx 1,0058479532163742$ \pause
 \item $u_{10}\approx 1,0000057220349845$ \pause
 \item $u_{20}\approx 1,000000000005457$ \pause
\end{itemize}
On peut donc conjecturer que~: \pause
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est décroissante et converge vers $1$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item \label{ch20_ex4_qB1} La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$ \pause et, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,5\right[$~: \pause
 $$f'(x)= \pause -\dfrac{-4}{(5-x)^2} \pause =\dfrac{4}{(5-x)^2}$$ \pause
 Pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,5\right[$, \pause on a $f'(x)\geqslant 0$ \pause donc~:
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \label{ch20_ex4_qB2} Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a~:
 $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$. \pause
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
  On a $u_0=3$ \pause et $u_1=2$ \pause donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 4$. \pause On en déduit que la propriété est vraie au rang $n=0$. \pause
  \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire~:
  $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$$ \pause
  On a alors, en appliquant la fonction $f$ qui est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$~: \pause
  $$f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(4)$$ \pause
  Soit~:
  $$1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$$ \pause
  Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \pause
  \leftskip=1cm
  \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
  La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, \pause elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause On a donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  $$\boxed{1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4}$$
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,5\right[$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{4}{5-x}=x\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 4=x(5-x)\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 4=5x-x^2\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x^2-5x+4=0 \pause
  \end{eqnarray*}
D'où l'équivalence~:
  $$\boxed{f(x)=x \Longleftrightarrow x^2-5x+4=0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item L'équation $x^2-5x+4=0$ \pause est une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta= \pause (-5)^2-4\times 1\times 4 \pause =9 \pause >0$. \pause Elle admet donc deux solutions réels~: \pause
  $$x_1= \pause \dfrac{5-\sqrt{9}}{2} \pause =1 \pause \quad \text{et} \quad x_2= \pause \dfrac{5+\sqrt{9}}{2} \pause =4$$ \pause
  L'équation $f(x)=x$ admet donc pour ensemble solution sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$~: \pause
  $$\boxed{\mathscr{S}=\left\lbrace 1\,;\,4\right\rbrace}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item D'après la question \ref{ch20_ex4_qB2} de la partie B, \pause la suite $(u_n)$ est~: \pause
 \begin{itemize}
  \item décroissante \pause (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
  \item minorée par $1$ \pause (car $u_{n}\geqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
 \end{itemize}
 On en déduit que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$. \pause Et comme la suite est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ \pause et que la fonction $f$ est continue sur $\left]-\infty\,;\,5\right[$, \pause on sait que $l$ vérifie $f(l)=l$. \pause Or cette équation admet deux solutions, qui sont $1$ et $4$. \pause Mais comme la suite $(u_n)$ est décroissante et que $u_0=3$, \pause la suite ne peut pas converger vers $4$, \pause d'où~:
 $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}$$
\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{5}
 \item Le comportement de la suite serait différent en choisissant comme terme initial $u_0=4$ au lieu de $u_0=3$. \pause En effet, $4$ étant un point fixe pour la fonction $f$, \pause dans ce cas la suite $(u_n)$ serait constante égale à $4$. \pause Autrement dit~:
 $$\boxed{\text{$u_n=4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$}}$$
\end{enumerate}

\end{frame}




\end{document}









