\chapter{Métropole - 20 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Probabilité de réussir à un examen}\label{8.1}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (5 points)]
La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

\medskip

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question~: \og Pensez-vous avoir réussi l'examen~? \fg{}. Seules les réponses \og oui \fg{} ou \og non \fg{} sont possibles, et on observe que 91,7~\% des étudiants interrogés ont répondu \og oui \fg{}.

\medskip

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que~:
\begin{itemize}
 \item 65~\% des étudiants ayant échoué ont répondu \og non \fg{}~;
 \item 98~\% des étudiants ayant réussi ont répondu \og oui \fg{}.
\end{itemize}

\medskip

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

\medskip

On note $R$ l'événement \og l'étudiant a réussi l'examen \fg{} et $Q$ l'événement \og l'étudiant a répondu \og oui \fg{} à la question \fg{}.

\medskip

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son événement contraire.

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\bm{10^{-3}}$ près.}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$.
 \item On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
 \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
  \item Montrer que $x=0,9$.
 \end{enumerate}
 \item L'étudiant interrogé a répondu \og oui \fg{} à la question. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen~?
\end{enumerate}

\columnbreak

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Q$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{Q}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Q$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{Q}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20\,;\,0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.\\
 À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65~\% des étudiants soient récompensés~?
 \item On interroge au hasard dix étudiants.\\
 Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, \dots, $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20\,;\,0,615)$.\\
 Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\dots +N_{10}$.\\
 Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
 \item On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
 \begin{enumerate}
  \item Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice~?
  \item Justifier que $E(M)=12,3$ et $V(M)=0,47355$.
  \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.

  \medskip

  \og La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d'au moins 80~\% \fg{}.
 \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On sait que~:
 \begin{itemize}
  \item 91,7~\% des étudiants ont répondu \og oui \fg{} donc~:
  $$\boxed{P(Q)=0,917}$$
  \item 65~\% des étudiants ayant échoué ont répondu \og non \fg{} donc~:
  $$\boxed{P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0,65}$$
 \end{itemize}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On complète l'arbre de la façon suivante~:
  \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Q$}\taput{\footnotesize $0,98$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{Q}$}\tbput{\footnotesize $0,02$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Q$}\taput{\footnotesize $0,35$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{Q}$}\tbput{\footnotesize $0,65$}
}
}
\end{center}

  \item Les événements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
  \begin{align*}
   P(Q) & = P(R)\times P_R(Q)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(Q)\\
        & = x\times 0,98+(1-x)\times 0,35\\
        & = 0,98x+0,35-0,35x\\
        & = 0,63x+0,35
  \end{align*}
Or, d'après l'énoncé, on sait que $P(Q)=0,917$, il s'agit alors de résoudre une équation~:
\begin{align*}
 0,63x+0,35=0,917 & \Longleftrightarrow 0,63x=0,917-0,35\\
                  & \Longleftrightarrow 0,63x=0,567\\
                  & \Longleftrightarrow x=\dfrac{0,567}{0,63}\\
                  & \Longleftrightarrow x=0,9
\end{align*}
On a donc bien~:
$$\boxed{x=0,9}$$
 \end{enumerate}
 \item Il s'agit de calculer $P_Q(R)$~:
 \begin{align*}
  P_Q(R) & = \dfrac{P(R\cap Q)}{P(Q)}\\
         & = \dfrac{P(R)\times P_R(Q)}{P(Q)}\\
         & = \dfrac{0,9\times 0,98}{0,917}\\
         & \approx 0,962
 \end{align*}
Sachant que l'étudiant a répondu \og oui \fg{} à la question, la probabilité qu'il ait réussi l'examen est donc~:
$$\boxed{P_Q(R)\approx 0,962}$$


 \item \label{ch13_ex1_q4} Il s'agit de déterminer un entier $k$ tel que $P(N\geqslant k)\approx 0,65$. On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
 $$\boxed{P(N\geqslant 12)\approx 0,65}$$
 Afin qu'environ 65~\% des étudiants soient récompensés, elle doit attribuer les récompenses à partir de la note de 12.

 \item La variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,615$. Son espérance est donc $E(N)=n\times p=20\times 0,615=12,3$ et sa variance $V(N)=n\times p\times (1-p)=20\times 0,615\times 0,385=4,7355$.\\
 Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, \dots, $N_{10}$ suivent toutes la même loi que $N$, on a donc~:
 $$E(S)=10\times E(N)=10\times 12,3=123$$
 Et comme les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, \dots, $N_{10}$ sont indépendantes, on a~:
 $$V(S)=10\times V(N)=4,7355\times 10=47,355$$
 Soit~:
 $$\boxed{E(S)=123} \quad \text{et} \quad \boxed{V(S)=47,355}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item La variable aléatoire $M$ modélise~:
  $$\boxed{\text{La moyenne du groupe des dix étudiants}}$$

  \item On sait alors, d'après le cours, que $E(M)=E(N)$ et que $V(M)=\dfrac{1}{10}\times V(N)$, soit~:
  $$\boxed{E(M)=12,3} \quad \text{et} \quad \boxed{V(M)=0,47355}$$

  \item \label{ch13_ex1_q6c} D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a~:
  $$P\left(|M-E(M)|\geqslant 2\right)\leqslant \dfrac{V(M)}{2^2}$$
  Soit~:
  $$P\left(|M-12,3|\geqslant 2\right)\leqslant \dfrac{0,47355}{4}$$
  Et par passage à l'événement contraire~:
  $$P\left(|M-12,3|< 2\right)\leqslant 1-\dfrac{0,47355}{4}$$
  Soit~:
  $$P\left(12,3-2< M< 12,3+2\right)\geqslant 0,8816125$$
  Et donc~:
 $$\boxed{P\left(10,3< M< 14,3\right)\geqslant 0,8816125}$$
La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est donc supérieure à $0,8$.
 \end{enumerate}

\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Selon moi, l'énoncé de la question \ref{ch13_ex1_q4} est ambigu. Si l'on souhaite qu'au moins 65~\% des étudiants soient récompensés, il faut attribuer les récompenses à partir de la note de 11. En effet, on a~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item $P(N\geqslant 12)\approx 0,649<0,65$
  \item $P(N\geqslant 11)\approx 0,797>0,65$
 \end{itemize}
Mais comme $P(N\geqslant 12)$ est vraiment proche de $0,65$, je pense que c'est cette réponse qui était attendue.
 \item Dans la question \ref{ch13_ex1_q6c}, on applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev~:
 $$\boxed{P\left(|X-\mu|\geqslant \delta\right)\leqslant \dfrac{V}{\delta^2}}$$
 avec $\mu=12,3$, $V=0,47355$ et $\delta=2$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
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\section{Discret ou continu pour le taux de chlore}\label{8.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

Alain possède une piscine qui contient 50~m$^3$ d'eau. On rappelle que $1~\text{m}^3=\np{1000}~\text{L}$.\\
Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

\medskip

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg}.\text{L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.

\medskip

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

\medskip

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01~\text{mg}.\text{L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.

\medskip

\textbf{Partie A~: étude d'un modèle discret.}\\
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de $15~\text{g}$ de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.
 \item Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore en $\text{mg}.\text{L}^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0=0,7$.\\
 On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4$.
  \item Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.
 \end{enumerate}
 \item À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes~? Justifier la réponse.
 \begin{multicols}{2}
 \item Reproduire et compléter l'algorithme ci-contre écrit en langage Python pour que la fonction \pyv{alerte_chlore} renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.
 \item Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction \pyv{alerte_chlore(3)}~? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 \columnbreak
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def alerte_chlore(s) :
  n=0
  v=0.7
  while ... :
    n= ...
    v= ...
  return n
\end{pyverbatim}
 \end{multicols}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B~: étude d'un modèle continu.}\\
Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

\medskip

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\text{mg}.\text{L}^{-1}$, dans la piscine.

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$~: $y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\mathrm{e}^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
  \item On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.\\
  On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2~\text{mg}.\text{L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item Alain ajoute $15$~g, soit $\np{15000}$~mg et la piscine contient $50~\text{m}^3$ soit $\np{50000}$~L. On a alors~:
 $$\dfrac{\np{15000}}{\np{50000}}=0,3$$
 L'ajout de $15$~g pour $50~\text{m}^3$ fait donc bien augmenter le taux de $0,3~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4$.
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\
   Pour $n=0$, on a $v_0=0,7$ et $v_1=0,944$. On a donc $v_0\leqslant v_1\leqslant 4$ et la propriété est vraie au rang $n=0$.
   \item \textbf{Hérédité~:}\\
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~:
   $$v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4$$
   On a alors, en multipliant par $0,92$ qui est positif~:
   $$0,92v_n\leqslant 0,92v_{n+1}\leqslant 3,68$$
   Puis, en ajoutant $0,3$~:
   $$0,92v_n+0,3\leqslant 0,92v_{n+1}+0,3\leqslant 3,98$$
   Soit~:
   $$v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant 3,98$$
   Et donc a fortiori~:
   $$v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant 4$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   \item \textbf{Conclusion~:}\\
   La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. On a montré que, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
   $$\boxed{v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4}$$
  \end{itemize}

  \item \label{ch13_ex2_qA3b} D'après la question précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  \begin{itemize}[label=\ding{221}]
   \item $v_n\leqslant v_{n+1}$ donc la suite $(v_n)$ est croissante.
   \item $v_n\leqslant 4$ donc la suite $(v_n)$ est majorée par $4$.
  \end{itemize}
 La suite $(v_n)$ est croissante et majorée donc elle converge vers une limite $l$ inférieure ou égale à $4$.\\
 De plus, on sait qu'alors $(v_n)$ converge vers un point fixe, c'est-à-dire un réel $l$ qui vérifie $0,92l+0,3=l$. Résolvons cette équation~:
 \begin{align*}
  0,92l+0,3=l & \Longleftrightarrow 0,08l=0,3\\
              & \Longleftrightarrow l=\dfrac{0,3}{0,08}\\
              & \Longleftrightarrow l=3,75
 \end{align*}
La suite $(v_n)$ converge donc vers~:
$$\boxed{l=3,75}$$
 \end{enumerate}
 \item À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes car il va se rapprocher de $3,75~\text{mg}.\text{L}^{-1}$ et dépassera donc $3~\text{mg}.\text{L}^{-1}$.
 \item On complète l'algorithme de la façon suivante~:
 \begin{pyverbatim}[][frame=single]
def alerte_chlore(s) :
  n = 0
  v = 0.7
  while v <= s :
    n = n+1
    v = 0,92*v + 0.3
  return n
\end{pyverbatim}
 \item \label{ch13_ex2_qA5} En exécutant l'instruction \pyv{alerte_chlore(3)} on obtient la valeur~:
 $$\boxed{17}$$
 Cela signifie que la taux de chlore dépassera $3~\text{mg}.\text{L}^{-1}$ après 17 jours de traitement.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item Résolvons l'équation différentielle $y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}$.
 \begin{itemize}
  \item L'équation homogène associée $y'=-0,08y$ admet pour solutions les fonctions de la forme~:
  $$x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,08x} \quad \text{avec $C\in\mathbb{R}$}$$
  \item On a $\dfrac{\mfrac{q}{50}}{0,08}=\dfrac{q}{50\times 0,08}=\dfrac{q}{4}$ donc l'équation $y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}$ admet pour solution particulière constante la fonction~:
  $$x\mapsto \dfrac{q}{4}$$
  \item Les solutions de l'équation différentielle $y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}$ sont donc les fonctions de la forme~:
  $$\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}} \quad \text{avec $C\in\mathbb{R}$}$$
 \end{itemize}

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a~:
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{q}{4}} \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{e}^{-0,08x}=0$$

  \item Il s'agit de déterminer les valeurs de $C$ et $q$ telles que $f(0)=0,7$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2$~:
  \begin{align*}
   \begin{dcases}f(0)=0,7\\\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2\end{dcases} & \Longleftrightarrow \begin{dcases}C+\dfrac{q}{4}=0,7\\\dfrac{q}{4}=2\end{dcases}\\
   & \Longleftrightarrow \begin{dcases}C=0,7-\dfrac{q}{4}\\q=8\end{dcases}\\
   & \Longleftrightarrow \begin{cases}C=-1,3\\q=8\end{cases}
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{\begin{cases}C=-1,3\\q=8\end{cases}}$$
On a alors~:
$$\boxed{f(x)=-1,3\mathrm{e}^{-0,08x}+2}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch13_ex2_qA3b} de la partie A, le fait que la suite soit croissante et majorée par $4$ permet de conclure que la suite converge mais ne permet pas de déterminer la valeur de la limite (ce n'est pas nécessairement $4$). On montre d'ailleurs ici que la limite est $3,75$.
 \item Dans la question \ref{ch13_ex2_qA5} de la partie A, on peut également justifier en utilisant les valeurs des termes de la suite obtenue à l'aide de la calculatrice. Il suffit alors de dire que~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item $v_{16}\approx 2,95<3$
  \item $v_{17}\approx 3,01>3$
 \end{itemize}
C'est donc à partir de $n=17$ que $v_n$ dépasse $3$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Distance d'un point à une courbe}\label{8.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (6 points)]
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.\\
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$.\\
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0\,;\,-1)$.

\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=1.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.8,-3.5)(1.2,1.)
\multips(0,-3.5)(0,0.5){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.8,0)(1.2,0)}
\multips(-1.8,0)(0.2,0){16}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-3.5)(0,1.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.2,Dy=0.5,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.8,-3.5)(1.2,1.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-1.8}{1.2}{x^(2.0)+2.0*x-1.0+ln(x+2.0)}
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.8}{1.2}{(-1.--1.*x)/1.}
\rput[tl](1.05,0.35){$T$}
\rput[tl](0.22,0.9){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-1.,-2.)
\rput[bl](-0.99,-2.2){$B$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,-1.)
\rput[bl](0.02,-1.2){$A$}
\begin{scriptsize}
\rput[tl](0.15,-0.05){$0,2$}
\rput[tl](0.98,-0.08){$1$}
\rput[tl](-0.15,0.55){$0,5$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Partie A~: exploitation du graphique.}\\
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
\begin{enumerate}
 \item Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
 \item La courbe $\mathscr{C}_f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition~? Justifier.
 \item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~: étude de la fonction $\bm{f}$.}\\
On considère que la fonction $f$ est définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par $f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.\\
 On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
 \item Montrer que pour tout $x>-2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
 \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ puis dresser son tableau de variations complet.
 \item \label{ch13_ex3_qB4} Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
 \item En déduire le signe de $f(x)$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$.
 \item Montrer que $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
\end{enumerate}

%\medskip

\textbf{Partie C~: une distance minimale.}
\begin{multicols}{2}
 Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

 \medskip

 On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,I\,,\,J)$, représenté ci-contre.

 \medskip

 Soit $M$ un point de $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$.

 \medskip

 Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

 \medskip

 On considère la fonction $h$ définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par $h(x)=JM^2$.

 \columnbreak

\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.15)(1.1,1.1)
\multips(-0.4,0)(0,0.2){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.4,0)(1.5,0)}
\multips(-0.2,0)(0.2,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.1)(0,1.3)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=0pt 0,subticks=0,comma=true]{-}(0,0)(-0.3,-0.1)(1.1,1.1)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-0.3}{1.1}{ln(x+2.0)}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.3,0.)(0.3,0.8329091229351039)
\psline[linewidth=1.pt](0.3,0.8329091229351039)(0.,1.)
\begin{small}
\rput[tl](0.27,-0.05){$x$}
\rput[tl](-0.25,0.53){$\mathscr{C}_g$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](1.,0.)
\rput[bl](1.01,0.02){$I$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,1.)
\rput[bl](0.02,1.02){$J$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0.3,0.8329091229351039)
\rput[bl](0.26,0.87){$M$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.3,0.)
\rput[bl](-0.1,-0.1){$O$}
\end{small}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
 \item Justifier que pour tout $x>-2$, on a~: $h(x)=x^2+\left[\ln(x+2)-1\right]^2$.
 \item On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.\\
 On admet également que pour tout réel $x>-2$,
 $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$
 où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
 \begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$.\\
  \textit{Les limites ne sont pas demandées.}
  \item En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question \ref{ch13_ex3_qB4} de la partie B.
 \end{enumerate}
 \item On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $\alpha$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2$.
  \item En déduire que la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $(JM_{\alpha})$ sont perpendiculaires.\\
  On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendicualires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item La courbe $\mathscr{C}_f$ passe par le point $B(-1\,;\,-2)$ donc~:
 $$\boxed{f(-1)=-2}$$
 La tangente au point d'abscisse $-1$ passe par les points $B(-1\,;\,-2)$ et $A(0\,;\,-1)$. Son coefficient directeur est donc égal à~:
 $$\dfrac{-1-(-2)}{0-(-1)}=\dfrac{1}{1}=1$$
 Soit~:
 $$\boxed{f'(-1)=1}$$
 \item La courbe $\mathscr{C}_f$ semble être concave puis convexe.
 \item A priori, la courbe $\mathscr{C}_f$ ne coupe l'axe des abscisses qu'en un point. On peut donc conjecturer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution~:
 $$\boxed{x\approx 0,1}$$
\end{enumerate}

\medskip



\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to -2}f(x)=-\infty} \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to -2}(x^2-2x-1)=-1\\\lim\limits_{x\to -2}\ln(x+2)=-\infty \end{cases}$$
 La courbe $\mathscr{C}_f$ admet donc~:
 $$\boxed{\text{Une asymptote verticale d'équation $x=-2$}}$$
 \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x>-2$~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 2x+2+\dfrac{1}{x+2}\\
        & = \dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}\\
        & = \dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2}\\
        & = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}
 \end{align*}
Soit~:
 $$\boxed{f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}}$$
 \item Le polynôme $2x^2+6x+5$ admet pour discriminant $\Delta=-4$, il n'a donc aucune racine réelle et est strictement positif sur $\mathbb{R}$. De plus, $x+2$ est strictement positif sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ donc $f'(x)>0$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{$f$ est strictement croissante sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$}}$$
 On a donc le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=5]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $-2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , + ,   }
\tkzTabVar {D-/$-\infty$, +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item
 \begin{sloppypar}
 Sur l'intervalle $\left]-2\,;\,+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus ${\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. Or $0\in\left]-\infty\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]-2\,;\,+\infty\right[$. Et on a~:
 \end{sloppypar}
 \begin{itemize}
  \item $f(0,11)\approx -0,02<0$
  \item $f(0,12)\approx 0,0058>0$
 \end{itemize}
Donc~:
$$\boxed{0,11<\alpha<0,12}$$

 \item $f$ est strictement croissante sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et s'annule en $\alpha$. On a donc le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /1}
{ $-2$ , $\alpha$, $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item \label{ch13_ex3_qB6} La fonction $f'$ est dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in \left]-2\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
  f''(x) & = \dfrac{(4x+6)(x+2)-(2x^2+6x+5)\times 1}{(x+2)^2}\\
         & = \dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2}\\
         & = \dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}
 \end{align*}
 Le polynôme $2x^2+8x+7$ admet deux racines réelles~:
 $$x_1=\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}\approx -2,71 \quad \text{et} \quad x_2=\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}\approx -1,29$$
 Et il est positif à l'extérieur de l'intervalle des racines. Et comme $(x+2)^2$ est positif, on a le tableau~:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $-2$  , $x_2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , +  }
\tkzTabLine { d , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x_2$. La courbe $\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d'inflexion au point d'abscisse~:
$$\boxed{\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item On a $J(0\,;\,1)$ et $M(x\,;\,\ln(x+2))$ donc, pour tout $x>-2$~:
 \begin{align*}
  h(x) & = JM^2\\
       & = (x-0)^2+(\ln(x+2)-1)^2
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{h(x)=x^2+\left[\ln(x+2)-1\right]^2}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x\in\left]-2\,;\,+\infty\right[$, $x+2>0$ donc $h'(x)$ est du signe de $f(x)$. On a donc le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=2.7]%
{$x$ /0.7,
$h'(x)$ /0.7,
$h(x)$ /1.8}
{ $-2$ , $\alpha$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,   }
\tkzTabVar {D+/ , -/$h(\alpha)$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item La distance $JM$ étant positive, elle est minimale lorsque son carré est minimal, c'est-à-dire lorsque la valeur de $h(x)$ est minimale. D'après le tableau de variations, $h$ atteint son minimum en $\alpha$. On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{$JM$ est minimale pour $x=\alpha$}}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On sait que $f(\alpha)=0$, c'est-à-dire que~:
  $$\alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0$$
  Et donc que~:
  $$\boxed{\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2}$$
  \item
  \begin{itemize}
   \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]-2\,;\,+\infty\right[$, $g'(x)=\dfrac{1}{x+2}$. Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point $M_{\alpha}$ est donc~:
   $$g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$$
   \item On a $J(0\,;\,1)$ et $M_{\alpha}(\alpha\,;\,g(\alpha))$, soit $M_{\alpha}(\alpha\,;\,\ln(\alpha+2))$ et donc, d'après la question précédente $M_{\alpha}(\alpha\,;\,1-2\alpha-\alpha^2)$. Calculons le coefficient directeur $m_{\alpha}$ de la droite $(JM_{\alpha})$~:
   \begin{align*}
    m_{\alpha} & = \dfrac{y_{M_{\alpha}}-y_J}{x_{M_{\alpha}}-x_J}\\
      & = \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha-0}\\
      & = \dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha}\\
      & = \dfrac{\alpha(-2-\alpha)}{\alpha}\\
      & = -2-\alpha\\
      & = -(\alpha+2)
   \end{align*}
 \item Calculons alors le produit des coefficients directeurs~:
 $$g'(\alpha)\times m_{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \left(-(\alpha+2)\right)=-1$$
 On en déduit que~:
 $$\hspace{-1cm}\boxed{\text{La tangente à $\mathscr{C}_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $(JM_{\alpha})$ sont perpendiculaires}}$$
  \end{itemize}
 \end{enumerate}

\end{enumerate}





\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour le calcul de $JM^2$, on peut commencer par calculer la longueur $JM$ à l'aide de la formule~:
 $$JM=\sqrt{(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2}$$
 Et donc, en élevant au carré, la racine disparaît~:
 $$JM^2=(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2$$
 Dans la correction, j'ai élevé directement au carré.
 \item Dans la question \ref{ch13_ex3_qB6} de la partie B, on doit étudier le signe du polynôme $2x^2+8x+7$. Comme il y a deux racines $x_1$ et $x_2$ et que le coefficient de $x^2$ est positif, son signe est donné par le tableau suivant~:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3, deltacl=0.8, espcl=2]%
{$x$ /0.7,
$2x^2+8x+7$ /1}
{ $-\infty$ , $x_1$ , $x_2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , + , z , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Et comme on travaille sur l'intervalle $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et que $x_1<-2$, on obtient le tableau~:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3, deltacl=0.8, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$2x^2+8x+7$ /1}
{ $-2$ , $x_2$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le vrai-faux de l'espace}\label{8.4}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (4 points)]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants~:
$$A(2\,;\,0\,;\,0)\;,\;B(0\,;\,4\;;\;\,3)\;,\;C(4\,;\,4\,;\,1)\;,\;D(0\,;\,0\,;\,4)\;\text{et}\;H(-1\,;\,1\,;\,2)$$

\medskip

\textbf{Affirmation 1~:} les points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan $\mathscr{P}$ d'équation $8x-5y+4z-16=0$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2~:} les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

\medskip

\textbf{Affirmation 3~:} les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.

\medskip

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.\\
\textbf{Affirmation 4~:} le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
On a $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-2\\4-0\\1-0\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0-2\\0-0\\4-0\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan.\\
Soit alors $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}8\\-5\\4 \end{pmatrix}$ un vecteur normal au plan d'équation $8x-5y+4z-16=0$. On a~:
\begin{itemize}
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=8\times 2+(-5)\times 4+4\times 1=16-20+4=0$
 \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AD}=8\times (-2)+(-5)\times 0+4\times 4=-16+0+16=0$
\end{itemize}
Le plan $(ACD)$ admet donc une équation de la forme $8x-5y+4z+d=0$. Et comme le point $A(2\,;\,0\,;\,0)$, par exemple, appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation donc ${8\times 2-5\times 0+4\times 0+d=0}$ soit $d=-16$. Le plan $(ACD)$ admet donc bien pour équation cartésienne $8x-5y+4z-16=0$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2~: Faux}\\
Le plan $(ABC)$ admet pour équation $8x-5y+4z-16=0$. Or les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas cette équation, en effet $8\times 0-5\times 4+4\times 3-16=-24\neq 0$. Le point $B$ n'appartient donc pas au plan $(ACD)$. On en déduit que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

\medskip

\textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\
La droite $(AC)$ passe par $A(2\,;\,0\,;\,0)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur, elle admet donc pour représentation paramétrique~:
$$\begin{cases}x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}\quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}$$
La droite $(BH)$ passe par $B(0\,;\,4\,;\,3)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur, elle admet donc pour représentation paramétrique~:
$$\begin{cases}x=-t'\\y=4-3t'\\z=3-t'\end{cases}\quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}$$
Déterminons l'intersection de $(AC)$ et $(BH)$~:
\begin{align*}
 \begin{cases}2+2t=-t'\\4t=4-3t'\\t=3-t'\end{cases} & \Longleftrightarrow \begin{cases}2+2(3-t')=-t'\\4(3-t')=4-3t'\\t=3-t'\end{cases}\\
  & \Longleftrightarrow \begin{cases}2+6-2t'=-t'\\12-4t'=4-3t'\\t=3-t'\end{cases}\\
  & \Longleftrightarrow \begin{cases}t'=8\\t'=8\\t=-5\end{cases}
\end{align*}
Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes. Le point d'intersection est le point de paramètre $t=-5$ dans la représentation paramétrique de $(AC)$ et de paramètre $t'=8$ dans celle de $(BH)$, c'est-à-dire le point de coordonnées~:
$$\boxed{(-8\,;\,-20\,;\,-5)}$$

\medskip

 \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
 Le point $H$ appartient au plan $(ABC)$, en effet $-1-1+2\times 2-2=0$. On a $\overrightarrow{HD}\begin{pmatrix}0-(-1)\\0-1\\4-2\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{HD}\begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix}$. D'après son équation cartésienne, le plan $(ABC)$ admet le vecteur $\begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal, soit le vecteur $\overrightarrow{HD}$. Finalement, $(HD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ et $H$ appartient au plan $(ABC)$ donc $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour montrer que trois points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan, il faut montrer que ces points ne sont pas alignés. Il suffit donc de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires.
 \item Pour l'affirmation 1, on aurait pu vérifier simplement que les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l'équation donnée. Cela ne prouve cependant pas que les points ne sont pas alignés.
 \item Pour montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires, on aurait également pu montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires. Pour cela, on peut montrer qu'il n'existe pas de réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{AD}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$ ou alors que pour tous réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$~:
$$\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}+\gamma \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0} \Longrightarrow \begin{cases}\alpha=0\\\beta=0\\\gamma=0\end{cases}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


