\chapter{Métropole - 19 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Une fonction et une suite dans un vrai-faux}\label{7.1}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (4 points)]
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par~: $f(x)=5x\mathrm{e}^{-x}$. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.\\
 \textbf{Affirmation 1~:}\\
 L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $\mathscr{C}_f$.\\
 \textbf{Affirmation 2~:}\\
 La fonction $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$~: $y'+y=5\mathrm{e}^{-x}$.
 \item On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$, telles que, pour tout entier naturel $n$~:
 $$u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$$
 De plus, la suite $(u_n)$ converge vers $-1$ et la suite $(w_n)$ converge vers $1$.\\
 \textbf{Affirmation 3~:}\\
 La suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[-1\,;\,1]$.

 \medskip

 On suppose de plus que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(w_n)$ est décroissante.\\
 \textbf{Affirmation 4~:}\\
 Pour tout entier naturel $n$, on a alors~: $u_0\leqslant v_n\leqslant w_0$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
 Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~:
 $$f(x)=5\times \dfrac{x}{\mathrm{e}^x}$$
 Et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=0$ donc~:
 $$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$$
 La courbe $\mathscr{C}_f$ admet donc la droite d'équation $y=0$ (soit l'axe des abscisses) comme asymptote horizontale en $+\infty$.

 \medskip

 \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\
 La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $\mathbb{R}$~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 5\mathrm{e}^{-x}+5x\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\
        & = (5-5x)\mathrm{e}^{-x}
 \end{align*}
Et donc, pour tout $\mathbb{R}$~:
\begin{align*}
 f'(x)+f(x) & = (5-5x)\mathrm{e}^{-x}+5x\mathrm{e}^{-x}\\
            & = 5\mathrm{e}^{-x}
\end{align*}
La fonction $f$ est donc solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'+y=5\mathrm{e}^{-x}$.

 \item \textbf{Affirmation 3~: Faux}\\
 Soit $(u_n)$ la suite constante égale à $1$, $(w_n)$ la suite constante égale à $-1$ et $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=(-1)^n$. Toutes les hypothèses sont vérifiées mais la suite $(v_n)$ ne converge pas. On a donc trouvé un contre-exemple, ce qui prouve que l'affirmation est fausse.

 \medskip

 \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
 La suite $(u_n)$ étant croissante, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_0\leqslant u_n$. De même, la suite $(w_n)$ étant décroissante, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $w_0\geqslant w_n$. On a alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
 $$u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\leqslant w_0$$
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Pour l'affirmation 1, la formule de croissances comparées du cours est la suivante~:
 $$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$$
 Autrement dit, l'exponentielle l'emporte sur $x$. Ici on est en présence du rapport inverse donc la limite est $0$. Si l'on souhaite se ramener vraiment à la formule du cours, on peut écrire, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$~:
 $$\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=\dfrac{1}{\mfrac{\mathrm{e}^x}{x}}$$
 Et comme $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$, on en déduit $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=0$.
 \item Pour l'affirmation 2, il ne faut pas chercher à résoudre l'équation différentielle mais il faut simplement vérifier que $f$ est une solution. Il suffit alors de remplacer $y$ par $f$ et montrer que l'égalité est vérifiée.
 \item Pour l'affirmation 3, on est tenté de penser au théorème des gendarmes mais les deux suites \og qui encadrent \fg{} n'ont pas la même limite. Cela laisse donc trop d'espace à la suite qui est encadrée et ne la contraint pas à converger.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




\newpage
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\section{Probabilité de satisfaction}\label{7.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (5 points)]
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

\medskip

Les achats sur internet représentent 60~\% des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30~\% des ventes et ceux en grandes surfaces 10~\% des ventes.

\medskip

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de~:
\begin{itemize}
 \item 75~\% pour les clients sur internet~;
 \item 90~\% pour les clients en magasin d'électroménager~;
 \item 80~\% pour les clients en grande surface.
\end{itemize}
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

\medskip

On définit les événements suivants~:
\begin{itemize}
 \item $I$~: \og le client a effectué son achat sur internet\fg{}~;
 \item $M$~: \og le client a effectué son achat en magasin d'électroménager\fg{}~;
 \item $G$~: \og le client a effectué son achat en grande surface\fg{}~;
 \item $S$~: \og le client est satisfait du service clientèle\fg{}.
\end{itemize}
Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\overline{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
 \item Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
 \item Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
 \item Démontrer que $P(S)=0,8$.
 \item Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet~? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=21mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\tbput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G$}\tbput{\footnotesize $\dots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $\dots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $\dots$}
}
}
\end{center}
 \end{multicols}
 \item Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  \item Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
 \end{enumerate}
 \item En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
 \item Dans les deux questions \ref{ch12_ex1_q7a} et \ref{ch12_ex1_q7b} qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.\\
 Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.

 \medskip

 La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.

\medskip

On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne~:
\begin{itemize}
 \item L'espérance $E(T_1)=4$ et la variance $V(T_1)=2$~;
 \item L'espérance $E(T_2)=3$ et la variance $V(T_2)=1$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
 \item \label{ch12_ex1_q7a} Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
 \item \label{ch12_ex1_q7b} Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On complète l'arbre de la façon suivante~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\footnotesize $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $0,75$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $0,25$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\tbput{\footnotesize $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G$}\tbput{\footnotesize $0,1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\footnotesize $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\footnotesize $0,2$}
}
}
\end{center}

 \item Il s'agit de calculer $P(I\cap S)$~:
 $$P(I\cap S)  = P(I)\times P_I(S)
              = 0,6\times 0,75
              = 0,45$$
La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est donc~:
$$\boxed{P(I\cap S)=0,45}$$
 \item Les événements $I$, $M$ et $G$ forment une partition de l'univers. On a donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(S) & = P(I)\times P_I(S)+P(M)\times P_M(S)+P(G)\times P_G(S)\\
       & = 0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8\\
       & = 0,45+0,27+0,08\\
       & = 0,8
 \end{align*}
On a donc bien~:
$$\boxed{P(S)=0,8}$$
 \item Il s'agit de calculer $P_S(I)$~:
$$P_S(I)  = \dfrac{P(I\cap S)}{P(S)}
          = \dfrac{0,45}{0,8}
          \approx 0,563$$
La probabilité que le client ait effectué son achat sur internet sachant qu'il est satisfait de son achat est donc~:
$$\boxed{P_S(I)\approx 0,563}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On répète 30 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est égale à $0,8$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~:
  $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,8$}}$$
  \item On obtient, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité qu'au moins 25 clients soient satisfaits est~:
  $$\boxed{P(X\geqslant 25)\approx 0,428}$$
 \end{enumerate}
 \item \label{ch12_ex1_q6} Soit $n$ le nombre de clients contactés et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de clients satisfaits parmi eux. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$. La probabilité qu'au moins un client ne soit pas satisfait est donc égale à $P(Y\leqslant n-1)$. Or on a~:
 $$P(Y\leqslant n-1)=1-P(Y=n)=1-0,8^n$$
 On a alors~:
 \begin{alignat*}{3}
  P(Y\leqslant n-1)\geqslant 0,99 & \Longleftrightarrow 1-0,8^n\geqslant 0,99 &\\
                                  & \Longleftrightarrow 0,8^n\leqslant 0,01 &\\
                                  & \Longleftrightarrow \ln\left(0,8^n\right)\leqslant \ln(0,01) & \quad \textsl{(croissance de $\ln$)}\\
                                  & \Longleftrightarrow n\ln(0,8)\leqslant \ln(0,01) & \\
                                  & \Longleftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} & \textsl{(car $\ln(0,8)<0$)}
 \end{alignat*}
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,6$ donc la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$ est~:
$$\boxed{n=21}$$
 \item
\begin{enumerate}
 \item Par linéarité de l'espérance, on a~:
 $$E(T)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7$$
 Et comme les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes~:
 $$V(T)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3$$
Soit~:
$$\boxed{E(T)=7} \quad \text{et} \quad \boxed{V(T)=3}$$

 \item On s'intéresse ici à la probabilité de l'événement $\left(5\leqslant T\leqslant 9\right)$. Son événement contraire est $(T<5)\cup(T>9)$ ou encore, comme $T$ ne prend que des valeurs entières, ${(T\leqslant 4)\cup(T\geqslant 10)}$. Cet événement s'écrit également $(|T-7|\geqslant 3)$. Or , d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev~:
 $$P\left(|T-E(T)|\geqslant 3|\right)\leqslant \dfrac{V(T)}{3^2}$$
 Soit~:
 $$P\left(|T-7|\geqslant 3|\right)\leqslant \dfrac{3}{3^2}$$
 Et donc~:
 $$P\left(|T-7|\geqslant 3|\right)\leqslant \dfrac{1}{3}$$
 Et donc, en passant à l'événement contraire~:
 $$P\left(|T-7|< 3|\right)\geqslant 1-\dfrac{1}{3}$$
 Soit~:
 $$P\left(4<T<10\right)\geqslant \dfrac{2}{3}$$
 Et donc, la probabilité que le client reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est~:
 $$\boxed{P\left(5\leqslant T\leqslant 9\right)\geqslant \dfrac{2}{3}}$$
\end{enumerate}


\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch12_ex1_q6}, plutôt que d'introduire une variable aléatoire égale au nombre de clients satisfaits, on aurait pu introduire une variable aléatoire égale au nombre de clients qui ne sont pas satisfaits. Cette variable aléatoire, Z, suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,2$ et il s'agit de résoudre $P(Z\geqslant 1)\geqslant 0,99$, soit $1-P(Z=0)\geqslant 0,99$. Et comme $P(Z=0)=0,8^n$, on retombe sur la même inéquation.
\item Dans la question \ref{ch12_ex1_q7a}, la variance de la somme est égale à la somme des variances car les variables aléatoires sont indépendantes. Il ne faut donc pas oublier de donner cet argument, ce qui n'est pas nécessaire pour l'espérance (la formule est toujours vraie).
 \item Dans la question \ref{ch12_ex1_q7b}, on souhaite minorer une probabilité. Pour cela, on majore la probabilité de l'événement contraire. En effet, si $P(\overline{A})\leqslant p$ alors $P(A)\geqslant 1-p$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
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\section{Un volume et une distance}\label{7.3}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (5 points)]
\begin{multicols}{2}
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(0\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$.

\medskip

On considère les points $A(5\,;\,5\,;\,0)$, $B(0\,;\,5\,;\,0)$, $C(0\,;\,0\,;\,10)$ et $D\left(0\,;\,0\,;\,-\dfrac{5}{2}\right)$.


\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
  \item En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne~: $x-y=0$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-3.)(10.,11.)
\pspolygon[linewidth=1.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,10.)(3.,2.)(4.,1.)
\pspolygon[linewidth=1.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.,1.)(8.,2.)(0.,10.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,-3.)(0.,11.)
\psplot[linewidth=1.pt]{-2.}{10.}{(-0.-0.*x)/1.}
\psline[linewidth=1.pt](0.,10.)(3.,2.)
\psline[linewidth=1.pt](3.,2.)(4.,1.)
\psline[linewidth=1.pt](4.,1.)(0.,10.)
\psline[linewidth=1.pt](4.,1.)(8.,2.)
\psline[linewidth=1.pt](8.,2.)(0.,10.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,10.)(4.,1.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3.,2.)(8.,2.)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0,0)(0.6,0.4)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0.,0.)(1.,0.)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0.,0.)(0.,1.)
\psplot[linewidth=1.pt]{6.}{10.}{(-0.--2.302980104479275*x)/3.454470156718912}
\psplot[linewidth=1.pt]{-2.}{3.}{(-0.-3.1555391181166144*x)/-4.7333086771749215}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3.,2.)(6.,4.)
\begin{small}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](8.,2.)
\rput[bl](8.2,2.1){$A$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](3.,2.)
\rput[bl](2.1,1.9){$B$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](4.,1.)
\rput[bl](3.6,0.3){$H$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,-2.5)
\rput[bl](0.2,-2.5){$D$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,10.)
\rput[bl](0.1,10.1){$C$}
\end{small}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.4,0.6){$\overrightarrow{j}$}
\rput[bl](0.6,-0.9){$\overrightarrow{i}$}
\rput[bl](-0.8,0.8){$\overrightarrow{k}$}
\end{scriptsize}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\begin{dcases}x=\dfrac{5}{2}t\\y=5-\dfrac{5}{2}t\\z=0\end{dcases}$\quad où $t\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
 \item On admet que la droite $\mathscr{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,0\right)$.
 \item Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
\end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
  \item En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
  \item En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.\\
  \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par~: $V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}h$ où $\mathscr{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.}
 \end{enumerate}
 \item On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.
 \end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}5\\5\\-10\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}0\\0\\-\mfrac{25}{2} \end{pmatrix}$ et donc~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{CA}=1\times 5+(-1)\times 5+0\times(-10)=5-5+0=0$.
   \item $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{CD}=1\times 0+(-1)\times 0+0\times\left(-\dfrac{25}{2}\right)=0$.
  \end{itemize}
  Le vecteur $\overrightarrow{n_1}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$. On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n_1}$ est normal au plan $(CAD)$}}$$

  \item D'après la question précédente, le plan $(CAD)$ admet une équation cartésienne de la forme~:
  $$x-y+d=0$$
  De plus, le point $C(0\,;\,0\,;\,10)$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation, soit $0-0+d=0$ et donc $d=0$. Le plan $(CAD)$ a donc pour équation cartésienne~:
  $$\boxed{x-y=0}$$
 \end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item \label{ch12_ex3_q2a} On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ dans l'équation cartésienne de $(CAD)$~:
 \begin{align*}
  \dfrac{5}{2}t-\left(5-\dfrac{5}{2}t\right)=0 & \Longleftrightarrow \dfrac{5}{2}t-5+\dfrac{5}{2}t=0\\
      & \Longleftrightarrow 5t-5=0\\
       & \Longleftrightarrow 5t=5\\
        & \Longleftrightarrow t=1
 \end{align*}
Le point $H$ est donc le point de paramètre $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$, soit~:
$$\boxed{H\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,0\right)}$$
 \item Le point $B$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ car c'est le point de paramètre $t=0$ dans la représentation paramétrique précédente. Et la droite $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $(CAD)$ car elle est dirigée par le vecteur $\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{pmatrix}\mfrac{5}{2}\\-\mfrac{5}{2}\\0 \end{pmatrix}$ qui est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n_1}$, normal au plan $(CAD)$. On en déduit que~:
$$\boxed{\text{$H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$}}$$
\end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\renewcommand{\arraystretch}{1.7}\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}-\mfrac{5}{2}\\\mfrac{5}{2}\\0 \end{pmatrix}$ et $\renewcommand{\arraystretch}{1.7}\overrightarrow{HA}\begin{pmatrix}\mfrac{5}{2}\\\mfrac{5}{2}\\0 \end{pmatrix}$ et donc~:
  $$\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HA}=-\dfrac{5}{2}\times \dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{5}{2}+0\times 0=-\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}=0$$
  Les vecteur $\overrightarrow{HB}$ et $\overrightarrow{HA}$ sont donc orthogonaux. On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$}}$$
  \item On a~:
  $$HB=\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}$$
  De même, $HA=\sqrt{\dfrac{25}{2}}$ et comme le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, son aire est~:
  $$\mathscr{A}_{ABH}=\dfrac{HA\times HB}{2}=\dfrac{\sqrt{\mfrac{25}{2}}\times \sqrt{\mfrac{25}{2}}}{2}=\dfrac{\mfrac{25}{2}}{2}=\dfrac{25}{4}$$
  L'aire du triangle $ABH$ est donc bien~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{ABH}=\dfrac{25}{4}}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{CO}\begin{pmatrix}0\\0\\-10\end{pmatrix}$ et donc~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{HB}=0\times \left(-\dfrac{5}{2}\right)+0\times \left(\dfrac{5}{2}\right)+(-10)\times 0=0$.
   \item $\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{HA}=0\times \left(\dfrac{5}{2}\right)+0\times \left(\dfrac{5}{2}\right)+(-10)\times 0=0$.
  \end{itemize}
La droite $(CO)$ est donc orthogonale au plan $(ABH)$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{$(CO)$ est la hauteur issue de $C$ dans le tétraèdre $ABCH$}}$$
  \item Le volume du tétraèdre $ABCH$ est donc~:
  \begin{align*}
   \mathscr{V}_{ABCH} & = \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABH}\times CO\\
                      & = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{4}\times 10\\
                      & = \dfrac{25\times 10}{3\times 4}\\
                      & = \dfrac{125}{6}
  \end{align*}
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{125}{6}}$$

 \end{enumerate}
 \item \label{ch12_ex3_q5} Soit $h$ la distance du point $H$ au plan $(ABC)$, il s'agit de la distance entre le point $H$ et le projeté orthogonal de $H$ sur le plan $(ABC)$, autrement dit de la hauteur issue de $H$ dans le tétraèdre $ABCH$. En prenant le triangle $ABC$ comme base, le volume du tétraèdre $ABCH$ est égal à~:
 $$\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABC}\times h$$
 où $\mathscr{A}_{ABC}$ désigne l'aire du triangle $ABC$.\\
 Or $BA=\sqrt{5^2+0^2+0^2}=5$ et $BC=\sqrt{0^2+5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$.\\
 Et comme le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, on a~:
 $$\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{BA\times BC}{2}=\dfrac{5\times 5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}$$
 Ainsi~:
 $$\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25\sqrt{5}}{2} \times h=\dfrac{25\sqrt{5}}{6}\times h$$
 Et d'autre part, d'après la question précédente $\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{125}{6}$ d'où~:
 $$\dfrac{25\sqrt{5}}{6}\times h=\dfrac{125}{6}$$
 Et donc~:
 $$h=\dfrac{125}{6}\times \dfrac{6}{25\sqrt{5}}$$
Finalement, la distance du point $H$ au plan $(ABC)$ est~:
$$\boxed{h=\sqrt{5}}$$
 \end{enumerate}





\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch12_ex3_q2a}, au lieu de déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(CAD)$, on pouvait simplement vérifier qu'il s'agissait du point $H$. Il suffit alors de montrer que~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item Le point $H$ appartient au plan $(ABC)$.
  \item La droite $(BH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
 \end{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch12_ex3_q5}, l'idée est d'exprimer de deux façons une même quantité (ici le volume du tétraèdre) afin d'en déduire une troisième quantité (ici une distance). Un tétraèdre ayant 4 faces, son volume peut s'exprimer de 4 façons différentes.
 \item Détaillons la simplification de l'expression de $h$ dans la question \ref{ch12_ex3_q5}~:
 \begin{align*}
  h & = \dfrac{125}{6}\times \dfrac{6}{25\sqrt{5}}\\
    & = \dfrac{5\times \bcancel{25}\times \bcancel{6}}{\bcancel{6}\times \bcancel{25}\times \sqrt{5}}\\
    & = \dfrac{5}{\sqrt{5}}\\
    & = \dfrac{\sqrt{5}\times \bcancel{\sqrt{5}}}{\bcancel{\sqrt{5}}}\\
    & = \sqrt{5}
 \end{align*}

\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Un calcul d'aire difficile}\label{7.4}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (6 points)]
\textbf{Partie A~: étude de la fonction $\bm{f}$.}\\
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par~: $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
\begin{enumerate}
 \item
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
 \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~: $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.
 \item Étudier le sens de variation de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
 \item Étudier la convexité de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
\end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $\left]0\,;\,+\infty\right[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,2]$.
  \item Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$.
  \item Montrer que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~: étude de la fonction $\bm{g}$.}\\
La fonction $g$ est définie sur $\left]0\,;\,1\right]$ par $g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln x$.\\
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,1\right]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $g'(x)$ pour $x\in \left]0\,;\,1\right]$ puis vérifier que $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
  \item On admet le tableau de signes suivant~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3.5, deltacl=0.6, espcl=3]%
{$x$ /1,
Signe de $f\left(\mfrac{1}{x}\right)$ /1.3}
{ $0$ , $\mfrac{1}{\alpha}$ , $1$}
\tkzTabLine { , + , z , - , }
\end{tikzpicture}
\end{center}

En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,1]$.\\
Les images et les limites ne sont pas demandées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C~: un calcul d'aire.}\\
On a représenté sur le graphique ci-dessous~:
\begin{itemize}
 \item La courbe $\mathscr{C}_g$ de la fonction $g$~;
 \item La parabole $\mathscr{P}$ d'équation $y=-\dfrac{7}{8}x^2+x$ sur l'intervalle $]0\,;\,1]$.
 \end{itemize}

 \begin{center}
  \psset{xunit=10.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.08,-0.1)(1.04,0.44)
\multips(0,0)(0,0.1){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.1,0)(1.04,0)}
\multips(0,0)(0.1,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.1)(0,0.44)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.04,0.44)
\pscustom[linewidth=0.8pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot{0.5791}{1.}{-7.0/8.0*x^(2.0)+x-1.0/4.0*x^(2.0)*ln(x)}\lineto(1.,0.125)\psplot{1.}{0.5791}{-7.0/8.0*x^(2.0)+x}\lineto(0.5791,0.3314624795738894)\closepath}
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{7.999999999847661E-7}{1}{-7.0/8.0*x^(2.0)+x-1.0/4.0*x^(2.0)*ln(x)}
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0}{1}{-7.0/8.0*x^(2.0)+x}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.5791,0.)(0.5791,0.3314624795738894)
\rput[tl](0.7,0.25){$\mathscr{P}$}
\rput[tl](0.7,0.36){$\mathscr{C}_g$}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1.,0.)(0.9999999999987618,0.12500000000123826)
\rput[tl](0.99,-0.01){$1$}
\rput[tl](0.56,-0.01){$\dfrac{1}{\alpha}$}
\begin{small}
\rput[tl](0.08,-0.02){$0,1$}
\rput[tl](-0.06,0.11){$0,1$}
\end{small}
\end{pspicture*}
 \end{center}

On souhaite calculer l'aire $\mathscr{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{P}$, et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.\\
On rappelle que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier la position relative des courbes $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{P}$ sur l'intervalle $]0\,;\,1]$.
  \item Démontrer l'égalité~:
  $$\int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$$
  \item En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathscr{A}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty} \quad \text{car} \quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to 0}(x-2)=-2\\\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{2}\ln(x)\right)=-\infty \end{dcases}$$
 Et~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty} \quad \text{car} \quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to +\infty}(x-2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\ln(x)\right)=+\infty \end{dcases}$$

 \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f'(x) & = 1+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\\
        & = 1+\dfrac{1}{2x}\\
        & = \dfrac{2x+1}{2x}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}}$$
 \item Sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a $2x+1>0$ et $2x>0$ donc $f'(x)>0$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$}}$$
 \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f''(x) & = \dfrac{2\times 2x-(2x+1)\times 2}{\left(2x\right)^2}\\
         & = \dfrac{4x-4x-2}{4x^2}\\
         & = \dfrac{-2}{4x^2}\\
         & = \dfrac{-1}{2x^2}
 \end{align*}
Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, $2x^2>0$ donc $f''(x)<0$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est concave sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$}}$$
\end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.\\
  De plus ${\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. Or $0\in\left]-\infty\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. De plus, on a $f(1)=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{1}{2}\ln(2)>0$ donc~:
  $$\boxed{1<\alpha<2}$$

  \item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et elle s'annule en $\alpha$. On en déduit le tableau de signes~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.2]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /0.7}
{ $0$ , $\alpha$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + , }
\end{tikzpicture}
\end{center}

  \item On sait que $f(\alpha)=0$. Or~:
  \begin{align*}
   f(\alpha)=0 & \Longleftrightarrow \alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=0\\
               & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=2-\alpha\\
               & \Longleftrightarrow \ln(\alpha)=2(2-\alpha)
  \end{align*}
On a donc bien~:
$$\boxed{\ln(\alpha)=2(2-\alpha)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip
\newpage
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,1\right]$ et, pour tout $x\in \left]0\,;\,1\right]$, on a~:
 \begin{align*}
  g'(x) & = -\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x^2\times\dfrac{1}{x}\right)\\
        & = -\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x)-\dfrac{1}{4}x\\
        & = -2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x)
 \end{align*}
Et d'autre part, pour tout $x\in \left]0\,;\,1\right]$~:
\begin{align*}
 xf\left(\dfrac{1}{x}\right) & = x\left(\dfrac{1}{x}-2+\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)\\
    & = 1-2x+\dfrac{1}{2}x\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\\
    & = -2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x) \qquad \textsl{(car $\ln\left(\mfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)$)}
\end{align*}
On a donc bien~:
$$\boxed{g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Si $x\in\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right[$ alors $\dfrac{1}{x}\in\left]\alpha\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après le tableau de signes de $f$~:
  $$\boxed{f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0}$$

  \item On a vu que pour tout $x\in \left]0\,;\,1\right]$, $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$. On en déduit le tableau~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=3.5, deltacl=0.6, espcl=3]%
{$x$ /1,
$x$ /1,
$f\left(\mfrac{1}{x}\right)$ /1,
$g'(x)$ /1,
$g(x)$ /1.8}
{ $0$ , $\mfrac{1}{\alpha}$ , $1$}
\tkzTabLine { , + , t , + , }
\tkzTabLine { d , + , z , - , }
\tkzTabLine { d , + , z , - , }
\tkzTabVar {D-/ , +/ , -/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip
\newpage
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x\in \left]0\,;\,1\right]$, on a~:
   $$g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)=-\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)$$
   Or, pour tout $x\in \left]0\,;\,1\right]$, $\ln(x)\leqslant 0$ donc~:
   $$g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)\geqslant 0$$
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{$\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $\mathscr{P}$ sur $\left]0\,;\,1\right]$}}$$

  \item On pose~:
  $$\begin{dcases}u(x)=\ln(x)\\v'(x)=x^2\end{dcases} \quad \text{et} \quad \begin{dcases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=\dfrac{1}{3}x^3\end{dcases}$$
  On a alors, par intégration par parties~:
  \begin{align*}
   \int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1x^2\ln x\,\mathrm{d}x & = \left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1-\int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1 \dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{3}x^3 \,\mathrm{d}x\\
   & = \left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1-\int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1 \dfrac{1}{3}x^2 \,\mathrm{d}x\\
    & = \dfrac{1}{3}\times 1^3\times\underbrace{\ln(1)}_{0}-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{\alpha}\right)^3\underbrace{\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)}_{-\ln(\alpha)}-\left[\dfrac{1}{9}x^3\right]_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1\\
    & = \dfrac{\ln(\alpha)}{3\alpha^3}-\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}\times \dfrac{1}{\alpha^3}\right)\\
    & = \dfrac{2(2-\alpha)}{3\alpha^3}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9\alpha^3} \qquad \textsl{(car $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$)}\\
    & = \dfrac{12-6\alpha-\alpha^3+1}{9\alpha^3}\\
    & = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}
  \end{align*}
On a donc bien~:
  $$\boxed{\int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}}$$
  \item Sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$, $\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $\mathscr{P}$ donc~:
  \begin{align*}
   \mathscr{A} & = \int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1 g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)\,\mathrm{d}x\\
    & = \int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1 -\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x\\
    & = -\dfrac{1}{4}\int_{\text{\large$\frac{1}{\alpha}$}}^1 x^2\ln(x)\,\mathrm{d}x\\
    & = -\dfrac{1}{4}\times \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Le fait que $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty$ s'interprète graphiquement en disant que la courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) pour asymptote verticale.
 \item Lorsque l'on effectue une intégration par parties, on a tendance à dériver la fonction qui devient plus simple après dérivation et à \og primitiver \fg{} celle qui ne se complique pas trop après \og primitivation \fg{}. Cependant, pour intégrer par parties une expression de la forme $x^n\ln(x)$, il est intéressant de \og primitiver \fg{} la fonction $x\mapsto x^n$ (même si cela semble compliquer les choses) et de dériver la fonction $\ln$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


