\chapter{Asie - 11 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Une fonction auxiliaire et une suite récurrente}\label{6.1}

\begin{tcolorbox}[height fill,title=Énoncé]
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x)=x^2-x\ln(x)$.\\
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

\medskip

\textbf{Partie A~: Étude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
 \item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
 \item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif~:
 $$f''(x)=\dfrac{2x-1}{x}$$
 \item Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.\\
 On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.\\
 Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
 \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~: Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de ${\bm{f(x)=x}}$}\\
On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $g(x)=x-\ln(x)$.\\
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $g'$ sa dérivée.
\begin{enumerate}
 \item Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
 \item On admet que $1$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=1$.\\
 Résoudre, sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, l'équation $f(x)=x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C~: Étude d'une suite récurrente}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1}=f(u_n)=u_n^2-u_n\ln(u_n).$$
\begin{enumerate}
 \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$~: $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
 \item Justifier que la suite $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}
On appelle $l$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $l$ vérifie l'égalité $f(l)=l$.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Déterminer la valeur de $l$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Limite en $\bm{0}$~:}\\
  On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0} \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0}x^2=0\\\lim\limits_{x\to 0}x\ln(x)=0 \quad \textsl{(par croissances comparées)}\end{cases}$$
  \item \textbf{Limite en $\bm{+\infty}$~:}\\
  Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 $$f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$$
 Et donc~:
 $$\hspace{-0.9cm}\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty} \quad \text{car} \quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\\\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0 \quad \textsl{(par croissances comparées)}\end{dcases}$$
 \end{itemize}

 \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
f'(x) & = 2x-\left(1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)\\
      & = 2x-\left(\ln(x)+1\right)\\
      & = 2x-\ln(x)-1
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=2x-\ln(x)-1}$$

 \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
  f''(x) & = 2-\dfrac{1}{x}\\
         & = \dfrac{2x-1}{x}
 \end{align*}
Soit~:
 $$\boxed{f''(x)=\dfrac{2x-1}{x}}$$
 \item Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, $x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x-1$. On en déduit le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.8,
$f''(x)$ /0.8,
$f'(x)$ /2}
{ $0$  , $\mfrac{1}{2}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {D+/ , -/$\ln(2)$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le minimum est atteint en $\dfrac{1}{2}$ et~:
$$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\times \dfrac{1}{2}-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)-1=1+\ln(2)-1=\ln(2)$$

 \item D'après son tableau de variations, la fonction $f'$ atteint son minimum en $\dfrac{1}{2}$ et ce minimum vaut $\ln(2)$. Or $\ln(2)\approx 0,69>0$ donc $f'(x)>0$ pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$. On en déduit que~:

$$\boxed{\text{La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
g'(x) & = 1-\dfrac{1}{x}\\
      & = \dfrac{x-1}{x}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{g'(x)=\dfrac{x-1}{x}}$$

Or, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x-1$. Et comme $g(1)=1-\ln(1)=1$, on a le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=3]%
{$x$ /0.8,
$g'(x)$ /0.8,
$g(x)$ /2}
{ $0$  , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + ,  }
\tkzTabVar {D+/ , -/$1$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item \label{ch19_ex1_qB2} Pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow x^2-x\ln(x)=x\\
         & \Longleftrightarrow x^2-x\ln(x)-x=0\\
         & \Longleftrightarrow x\left(x-\ln(x)-1)\right)=0\\
         & \Longleftrightarrow x-\ln(x)-1=0 \quad \textsl{(car $x\neq 0$)}\\
         & \Longleftrightarrow x-\ln(x)=1\\
         & \Longleftrightarrow g(x)=1
 \end{align*}
Or l'équation $g(x)=1$ admet $1$ pour unique solution donc l'équation $f(x)=x$ admet pour ensemble solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
$$\boxed{\mathscr{S}=\left\lbrace 1 \right\rbrace}$$

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\
  Pour $n=0$, on a $u_0=\dfrac{1}{2}$ et~:
  $$u_1=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\ln(2)\approx 0,6$$
  On a donc bien $\dfrac{1}{2}\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1$ et la propriété est vraie au rang $n=0$.
  \item \textbf{Hérédité~:}\\
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~:
  $$\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$$
  On a alors, en appliquant la fonction $f$ qui est croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}\,;\,1\right]$~:
  $$f\left(\dfrac{1}{2}\right)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(1)$$
  Soit~:
  $$f\left(\dfrac{1}{2}\right)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$$
  Et comme $f\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx 0,6\geqslant \dfrac{1}{2}$, on a, a fortiori~:
  $$\dfrac{1}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
  \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  $$\boxed{\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1}$$
 \end{itemize}


 \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~:
 \begin{itemize}
  \item croissante (car $u_n\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
  \item majorée par $1$ (car $u_n\leqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
 \end{itemize}
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge}}$$

 \item \label{ch19_ex1_qC3} On a vu, dans la question \ref{ch19_ex1_qB2} de la partie B, que l'équation $f(x)=x$ admettait $1$ pour unique solution sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Or $l$ est solution de cette équation donc~:
 $$\boxed{l=1}$$
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch19_ex1_qB2} de la partie B, on admet que l'équation $g(x)=1$ admet $1$ pour unique solution. On aurait tout de même pu le justifier à l'aide des variations de la fonction $g$. En effet, $g$ est strictement décroissante sur $\left]0\,;\,1\right]$, strictement croissante sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et admet $1$ pour minimum en $1$. Elle est donc strictement supérieure à $1$ pour tout $x\neq 1$.
 \item Dans la question \ref{ch19_ex1_qC3} de la partie C, on admet que la limite $l$ vérifie $f(l)=l$. Ce résultat est en fait un résultat du cours à connaître. On dit que $l$ est un point fixe pour la fonction $f$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Probabilité de gagner à un jeu vidéo}\label{6.2}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textit{Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.\\
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70\% des cas. Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.\\
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.}

\medskip

On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les événements suivants~:
\begin{itemize}
 \item $G_n$~: \og Léa gagne la $n$-ième partie de la journée \fg{}~;
 \item $D_n$~: \og Léa perd la $n$-ième partie de la journée \fg{}.
\end{itemize}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'événement $G_n$. On a donc $g_1=0,5$.

\begin{enumerate}
 \item Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $P_{G_1}(D_2)$~?
 \item Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{\footnotesize$\dots$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{\footnotesize$\dots$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_1$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{\footnotesize$\dots$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }
}
}
\end{center}
\item Calculer $g_2$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
 \item Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième parties de la journée.

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{\footnotesize$g_n$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{\footnotesize$\dots$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_n$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{\footnotesize$\dots$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\tbput{\footnotesize$\dots$ }
}
}
\end{center}

 \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1}=0,5g_n+0,2$.
\end{enumerate}
 \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n=g_n-0,4$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul~: $g_n=0,1\times 0,5^{n-1}+0,4$.
 \end{enumerate}
 \item Étudier les variations de la suite $(g_n)$.
 \item Donner, en justifiant, la limite de la suite $(g_n)$.\\
 Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
 \item Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n-0,4\leqslant 0,001$.
 \item Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $(g_n)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4+e$ où $e$ est un nombre réel strictement positif.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil(e):
    g=0.5
    n=1
    while ...:
        g=0.5*g+0.2
        n=...
    return (n)
\end{pyverbatim}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item Il s'agit de la probabilité que Léa perde la deuxième partie sachant qu'elle a gagné la première. Or lorsqu'elle gagne une partie, elle gagne la suivante dans 70~\% des cas donc elle la perd dans 30~\% des cas. On a donc~:
 $$\boxed{P_{G_1}(D_2)=0,3}$$

 \item On complète l'arbre de la façon suivante~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{\footnotesize$0,5$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{\footnotesize$0,7$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\tbput{\footnotesize$0,3$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_1$}\tbput{\footnotesize$0,5$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{\footnotesize$0,2$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_2$}\tbput{\footnotesize$0,8$ }
}
}
\end{center}
\item Il s'agit de calculer $P(G_2)$. Les événements $G_1$ et $D_1$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
\begin{align*}
 P(G_2) & = P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(D_1)\times P_{D_1}(G_2)\\
        & = 0,5\times 0,7+0,5\times 0,2\\
        & = 0,45
\end{align*}
Soit~:
$$\boxed{g_2=0,45}$$

\item
\begin{enumerate}
 \item On complète l'arbre de la façon suivante~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{\footnotesize$g_n$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{\footnotesize$0,7$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\tbput{\footnotesize$0,3$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D_n$}\tbput{\footnotesize$1-g_n$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{\footnotesize$0,2$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$D_{n+1}$}\tbput{\footnotesize$0,8$ }
}
}
\end{center}

 \item Les événements $G_n$ et $D_n$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(G_{n+1}) & = P(G_n)\times P_{G_n}(G_{n+1})+P(D_n)\times P_{D_n}(G_{n+1})\\
             & = g_n\times 0,7+(1-g_n)\times 0,2\\
             & = 0,7g_n+0,2-0,2g_n\\
             & = 0,5g_n+0,2
 \end{align*}
Soit, pour tout entier naturel $n$ non nul~:
$$\boxed{g_{n+1}=0,5g_n+0,2}$$
\end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch19_ex2_q5a} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a~:
  \begin{align*}
   v_{n+1} & = g_{n+1}-0,4\\
           & = 0,5g_n+0,2-0,4\\
           & = 0,5g_n-0,2\\
           & = 0,5\left(g_n-0,4\right)\\
           & = 0,5v_n
  \end{align*}
Et comme $v_1=g_1-0,4=0,5-0,4=0,1$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,5$ et de $1^{\text{er}}$ terme $v_1=0,1$}}$$
  \item D'après la question précédente, on a pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $v_n=v_1\times 0,5^{n-1}$, soit~:
  $$v_n=0,1\times 0,5^{n-1}$$
  Et comme $v_n=g_n-0,4$, on a $g_n=v_n+0,4$, soit pour tout $n\in\mathbb{N}^*$~:
$$\boxed{g_n=0,1\times 0,5^{n-1}+0,4}$$
 \end{enumerate}
 \item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a~:
 \begin{align*}
  g_{n+1}-g_n & = 0,1\times 0,5^{n}+0,4-(0,1\times 0,5^{n-1}+0,4)\\
              & = 0,1\times 0,5^{n}+0,4-0,1\times 0,5^{n-1}-0,4\\
              & = 0,1\times 0,5^{n}-0,1\times 0,5^{n-1}\\
              & = 0,1\times 0,5^{n-1}(0,5-1)\\
              & = 0,1\times 0,5^{n-1}\times (-0,5)\\
              & = -0,1\times 0,5^n
 \end{align*}
On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $g_{n+1}-g_n<0$ et donc que~:
$$\boxed{\text{La suite $(g_n)$ est strictement décroissante}}$$

 \item On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(0,5^{n-1}\right)=0$ car $-1<0,5<1$ donc~:
 $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}g_n=0,4}$$
 Cela signifie qu'à long terme, la probabilité que Léa gagne une partie sera proche de $0,4$. Ou encore que Léa gagnera environ 40~\% des parties.

 \item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a~:
 \begin{align*}
  g_n-0,4\leqslant 0,001 & \Longleftrightarrow 0,1\times 0,5^{n-1}+0,4-0,4\leqslant 0,001\\
                         & \Longleftrightarrow 0,1\times 0,5^{n-1}\leqslant 0,001\\
                         & \Longleftrightarrow 0,5^{n-1}\leqslant 0,01\\
                         & \Longleftrightarrow \ln\left(0,5^{n-1}\right)\leqslant \ln(0,01)\\
                         & \Longleftrightarrow (n-1)\ln(0,5)\leqslant \ln(0,01)\\
                         & \Longleftrightarrow n-1\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \quad \textsl{(car $\ln(0,5)<0$)}
 \end{align*}
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)}\approx 6,6$ donc $n-1\geqslant 7$. On en déduit que le plus petit entier $n$ tel que $g_n-0,4\leqslant 0,001$ est~:
$$\boxed{n=8}$$
 \item On peut compléter l'algorithme de la façon suivante~:

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil(e):
    g = 0.5
    n = 1
    while g > 0.4 + e :
        g = 0.5*g + 0.2
        n = n+1
    return (n)
\end{pyverbatim}

\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch19_ex2_q5a}, plutôt que de factoriser par $0,5$, on peut utiliser le fait que ${g_n=v_n+0,4}$ et présenter de la façon suivante~:
 \begin{align*}
   v_{n+1} & = g_{n+1}-0,4\\
           & = 0,5g_n+0,2-0,4\\
           & = 0,5g_n-0,2\\
           & = 0,5(v_n+0,4)-0,2\\
           & = 0,5v_n+0,2-0,2\\
           & = 0,5v_n
  \end{align*}
  Et on retrouve bien que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,5$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Vrai-faux en vrac}\label{6.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\begin{enumerate}
 \item Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante~: pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}<u_n\leqslant \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$.\\
 \underline{Affirmation 1~:} $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{1}{2}$.

 \item Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-4\,;\,4]$.\\
 La représentation graphique $\mathscr{C}_{h'}$ de la fonction de sa fonction dérivée $h'$ est donnée ci-dessous.

 \begin{center}
  \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.35cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-6.4)(4.2,10.4)
\multips(0,-6)(0,2.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(4.,0)}
\multips(-4,0)(0.5,0){17}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.)(0,10.)}
\psaxes[showorigin=false, comma=true,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-4.,-6.)(4.,10.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{(x+4.0)*(x+3.2)*(x+1.0)*(x-3.0)*(3.0-x)*(x-3.85)/70.0}
\rput[tl](-3.4,2.1){$\mathscr{C}_{h'}$}
\end{pspicture*}
 \end{center}

 \underline{Affirmation 2~:} La fonction $h$ est convexe sur $[-1\,;\,3]$.

 \item Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple~: 1232BA).\\
 \underline{Affirmation 3~:} Il existe \np{20634} codes qui contiennent au moins un $0$.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x)=x\ln(x)$.\\
\underline{Affirmation 4~:} La fonction $f$ est solution sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ de l'équation différentielle
$$xy'-y=x$$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \label{ch19_ex3_q1} \textbf{Affirmation 1~: Vrai}\\
 On a~:
 $$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3n^2}{6n^2}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$
 Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{1}{2}$.

 \item \label{ch19_ex3_q2} \textbf{Affirmation 2~: Faux}\\
 On peut remarquer que, sur l'intervalle $[-1\,;\,3]$, la fonction dérivée $h'$ est croissante puis décroissante. On en déduit que la fonction $h$ est convexe puis concave.


 \item \label{ch19_ex3_q3} \textbf{Affirmation 3~: Vrai}
 \begin{itemize}
  \item Calculons d'abord le nombre total de codes possibles. Le nombre de possibilités pour le choix des 4 chiffres est égal au nombre de $4$-uplets dans un ensemble à $10$ éléments (les 10 chiffres compris entre $0$ et $9$). Il y en a donc $10^4=\np{10000}$. Le nombre de possibilités pour le choix des 2 lettres est égal au nombre de $2$-uplets d'éléments distincts dans un ensemble à $3$ éléments (les 3 lettres A, B et C). Il y en a donc $3\times 2=6$. Le nombre de codes possibles est donc $\np{10000}\times 6=\np{60000}$. \item Déterminons maintenant le nombre de codes ne contenant aucun $0$. Le nombre de possibilités pour le choix des 4 chiffres est égal au nombre de $4$-uplets dans un ensemble à $9$ éléments (les 9 chiffres compris entre $1$ et $9$). Il y en a donc $9^4=\np{6561}$ Le nombre de possibilités pour le choix des 2 lettres est égal au nombre de $2$-uplets d'éléments distincts dans un ensemble à $3$ éléments (les 3 lettres A, B et C). Il y en a donc $3\times 2=6$. Le nombre de codes possibles ne contenant aucun $0$ est donc $\np{6561}\times 6=\np{39366}$.
 \item Finalement, le nombre de codes contenant au moins un $0$ est égal à $\np{60000}-\np{39366}=\np{20634}$.
 \end{itemize}

\item \label{ch19_ex3_q4} \textbf{Affirmation 4~: Vrai}\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
$$f'(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1$$
On a alors, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
\begin{align*}
 x\times f'(x)-f(x) & = x\left(\ln(x)+1\right)-x\ln(x)\\
                    & = x\ln(x)+x-x\ln(x)\\
                    & = x
\end{align*}
Donc la fonction $f$ est bien solution sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ de l'équation différentielle $xy'-y=x$.
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch19_ex3_q1}, j'ai utilisé le fait que la limite d'un quotient de suites polynomiales est égale au quotient des limites des termes de plus haut degré. On aurait également pu factoriser, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$~:
 $$\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{n^2\left(3+\mfrac{4}{n}+\mfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(6+\mfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{3+\mfrac{4}{n}+\mfrac{7}{n^2}}{6+\mfrac{1}{n^2}}$$
 On a alors $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}\right)=3$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(6+\dfrac{1}{n^2}\right)=6$.\\
 On en déduit $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ par quotient.
 \item Dans la question \ref{ch19_ex3_q2}, c'est la courbe de la fonction dérivée qui est donnée. Or ce sont les variations de la dérivée qui permettent de déterminer la convexité de la fonction de départ. Si l'on nous avait donné la courbe de la fonction dérivée seconde alors c'est son signe qu'il aurait fallu étudier afin de déterminer la convexité de la fonction de départ.
 \item Dans la question \ref{ch19_ex3_q3}, lorsque dans la question figure le terme \og au moins un \fg{}, comme en probabilités, il est souvent plus simple de s'intéresser au complémentaire, c'est-à-dire à \og aucun \fg{}.
 \item Dans la question \ref{ch19_ex3_q4}, on ne sait pas résoudre l'équation différentielle donnée (car le coefficient devant $y'$ dépend de $x$). Mais cela n'est pas grave car il s'agit ici uniquement de vérifier qu'une fonction est solution.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aire du projeté d'un triangle}\label{6.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Dans un repère orthonormé $(0\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation~:
$$(P)~:~2x+2y-3z+1=0$$
On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées~:
$$A(1\,;\,0\,;\,1)\,,\,B(2\,;\,-1\,;\,1)\;\text{et}\;C(-4\,;\,-6\,;\,5)$$
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item Pour chacun des points $A$, $B$ et $C$, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.
 \item Montrer que le point $C'(0\,;\,-2\,;\,-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.
 \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
 \begin{multicols}{2}
 \item On admet l'existence d'un unique point $H$ vérifiant les deux conditions\\
 $\begin{cases}H\in(AB)\\\text{$(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales} \end{cases}$\\
 Déterminer les coordonnées du point $H$.
 \columnbreak

 \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\hspace{-0.5cm}\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(16.,9.)
\psline[linewidth=1.pt](5.,7.)(3.,1.)
\psline[linewidth=1.pt](3.,1.)(9.,5.)
\psline[linewidth=1.pt](9.,5.)(5.,7.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](5.,7.)(5.,5.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](5.,5.)(3.,1.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](5.,5.)(9.,5.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(4.,8.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(11.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](11.,0.)(15.,8.)
\psline[linewidth=1.pt](15.,8.)(4.,8.)
\rput[tl](10.0,1.0){$P$}
\begin{small}
\psdots[dotstyle=+](3.,1.)
\rput[bl](2.2,0.4){$A$}
\psdots[dotstyle=+](9.,5.)
\rput[bl](9.1,5.2){$B$}
\psdots[dotstyle=+](5.,7.)
\rput[bl](5.1,7.2){$C$}
\psdots[dotstyle=+](5.,5.)
\rput[bl](5.1,4.1){$C'$}
\end{small}
\end{pspicture*}

\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
On admet que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{HC}$ sont~: $\overrightarrow{HC}\begin{pmatrix}-\mfrac{11}{2}\\[1.5ex]-\mfrac{11}{2}\\[1.5ex]4 \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la valeur exacte de $\|\overrightarrow{HC}\|$.
 \item Soit $S$ l'aire du triangle $ABC$. Déterminer la valeur exacte de $S$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}\\
On admet que $HC'=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $\alpha=\widehat{CHC'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les droites $(C'H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
  \item Calculer $S'$ l'aire du triangle $ABC'$, on donnera la valeur exacte.
  \item Donner une relation entre $S$, $S'$ et $\cos(\alpha)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 \begin{itemize}
  \item $2\times 1+2\times 0-3\times 1+1=2-3+1=0$ donc~:
  $$\boxed{\text{Le point $A$ appartient au plan $(P)$}}$$
  \item $2\times 2+2\times (-1)-3\times 1+1=4-2-3+1=0$ donc~:
  $$\boxed{\text{Le point $B$ appartient au plan $(P)$}}$$
  \item $2\times (-4)+2\times (-6)-3\times 5+1=-8-12-15+1=-34\neq 0$ donc~:
  $$\boxed{\text{Le point $C$ n'appartient pas au plan $(P)$}}$$
 \end{itemize}

 \item \label{ch19_ex4_qA2} Il s'agit de montrer que le point $C'$ appartient au plan $(P)$ et que le vecteur $\overrightarrow{CC'}$ est orthogonal au plan $(P)$.
 \begin{itemize}
  \item On a $2\times 0+2\times (-2)-3\times (-1)+1=-2+3-1=0$ donc le point $C'$ appartient au plan $(P)$.
  \item On a $\overrightarrow{CC'}\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}$ et le plan $(P)$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$. On remarque que $\overrightarrow{CC'}=2\overrightarrow{n}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{CC'}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires. On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{CC'}$ est orthogonal au plan $(P)$.
 \end{itemize}
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le point $C'$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$}}$$
 \item La droite $(AB)$ passe par le point $A(1\,;\,0\,;\,1)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Elle admet donc pour représentation paramétrique~:
 $$\boxed{\begin{cases}x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$$

 \item \label{ch19_ex4_qA4} Le point $H$ appartient à la droite $(AB)$, il existe donc un réel $t$ tel que $H(1+t\,;\,-t\,;\,1)$. On a alors $\overrightarrow{HC}\begin{pmatrix}-5-t\\-6+t\\4 \end{pmatrix}$ et donc~:
 \begin{align*}
  \text{$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HC}$ sont orthogonaux} & \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0\\
    & \Longleftrightarrow 1\times (-5-t)+(-1)\times (-6+t)+0\times 4=0\\
    & \Longleftrightarrow -5-t+6-t=0\\
    & \Longleftrightarrow 2t=1\\
    & \Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{2}
 \end{align*}
Le point $H$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{1}{2}$, soit~:
$$\boxed{H\left(\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 \begin{align*}
  \|\overrightarrow{HC}\| & = \sqrt{\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+4^2}\\
            & = \sqrt{\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16}\\
            & = \sqrt{\dfrac{153}{2}}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{\|\overrightarrow{HC}\|=\sqrt{\dfrac{153}{2}}}$$

 \item On a $AB=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ et $[CH]$ est la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$. On a donc~:
 \begin{align*}
  S & = \dfrac{AB\times CH}{2}\\
    & = \dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\mfrac{153}{2}}}{2}\\
    & = \dfrac{\mfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{153}}{\sqrt{2}}}{2}\\
    & = \dfrac{\sqrt{153}}{2}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{S=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item Dans le triangle $CHC'$, rectangle en $C'$, on a~:
$$\cos\left(\widehat{CHC'}\right)  = \dfrac{HC'}{HC}
                                   = \dfrac{\sqrt{\mfrac{17}{2}}}{\sqrt{\mfrac{153}{2}}}
                                   = \dfrac{\sqrt{17}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{153}}
                                   = \sqrt{\dfrac{17}{153}}
                                   = \sqrt{\dfrac{1}{9}}
                                   = \dfrac{1}{3}$$
Soit~:
$$\boxed{\cos(\alpha)=\dfrac{1}{3}}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{C'H}\begin{pmatrix}\mfrac{3}{2}\\[1.5ex]\mfrac{3}{2}\\[1.5ex]2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ donc~:
  $$\overrightarrow{C'H}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\times 1+\dfrac{3}{2}\times (-1)+(-2)\times 0=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=0$$
  Les vecteurs $\overrightarrow{C'H}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont donc orthogonaux. On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{Les droites $(C'H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires}}$$
  \item Dans le triangle $ABC'$, $HC'$ est la hauteur issue de $C'$. On a donc~:
  $$S'=\dfrac{AB\times HC'}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\mfrac{17}{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$$
  Soit~:
  $$\boxed{S'=\dfrac{\sqrt{17}}{2}}$$
  \item \label{ch19_ex4_C2c} On peut remarquer que~:
  $$\boxed{S'=S\times \cos(\alpha)}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch19_ex4_qA2}, on aurait également pu déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $C$ orthogonalement au plan $(P)$ puis déterminer les coordonnées du point d'intersection de cette droite avec le plan $(P)$.
 \item Le point $H$, dont on a déterminé les coordonnées dans la question \ref{ch19_ex4_qA4} de la partie A, est en fait le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
 \item Dans la question \ref{ch19_ex4_C2c} de la partie C, on peut tout simplement remarquer, d'après nos calculs que $S'=\dfrac{1}{3}S$ et comme $\cos(\alpha)=\dfrac{1}{3}$, on a $S'=S\times \cos(\alpha)$. Mais, d'une manière générale, on a $\cos(\alpha)=\dfrac{HC'}{HC}$ donc $HC'=HC\times \cos(\alpha)$ et donc~:
 \begin{align*}
 S' & =\dfrac{AB\times HC'}{2}\\
    & =\dfrac{AB\times HC\times \cos(\alpha)}{2}\\
    & =\dfrac{AB\times HC}{2}\times \cos(\alpha)\\
    & = S\times \cos(\alpha)
 \end{align*}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


