\chapter{Asie - 10 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Association de courbes}\label{5.1}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textbf{Partie A}\\
On considère une fonction $f$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, représentée par la courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous. La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.7,-5.5)(6.2,5.5)
\multips(0,-5)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.5,0)(6.5,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-5.5)(0,5.5)}
\psaxes[comma=true,showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.5,-5.5)(6.5,5.5)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-0.5}{6.5}{(4.0*x-2.0)*EXP(-x+1.0)}
\psplot[linewidth=1.pt]{-0.5}{6.5}{(--4.0163428826717364-0.8925206405937193*x)/1.}
\rput[tl](0.8,4.0){$T$}
\rput[tl](0.3,-2.2){$\mathscr{C}$}
\psdots[dotstyle=+,dotsize=5pt](2.5,1.7850412811874385)
\rput[bl](2.5,2.0){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$.
 \item Que semble présenter la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$~?
 \item La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.\\
 Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Ce choix sera justifié.

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.155cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-26.5)(5.5,1.)
\multips(0,-26)(0,2.0){14}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.5,0)(5.5,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-26.5)(0,1.)}
\psaxes[comma=true,showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.4,-26.5)(5.5,1.)
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=200]{-0.5}{5.5}{(4.0*x-10.0)*EXP(-x+1.0)}
\rput[tl](0.3,-6){$\mathscr{C}_1$}
\end{pspicture*}\\
Courbe $\mathscr{C}_1$
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.88cm,yunit=0.23cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.5)(5.5,16.5)
\multips(0,-2)(0,2.0){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.3,0)(5.5,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.5)(0,16.5)}
\psaxes[comma=true,showorigin=false,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=2.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.3,-2.5)(5.5,16.5)
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=200]{-0.3}{5.5}{(6.0-4.0*x)*2.718281828459045^(-x+1.0)}
\rput[tl](0.5,8.1){$\mathscr{C}_2$}
\end{pspicture*}\\
Courbe $\mathscr{C}_2$
\end{center}
\end{multicols}

 \begin{multicols}{2}
 \item La courbe $\mathscr{C}_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, d'une primitive de la fonction $f$~? Justifier.

 \begin{center}
  \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.4,-1)(5.5,7.3)
\multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.4,0)(5.5,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.6)(0,7.3)}
\psaxes[showorigin=false,comma=true,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.4,-0.6)(5.49,7.3)
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=200]{0}{5.5}{(4.0*x+2.0)*2.718281828459045^(-x+1.0)}
\rput[tl](1.1,6.6){$\mathscr{C}_3$}
\end{pspicture*}
 \end{center}


 \end{multicols}
 \end{enumerate}


\textbf{Partie B}\\
Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ est définie par $f(x)=(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}$.\\
On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
 \item Étude de la fonction $f$
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f'(x)=(-4x+6)\mathrm{e}^{-x+1}$.
  \item Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
 \end{enumerate}
 \item On considère une fonction $F$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
  \item On admet que $F(x)=(-4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale
  $$I=\int_{\text{\large$\frac{3}{2}$}}^8 f(x)\,\mathrm{d}x$$
 \end{enumerate}
% \begin{multicols}{2}
 \item Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.\\
 Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}\,;\,8\right]$.\\
 L'unité de longueur est le mètre.

 \begin{center}
  \psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.4,-0.3)(8.1,2.8)
\psaxes[comma=true,labelFontSize=\scriptscriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(1.4,-0.6)(8.1,3.)
\pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.5}{8.}{(4.0*x-2.0)*2.718281828459045^(-x+1.0)}\lineto(8.,0)\lineto(1.5,0)\closepath}
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=200]{1.4}{8.1}{(4.0*x-2.0)*2.718281828459045^(-x+1.0)}
\psdots[dotstyle=+](1.5,2.4261226388505337)
\rput[tl](1.5,2.7){$D$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
%\end{multicols}
 \begin{enumerate}
  \item Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $D$.
  \item La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75~\% de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de 150~mL permet de couvrir une surface de $0,8~\text{m}^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette \oe uvre.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}



\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item Le tableau de variations de $f$ semble être le suivant~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $0$  , $\pgfmathprintnumber{1.5}$ , $5$}
\tkzTabVar {-/ , +/ , -/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item Au point $A$, la courbe $\mathscr{C}$ semble traverser sa tangente. On peut donc conjecturer que~:
 $$\boxed{\text{La courbe $\mathscr{C}$ semble présenter un point d'inflexion en $A$}}$$

 \item La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,1,5]$ et décroissante sur $[1,5\,;\,+\infty[$, sa fonction dérivée est donc positive sur $[0\,;\,1,5]$ et négative sur $[1,5\,;\,+\infty[$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{$\mathscr{C}_2$ est la courbe représentative de $f'$}}$$

 La fonction $f$ est concave sur $[0\,;\,2,5]$ et convexe sur $[2,5\,;\,+\infty[$, sa fonction dérivée seconde est donc négative sur $[0\,;\,2,5]$ et positive sur $[2,5\,;\,+\infty[$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{$\mathscr{C}_1$ est la courbe représentative de $f''$}}$$

 \item La fonction $f$ est négative sur $[0\,;\,0,5]$ et positive sur $[0,5\,;\,+\infty[$ donc si $F$ est une primitive de $f$ alors $F$ est décroissante sur $[0\,;\,0,5]$ et croissante sur $[0,5\,;\,+\infty[$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{La courbe $\mathscr{C}_3$ ne peut pas être la courbe d'une primitive de $f$}}$$
 \end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est dérivable, comme produit de fonctions dérivables, sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~:
  \begin{align*}
   f'(x) & = 4\times \mathrm{e}^{-x+1}+(4x-2)\times (-\mathrm{e}^{-x+1})\\
         & = 4\mathrm{e}^{-x+1}-(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}\\
         & = (4-4x+2)\mathrm{e}^{-x+1}\\
         & = (-4x+6)\mathrm{e}^{-x+1}
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=(-4x+6)\mathrm{e}^{-x+1}}$$
  \item \label{ch18_ex1_qB1b} Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$, $\mathrm{e}^{-x+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-4x+6$. On a alors le tableau~:

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{ $0$  , $\pgfmathprintnumber{1.5}$ , $5$}
\tkzTabLine {  , + , z , - ,  }
\tkzTabVar {-/$-2\mathrm{e}$ , +/$\dfrac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}$ , -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

  \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~:
  \begin{align*}
   f''(x) & = -4\times \mathrm{e}^{-x+1}+(-4x+6)\times (-\mathrm{e}^{-x+1})\\
          & = (-4+4x-6)\mathrm{e}^{-x+1}\\
          & = (4x-10)\mathrm{e}^{-x+1}
  \end{align*}
Sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$, $\mathrm{e}^{-x+1}>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $(4x-10)$. On a alors le tableau~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $0$  , $\pgfmathprintnumber{2.5}$ , $+\infty$}
\tkzTabLine {  , - , z , +  }
\tkzTabLine {  , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le point d'abscisse $2,5$ est un point d'inflexion}}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $F$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty\right[$~:
  \begin{align*}
   F'(x) & = a\mathrm{e}^{-x+1}+(ax+b)\times(-\mathrm{e}^{-x+1})\\
         & = (a-ax-b)\mathrm{e}^{-x+1}\\
         & = (-ax+a-b)\mathrm{e}^{-x+1}
  \end{align*}
  On veut que $F'(x)=f(x)$, on a alors, par identification des coefficients~:
   $$\begin{cases}-a=4\\a-b=-2\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}a=-4\\-4-b=-2\end{cases}$$
   Soit~:
   $$\boxed{\begin{cases}a=-4\\b=-2\end{cases}}$$

  \item On a~:
  \begin{align*}
   I & = \int_{\text{\large$\frac{3}{2}$}}^8 f(x)\,\mathrm{d}x\\
     & = \Big[ F(x) \Big]_{\text{\large$\frac{3}{2}$}}^8\\
     & = \Big[ (-4x-2)\mathrm{e}^{-x+1} \Big]_{\text{\large$\frac{3}{2}$}}^8\\
     & = (-4\times 8-2)\mathrm{e}^{-8+1}-\left(-4\times \dfrac{3}{2}-2\right)\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}+1}\\
     & = -34\mathrm{e}^{-7}+8\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{I=-34\mathrm{e}^{-7}+8\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 4,82}$$
 \end{enumerate}
% \begin{multicols}{2}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}\approx 2,43$. La hauteur du point de départ $D$ est donc de~:
  $$\boxed{2,43~\text{mètres}}$$

  \item La surface, en $\text{m}^2$, du mur est donnée par l'intégrale calculée dans la question précédente, elle est donc d'environ $4,82~\text{m}^2$. Elle souhaite en couvrir 75~\%, soit $4,82\times 0,75\approx 3,62~\text{m}^2$. Une bombe aérosol couvre $0,8~\text{m}^2$ et $\dfrac{3,62}{0,8}\approx 4,5$. Il faudra donc~:
  $$\boxed{\text{5 bombes}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex1_qB1b} de la partie B, on demande le tableau de variations complet, il faut donc calculer les images. Détaillons leurs calculs~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item $f(0)=(4\times 0-2)\mathrm{e}^{1}=-2\mathrm{e}$
  \item $f(1,5)=(4\times 1,5-2)\mathrm{e}^{-1,5+1}=4\mathrm{e}^{-0,5}=\dfrac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}$
 \end{itemize}

\end{itemize}
\end{tcolorbox}



\newpage
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\section{Pyramide à base trapézoïdale}\label{5.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\begin{multicols}{2}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(0\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$ d'unité 1~cm, on considère les points $A(3\,;\,-1\,;\,1)$, $B(4\,;\,-1\,;\,0)$, $C(0\,;\,3\,;\,2)$, $D(4\,;\,3\,;\,-2)$ et $S(2\,;\,1\,;\,4)$.

\medskip

Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.

\begin{center}
 \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-0.3)(6.7,7.5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-0.3)(6.7,7.5)
\psline[linewidth=1.pt](1.,0.)(0.,2.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,2.)(4.,7.)
\psline[linewidth=1.pt](4.,7.)(6.,5.)
\psline[linewidth=1.pt](6.,5.)(1.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](4.,7.)(1.,0.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0.,2.)(2.,4.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](2.,4.)(4.,7.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](2.,4.)(6.,5.)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.,4.)
\rput[bl](1.9,3.6){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,2.)
\rput[bl](-0.3,2.1){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.,5.)
\rput[bl](6.1,5.1){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,0.)
\rput[bl](1.0,-0.3){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4.,7.)
\rput[bl](4.1,7.1){$S$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
  \item Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.\\
  \textit{On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.}
  \end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(2\,;\,1\,;\,2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
  \item On note $I$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)$, puis montrer que $SI=2~\text{cm}$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3\,;\,3\,;\,-1)$ et montrer que $HB=3\sqrt{2}~\text{cm}$.
  \item Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze $ABDC$.\\
  \textit{On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule}
  $$\mathscr{A}=\dfrac{b+B}{2}\times h$$
  \textit{où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.}
 \end{enumerate}
 \item Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.\\
 \textit{On rappelle que le volume $\mathscr{V}$ d'une pyramide est donné par la formule}
 $$\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \textit{aire de la base}\times \textit{hauteur}$$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\newpage
\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\4\\1 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires donc~:
 $$\boxed{\text{Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés}}$$
  \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch18_ex2_q2a} On a, de plus, $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}$. On peut alors remarquer que~:
  $$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$
  On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires et donc que~:
$$\boxed{\text{Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires}}$$
  \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$. On remarque que $\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{AB}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. On en déduit que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et donc que~:
  $$\boxed{\text{Le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$}}$$
 \end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
  \item On a~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times 1+1\times 0+2\times (-1)=2-2=0$
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times (-3)+1\times 4+2\times 1=-6+4+2=0$
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. On en déduit que~:
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$}}$$
  \item Le plan $(ABC)$ admet donc une équation cartésienne de la forme~:
  $$2x+y+2z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
  De plus, le point $A$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation, soit $2\times 3-1+2\times 1+d=0$. On a donc $7+d=0$ d'où $d=-7$. Le plan $(ABC)$ admet donc pour équation cartésienne~:
  $$\boxed{2x+y+2z-7=0}$$

  \item La droite $\Delta$ passe par le point $S(2\,;\,1\,;\,4)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix}$, elle admet donc pour représentation paramétrique~:
  $$\boxed{\begin{cases}x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\end{cases}}\quad t\in\mathbb{R}$$

  \item \label{ch18_ex2_q2f} On injecte les expression de la représentation paramétrique de $\Delta$ dans l'équation cartésienne du plan $(ABC)$~:
  \begin{align*}
   \hspace{-0.5cm}2(2+2t)+1+t+2(4+2t)-7=0 & \Longleftrightarrow 4+4t+1+t+8+4t-7=0\\
                             & \Longleftrightarrow 9t=-6\\
                             & \Longleftrightarrow t=-\dfrac{6}{9}\\
                             & \Longleftrightarrow t=-\dfrac{2}{3}
  \end{align*}
Le point $I$ est donc le point de paramètre $t=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$, c'est-à-dire le point de coordonnées~:
$$\left(2+2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\,;\,1+\left(-\dfrac{2}{3}\right)\,;\,4+2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\right)$$
Soit~:
$$\boxed{I\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)}$$

On a alors~:
\begin{align*}
 SI & = \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-2\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-4\right)^2}\\
    & = \sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2}\\
    & = \sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}}\\
    & = \sqrt{\dfrac{36}{9}}\\
    & = \sqrt{4}\\
    & = 2
\end{align*}
Soit~:
$$\boxed{SI=2}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La droite $(CD)$ passe par le point $C(0\,;\,3\,;\,2)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Elle admet donc pour représentation paramétrique~:
  $$\boxed{\begin{cases}x=4t'\\y=3\\z=2-4t'\end{cases}}\quad t\in\mathbb{R}$$
  On peut alors remarquer que le point $H$ appartient à la droite $(CD)$ car c'est le point de paramètre $t'=\dfrac{3}{4}$. De plus, on a $\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}1\\-4\\1 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{CD}=1\times 4+(-4)\times 0+1\times(-4)=0$. La droite $(HB)$ est donc orthogonale à la droite $(CD)$. On a donc montré que~:
  $$\boxed{\text{$H(3\,;\,3\,;\,-1)$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(CD)$}}$$

  On a alors~:
\begin{align*}
 HB & = \sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(-1-3\right)^2+\left(0-(-1)\right)^2}\\
    & = \sqrt{1^1+(-4)^2+1^2}\\
    & = \sqrt{1+16+1}\\
    & = \sqrt{18}\\
    & = \sqrt{9\times 2}\\
    & = 3\sqrt{2}
\end{align*}
Soit~:
$$\boxed{HB=3\sqrt{2}}$$

  \item On a $AB=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ et $CD=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. L'aire du trapèze $ABDC$ est alors~:
  \begin{align*}
  \mathscr{A}_{ABDC} & = \dfrac{AB + CD}{2}\times HB\\
                     & = \dfrac{\sqrt{2}+ 4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}\\
                     & = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}\\
                     & = \dfrac{5\times 2\times 3}{2}\\
                     & = 15
  \end{align*}
  Soit~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{ABDC}=15}$$

 \end{enumerate}
 \item Pour calculer le volume $\mathscr{V}_{SABDC}$ de la pyramide $SABDC$, on utilise la base $ABCD$ et la hauteur correspondante $SI$. On a alors~:
 \begin{align*}
  \mathscr{V}_{SABDC} & = \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ABDC}\times SI\\
      & = \dfrac{1}{3}\times 15\times 2\\
      & = 10
  \end{align*}
 Soit~:
 $$\boxed{\mathscr{V}_{SABDC}=10}$$
\end{enumerate}

\newpage

\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex2_q2a}, pour montrer que les vecteurs sont coplanaires, j'ai trouvé une relation \og à vue d'\oe il \fg{} en remarquant qu'une des coordonnées était nulle donc il n'y avait pas trop le choix. On aurait également pu considérer deux réels $\alpha$ et $\beta$ et résoudre un système~:
 \begin{align*}
  \alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD} & \Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha-3\beta=1\\4\beta=4\\-\alpha+\beta=-3\end{cases}\\
    & \Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha-3=1\\\beta=1\\-\alpha+1=-3\end{cases}\\
    & \Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha=4\\\beta=1\\\alpha=4\end{cases}\\
 \end{align*}
 Les valeurs $\alpha=4$ et $\beta=3$ conviennent, d'où la relation.
 \item Dans la question \ref{ch18_ex2_q2f}, on aurait pu simplement vérifier que les coordonnées du point $I$ vérifiaient à la fois l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ et la représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sensibilité et spécificité d'un test}\label{5.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Dans la revue \underline{Lancet Public Health}, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, $5,7$~\% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID~19.\\
{\small\textit{Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext}}

\medskip

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.\\
 On note $I$ l'événement~: \og l'adulte a déjà été infecté par la COVID~19 \fg{}\\
 Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19~?
 \item On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.\\
 On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
  \item Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
  \item Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon~?\\
  On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
  \item Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon~?\\
  On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
  \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)>0,9$.\\
  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
Un test a été mis en place~: celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID~19.\\
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID~19.\\
Deux paramètres permettent de caractériser ce test~: sa sensibilité et sa spécificité.

\medskip

\textbf{La sensibilité} d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (Il s'agit donc d'un vrai positif).

\medskip

\textbf{La spécificité} d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (Il s'agit donc d'un vrai négatif).

\medskip

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes~:
\begin{itemize}
 \item Sa sensibilité est de $0,8$.
 \item Sa spécificité est de $0,99$.
\end{itemize}
On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.\\
On note $T$ l'événement \og le test réalisé est positif \fg{}.

\begin{enumerate}
 \item Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé~:

  \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\footnotesize }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{\footnotesize }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize }
}
}
\end{center}
\item Montrer que $P(T)=0,05503$.
\item Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif~?\\
On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}\\
On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$.\\
Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de $29,44$~\%.\\
On choisit au hasard un individu de ce groupe~; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté~?
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item D'après l'énoncé, la probabilité que l'individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 est~:
 $$\boxed{P(I)=0,057}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On répète 100 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $0,057$. La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès donc~:
  $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,057$}}$$

  \item $X$ suivant une loi binomiale, son espérance est $E(X)=n\times p=100\times 0,057$, soit~:
  $$\boxed{E(X)=5,7}$$
  Cela signifie que le nombre moyen de personnes ayant déjà été infectées sur un échantillon de 100 personnes et de $5,7$.

  \item \label{ch18_ex3_qA2c} Il s'agit de calculer $P(X=0)$. Or $P(X=0)=(1-0,057)^{100}=0,943^{100}\approx 0,0028$. La probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon est donc~:
  $$\boxed{P(X=0)\approx 0,0028}$$

  \item \label{ch18_ex3_qA2d} Il s'agit de calculer $P(X\geqslant 2)$. On obtient, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon est~:
  $$\boxed{P(X\geqslant 2)\approx 0,9801}$$

  \item On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
  \begin{itemize}
   \item $P(X\leqslant 8)\approx 0,88<0,9$
   \item $P(X\leqslant 9)\approx 0,94>0,9$
  \end{itemize}
Le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)>0,9$ est donc~:
$$\boxed{n=9}$$
  Cela signifie que l'on est sûr à plus de 90~\% qu'il y a moins de 9 personnes infectées dans l'échantillon de 100 personnes.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item On complète l'arbre de la façon suivante~:


  \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\footnotesize$0,057$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize$0,8$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize$0,2$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{\footnotesize$0,943$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize$0,01$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize$0,99$ }
}
}
\end{center}
\item Les événements $I$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers. On a alors, d'après la formule des probabilités totales~:
\begin{align*}
 P(T) & = P(I)\times P_I(T)+P(\overline{I})\times P_{\overline{I}}(T)\\
      & = 0,057\times 0,8+0,943\times 0,01\\
      & = 0,05503
\end{align*}
On a donc bien~:
$$\boxed{P(T)=0,05503}$$
\item Il s'agit de calculer $P_T(I)$~:
\begin{align*}
 P_T(I) & = \dfrac{P(I\cap T)}{P(T)}\\
        & = \dfrac{0,057\times 0,8}{0,05503}\\
        & \approx 0,8286
\end{align*}
La probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif est donc~:
$$\boxed{P_T(I)\approx 0,8286}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}\\
En prenant les mêmes notations que dans la partie B, on a maintenant $P(T)=0,2944$.\\
Soit $x=P(I)$ la probabilité cherchée. On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\footnotesize$x$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize$0,8$ }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize$0,2$ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{\footnotesize$1-x$ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize$0,01$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize$0,99$ }
}
}
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales, on a~:
\begin{align*}
 P(T) & = x\times 0,8+(1-x)\times 0,01\\
      & = 0,8x+0,01-0,01x\\
      & = 0,79x+0,01
\end{align*}
Or $P(T)=0,2944$, il s'agit alors de résoudre une équation~:
\begin{align*}
 0,79x+0,01=0,2944 & \Longleftrightarrow 0,79x=0,2844\\
                   & \Longleftrightarrow x=\dfrac{0,2844}{0,79}\\
                   & \Longleftrightarrow x=0,36
\end{align*}

La probabilité que la personne ait déjà été infectée est donc~:
$$\boxed{P(I)=0,36}$$



\medskip

\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch18_ex3_qA2c} de la partie A, on aurait également pu utiliser directement la calculatrice pour calculer la probabilité demandée.
 \item Dans la question \ref{ch18_ex3_qA2d} de la partie A, on aurait pu passer au complémentaire~:
 \begin{align*}
  P(X\geqslant 2) & = 1-P(X<2)\\
                  & = 1-P(X=0)-P(X=1)\\
                  & = 1-0,943^{100}-100\times 0,057\times 0,943^{99}\\
                  & \approx 0,9801
 \end{align*}

\end{itemize}
\end{tcolorbox}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Un vrai-faux sur les suites}\label{5.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\begin{enumerate}
 \item \underline{Affirmation 1~:} Toute suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$.
 \item On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout entier $n$, on a $u_n\leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$.\\
 \underline{Affirmation 2~:} $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=-\infty$.
 \item On considère la fonction suivante écrite en langage Python~:
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def terme(N):
    U=1
    for i in range(N):
        U=U+i
    return U
\end{pyverbatim}
\underline{Affirmation 3~:} \pyv{terme(4)} renvoie la valeur 7.
\item Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix~:
\begin{itemize}
 \item Prix A~: il reçoit \np{1000}~euros par jour pendant 15 jours~;
 \item Prix B~: il reçoit 1~euro le $1^{\text{er}}$~jour, 2~euros le $2^{\text{e}}$ jour, 4~euros le $3^{\text{e}}$ jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
 \end{itemize}
 \underline{Affirmation 4~:} La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $v_n=\displaystyle \int_1^n \ln x\,\mathrm{d}x$.\\
\underline{Affirmation 5~:} La suite $(v_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Affirmation 1~: Faux}\\
 Toute suite décroissante et minorée par $0$ est convergente mais la limite n'est pas nécessairement $0$. En effet, considérons la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par~:
 $$u_n=2+\dfrac{1}{n}$$
 Cette suite est décroissante et minorée par $2$, donc a fortiori minorée par $0$. Et elle ne converge pas vers $0$ mais vers $2$.
 \item \textbf{Affirmation 2~: Vrai}\\
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}=-\dfrac{9^n}{7^n}+\dfrac{3^n}{7^n}=-\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n$.\\
 Or $\dfrac{9}{7}>1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{9}{7}\right)^n=+\infty$ et $-1<\dfrac{3}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{7}\right)^n=0$. On en déduit que~:
 $$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}=-\infty$$
 Et par le théorème de majoration $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.

 \item \textbf{Affirmation 3~: Vrai}\\
 La fonction \pyv{terme(4)} renvoie la valeur de $1+0+1+2+3=7$.

\item \label{ch18_ex4_q4} \textbf{Affirmation 4~: Faux}
\begin{itemize}
 \item La valeur du prix A est égale à $\np{1000}\times 15$, soit \np{15000}~euros.
 \item La valeur $S$ du prix B est égale à la somme des 15 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$. On a donc~:
 $$S=1\times \dfrac{1-2^{15}}{1-2}=\np{32767}$$
\end{itemize}

\item \label{ch18_ex4_q5} \textbf{Affirmation 5~: Vrai}\\
Sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$, la fonction $\ln$ est positive donc plus $n$ est grand, plus l'intégrale est grande. La suite $(v_n)$ est donc croissante.
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item En Python, la commande \og \pyv{for i in range(N)} \fg{} permet de faire varier \pyv{i} de $0$ à $N-1$.
 \item Dans la question \ref{ch18_ex4_q4}, on peut remarquer que la valeur du prix B est plus de 2 fois plus élevée que celle du prix A. Elle dépasse déjà celle du prix A au bout de 14 jours.
 \item Dans la question \ref{ch18_ex4_q5}, si l'on souhaite être plus précis, on peut écrire, pour tout $n\geqslant 1$~:
 \begin{alignat*}{3}
  v_{n+1}-v_n & = \int_1^{n+1} \ln x\,\mathrm{d}x-\int_1^n \ln x\,\mathrm{d}x & \\
              & = \int_n^{n+1} \ln x\,\mathrm{d}x & \textsl{(relation de Chasles)}
 \end{alignat*}
Et cette intégrale est positive car la fonction $\ln$ est positive sur $[n\,;\,n+1]$ et les bornes sont \og dans l'ordre \fg{}. On a donc $v_{n+1}-v_n\geqslant 0$ et on en déduit que la suite $(v_n)$ est croissante.

\end{itemize}
\end{tcolorbox}


