\chapter{Centres étrangers - 6 juin 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Tirages de jetons}\label{4.1}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.\\
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.\\
Dans ce contexte, on appelle \og tirage \fg{} la liste ordonnée des trois numéros obtenus.\\
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4\,;\,5\,;\,1)$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer le nombre de tirages possibles.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
  \item En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.\\
Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.
 \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$.
\end{enumerate}

On note $S=X_1+X_2+X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$.
 \item Déterminer $P(S=24)$.
 \item Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.
  \item En déduire la probabilité de gagner un lot.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item Il s'agit du nombre de triplets dans un ensemble à $8$ éléments. Le nombre de tirages possibles est donc~:
 $$\boxed{8^3=512}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Il s'agit du nombre de triplets d'éléments distincts dans un ensemble à $8$ éléments. Le nombre de tirages sans répétition de numéro est donc~:
  $$\boxed{\dfrac{8!}{(8-3)!}=\dfrac{8!}{5!}=8\times 7\times 6=336}$$
  \item Le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro est donc~:
  $$\boxed{512-336=176}$$
 \end{enumerate}

 \item La variable aléatoire $X_1$ suit une loi uniforme sur l'ensemble des entiers compris entre $1$ et $8$. Autrement dit sa loi est donnée par le tableau~:
 \begin{center}
 \renewcommand{\arraystretch}{1.8}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  $k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \\ \hline
  $P(X=k)$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ & $\mfrac{1}{8}$ \\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 \item Calculons l'espérance $E(X_1)$ de la variable aléatoire $X_1$~:
 \begin{align*}
  E(X_1) & = 1\times \dfrac{1}{8}+2\times \dfrac{1}{8}+3\times \dfrac{1}{8}+4\times \dfrac{1}{8}+5\times \dfrac{1}{8}+6\times \dfrac{1}{8}+7\times \dfrac{1}{8}+8\times \dfrac{1}{8}\\
        & = \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{6}{8}+\dfrac{7}{8}+\dfrac{8}{8}\\
        & = \dfrac{36}{8}\\
        & = \dfrac{9}{2}
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{E(X_1)=\dfrac{9}{2}=4,5}$$

 \item On a $S=X_1+X_2+X_3$ donc, par linéarité de l'espérance, l'espérance de $S$ est~:
 \begin{align*}
  E(S) & = E(X_1+X_2+X_3)\\
       & = E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)\\
       & = 4,5+4,5+4,5\\
       & = 13,5
 \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{E(S)=13,5}$$
 \item \label{ch17_ex1_q6} La seule façon d'obtenir une somme égale à $24$ est d'obtenir $8$ pour chacun des trois jetons. On a donc~:
 \begin{alignat*}{3}
  P(S=24) & = P\left((X_1=8)\cap(X_2=8)\cap(X_3=8)\right) & \\
          & = P(X_1=8)\times P(X_2=8)\times P(X_3=8) & \quad \textsl{(par indépendance)}\\
          & = \dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8} &\\
          & = \dfrac{1}{512} &
 \end{alignat*}
Soit~:
$$\boxed{P(S=24)=\dfrac{1}{512}}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Les tirages permettant d'obtenir une somme supérieure ou égale à 22 sont~: $(8\,;\,8\,;\,8)$, $(7\,;\,8\,;\,8)$, $(8\,;\,7\,;\,8)$, $(8\,;\,8\,;\,7)$, $(7\,;\,7\,;\,8)$, $(7\,;\,8\,;\,7)$, $(8\,;\,7\,;\,7)$, $(6\,;\,8\,;\,8)$, $(8\,;\,6\,;\,8)$ et $(8\,;\,8\,;\,6)$. Soit~:
  $$\boxed{\text{10 tirages}}$$

  \item Tous les tirages étant équiprobables, la probabilité de gagner un lot est donc~:
  $$\boxed{P(S\geqslant 22)=\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item La loi uniforme n'est pas au programme de terminale mais sinon on aurait pu calculer l'espérance de $X_1$ à l'aide de la formule $E(X_1)=\dfrac{1+8}{2}$.
 \item Dans la question \ref{ch17_ex1_q6}, on aurait aussi pu remarquer que sur les $512$ tirage possibles, il y en a un seul qui permet d'obtenir une somme égale à $24$, d'où $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Une inégalité de convexité}\label{4.2}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x-1}$.\\
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$.\\
On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
  \item En déduire une interprétation graphique.
 \end{enumerate}
 \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$, on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\mathrm{e}^x}{(x-1)^2}$.
  \item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$.
 \end{enumerate}
 \item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$, on a $f''(x)=\dfrac{(x^2-4x+5)\mathrm{e}^x}{(x-1)^3}$.
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$.
  \item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$.
  \item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$, on a~: $\mathrm{e}^x\geqslant (-2x-1)(x-1)$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que l'équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$.
  \item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\newpage
\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a~:
  $$\boxed{\lim\limits_{\substack{x\to 1\\x<1}}f(x)=-\infty} \quad \text{car} \quad \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x\to 1\\x<1}}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}>0\\\lim\limits_{\substack{x\to 1\\x<1}}(x-1)=0^-\end{cases}$$

  \item On en déduit que~:
  $$\boxed{\text{La courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote verticale d'équation $x=1$}}$$
 \end{enumerate}
 \item On a~:
  $$\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0} \quad \text{car} \quad  \begin{cases}\lim\limits_{x\to -\infty}\mathrm{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to -\infty}(x-1)=-\infty \end{cases}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-\infty\,;\,1\right[$, comme quotient de fonctions dérivables et, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,1\right[$, on a~:
  \begin{align*}
   f'(x) & = \dfrac{\mathrm{e}^x\times (x-1)-\mathrm{e}^x\times 1}{\left(x-1\right)^2}\\
         & = \dfrac{(x-1-1)\mathrm{e}^x}{\left(x-1\right)^2}
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=\dfrac{(x-2)\mathrm{e}^x}{\left(x-1\right)^2}}$$

  \item Pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,1\right[$, on a $\mathrm{e}^x>0$, $x-2<0$ et $\left( x-1\right)^2>0$ donc $f'(x)>0$. On en déduit le tableau~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.5, espcl=4]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2.1}
{ $-\infty$  , $1$ }
\tkzTabLine {  , - , d  }
\tkzTabVar {+/$0$ , -D/$-\infty$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \label{ch17_ex2_q4b} Pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,1\right[$, $\mathrm{e}^x>0$, $(x-1)^3<0$ (car $x-1<0$) et $x^2-4x+5>0$ (car c'est un polynôme du second degré sans racine réelle). On en déduit que, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,1\right[$, $f''(x)<0$ et donc que~:
  $$\boxed{\text{La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,1\right[$}}$$

  \item On a $f(0)=\dfrac{\mathrm{e}^0}{0-1}=-1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\mathrm{e}^0}{(-1)^2}=-2$. La tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$ admet donc pour équation $y=-2(x-0)-1$ soit~:
  $$\boxed{y=-2x-1}$$

  \item La fonction $f$ étant concave sur $\left]-\infty\,;\,1\right[$, sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes. En particulier $\mathscr{C}$ est en-dessous de $T$. On a donc, pour tout $x\in\left]-\infty\,;\,1\right[$, ${f(x)\leqslant -2x-1}$ soit~:
  $$\dfrac{\mathrm{e}^x}{x-1}\leqslant -2x-1$$
  Et donc, en multipliant par $x-1$, qui est négatif~:
  $$\boxed{\mathrm{e}^x\geqslant (-2x-1)(x-1)}$$

 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,1\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=-\infty$. Or $-2\in\left]-\infty\,;\,0\right[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]-\infty\,;\,1\right[$.

  \item On a~:
  \begin{itemize}
   \item $f(0,31)\approx -1,98>-2$
   \item $f(0,32)\approx -2,03<-2$
  \end{itemize}
On en déduit~:
$$\boxed{0,31<\alpha <0,32}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex2_q4b}, pour étudier le signe de $x^2-4x+5$, on peut calculer son discriminant $\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 5=-4$. Le discriminant étant strictement négatif, le polynôme n'a pas de racine réelle et est du signe du coefficient de $x^2$, donc strictement positif, sur $\mathbb{R}$.
 \item Voici la courbe représentative de la fonction $f$ ainsi que la tangente au point d'abscisse $0$, l'asymptote verticale d'équation $x=1$ et l'abscisse $\alpha$ solution de l'équation $f(x)=-2$.
 \begin{center}
  \psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4.2)(4.2,2.2)
\multips(0,-4)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(4.,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4.)(0,2.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-3.,-4.)(4.,2.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-3.0}{0.562}{EXP(x)/(x-1.0)}
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{-1.5}{1.5}{-2.0*x-1.0}
\psplot[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-3.}{4.}{(-2.-0.*x)/1.}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.3149230565071503,-2.)(0.3149230565071503,0.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1.,-4.)(1.,2.)
\rput[tl](0.18,0.3){$\alpha$}
\rput[tl](-2.6,-0.15){$\mathscr{C}$}
\rput[tl](-1.6,1.5){$T$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.3149230565071503,-2.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.3149230565071503,0.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,-1.)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}

\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Un volume pour calculer une aire}\label{4.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête 1~cm.\\
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,9.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(6.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](6.,0.)(6.,6.)
\psline[linewidth=1.pt](6.,6.)(0.,6.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,6.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](6.,0.)(7.,2.)
\psline[linewidth=1.pt](6.,6.)(7.,8.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,6.)(1.,8.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](1.,2.)(7.,2.)
\psline[linewidth=1.pt](7.,2.)(7.,8.)
\psline[linewidth=1.pt](7.,8.)(1.,8.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](1.,8.)(1.,2.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0.,0.)(1.,2.)
\begin{small}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,0.)
\rput[bl](-0.6,-0.7){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.,0.)
\rput[bl](6.0,-0.7){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7.,2.)
\rput[bl](7.1,2.1){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,2.)
\rput[bl](1.1,2.1){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,6.)
\rput[bl](-0.5,6.2){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.,6.)
\rput[bl](5.5,6.2){$F$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7.,8.)
\rput[bl](7.1,8.2){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,8.)
\rput[bl](0.6,8.2){$H$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](3.,0.)
\rput[bl](2.8,-0.7){$I$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](7.,5.)
\rput[bl](7.2,4.7){$J$}
\end{small}
\end{pspicture*}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE})$.
\begin{enumerate}
 \item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
 \item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
 \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$.
 \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$.\\
  Calculer ses coordonnées.
  \item Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}~\text{cm}^3$.
 \end{enumerate}
 \textit{On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.}
 \begin{enumerate}
  \setcounter{enumii}{2}
  \item Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle $FHI$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)} \quad \text{et} \quad \boxed{J\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)}$$

 \item On a $\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-\mfrac{1}{2}\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}-\mfrac{1}{2}\\0\\-1 \end{pmatrix}$. On a alors~:
 \begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{EJ}.\overrightarrow{FH}=1\times (-1)+1\times 1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times 0=-1+1=0$
  \item $\overrightarrow{EJ}.\overrightarrow{FI}=1\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\times 0+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times (-1)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$
 \end{itemize}
 Le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHI)$. On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$}}$$

 \item D'après la question précédente, le plan $(FHI)$ admet une équation cartésienne de la forme~:
 $$-2x-2y+z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
 De plus, le point $F(1\,;\,0\,;\,1)$ appartient au plan donc ses coordonnées vérifient l'équation. On a donc $-2-0+1+d=0$ soit $d=1$. Le plan $(FHI)$ admet donc pour équation cartésienne~:
 $$\boxed{-2x-2y+z+1=0}$$

 \item La droite $(EJ)$ passe par le point $E(0\,;\,0\,;\,1)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-\mfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Elle admet donc pour représentation paramétrique~:
 $$\boxed{\begin{dcases}x=t\\y=t\\z=1-\dfrac{1}{2}t\end{dcases}} \quad t\in\mathbb{R}$$

 \item \label{ch17_ex3_q5}
 \begin{enumerate}
  \item Il s'agit de déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(EJ)$ et du plan $(FHI)$. On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $(EJ)$ dans l'équation cartésienne du plan $(FHI)$~:
  \begin{align*}
   -2t-2t+1-\dfrac{1}{2}t+1=0 & \Longleftrightarrow -\dfrac{9}{2}t=-2\\
                              & \Longleftrightarrow t=2\times \dfrac{2}{9}\\
                              & \Longleftrightarrow t=\dfrac{4}{9}
  \end{align*}
  Le point $K$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{4}{9}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(EJ)$, soit~:
  $$\boxed{K\left(\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{7}{9}\right)}$$

  \item Soit $L\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)$ le milieu du segment $[EF]$, projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$. Soit $\mathscr{A}_{EFH}$ l'aire du triangle rectangle $EFH$, on a~:
  $$\mathscr{A}_{EFH}=\dfrac{EF\times EH}{2}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$$
  En choisissant le triangle $EFH$ comme base, la hauteur correspondante est la longueur $IL$, le volume $\mathscr{V}_{EFHI}$ de la pyramide $EFHI$ est alors égal à~:
  $$\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{EFH}\times IL=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{6}$$
  Le volume de la pyramide $EFHI$ est donc, en $\text{cm}^3$~:
  $$\boxed{\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{1}{6}}$$
  \item D'autre part, on peut exprimer le volume de la pyramide $EFHI$ en choisissant le triangle $FHI$ pour base. La hauteur correspondante est alors la longueur $EK$. Or~:
  \begin{align*}
   EK & = \sqrt{\left(\dfrac{4}{9}-0\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}-0\right)^2+\left(\dfrac{7}{9}-1\right)^2}\\
      & = \sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}}\\
      & = \sqrt{\dfrac{36}{81}}\\
      & = \dfrac{6}{9}\\
      & = \dfrac{2}{3}
  \end{align*}
  On a alors, en notant $\mathscr{A}_{FHI}$ l'aire du triangle $FHI$~:
  $$\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FHI}\times EK=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FHI}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}\mathscr{A}_{FHI}$$
  On en déduit l'égalité~:
  $$\dfrac{2}{9}\mathscr{A}_{FHI}=\dfrac{1}{6}$$
  Soit $\mathscr{A}_{FHI}=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{9}{2}$ et donc l'aire du triangle $FHI$, en $\text{cm}^3$, est~:
  $$\boxed{\mathscr{A}_{FHI}=\dfrac{3}{4}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex3_q5}, on utilise le fait que l'on peut exprimer le volume d'un tétraèdre de deux façons différentes afin d'en déduire une aire. C'est un raisonnement classique que l'on retrouve souvent dans les sujets de bac.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



\newpage
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\section{Convergence vers le nombre d'or}\label{4.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
\textbf{Partie A}\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.\\
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$.
 \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$~:
 $$f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
 \item En déduire que sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$ l'équation $f(x)=x$ admet pour unique solution~:
 $$\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.\\
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
 \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
 \item Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
 \item On considère le script Python ci-dessous~:
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
from math import *
def seuil(n):
    u=5
    i=0
    l=(1+sqrt(5))/2
    while abs(u-l)>=10**(-n):
        u=sqrt(u+1)
        i=i+1
    return(i)
\end{pyverbatim}
\textit{On rappelle que la commande} \pyv{abs(x)} \textit{renvoie la valeur absolue de} \pyv{x}.
\begin{enumerate}
 \item Donner la valeur renvoyée par \pyv{seuil(2)}.
 \item La valeur renvoyée par \pyv{seuil(4)} est 9.\\
 Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\newpage
\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
 \item \label{ch17_ex4_q1} La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$ et pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty \right[$, on a~:
 $$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$$
 Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty \right[$, $f'(x)\geqslant 0$ donc~:
 $$\boxed{\text{La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$}}$$

 \item Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty \right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f(x)-x & = \sqrt{x+1}-x\\
         & = \dfrac{(\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x}\\
         & = \dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-x^2}{\sqrt{x+1}+x}\\
         & = \dfrac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x}\\
 \end{align*}
Soit~:
 $$\boxed{f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}}$$
 \item \label{ch17_ex4_qA3} Pour tout $x\in\left[0\,;\,+\infty \right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f(x)=x & \Longleftrightarrow f(x)-x=0\\
         & \Longleftrightarrow \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}=0\\
         & \Longleftrightarrow -x^2+x+1=0
 \end{align*}
 Il s'agit d'un polynôme du second degré qui admet pour discriminant $\Delta=5$ et qui a donc deux racines~:
 $$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2} \quad \text{et} \quad x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}$$
 Soit~:
$$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \quad \text{et} \quad x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$
Or $x_2$ n'appartient pas à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$ donc l'équation $f(x)=x$ admet pour unique solution sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty \right[$~:
 $$\boxed{\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$$
\end{enumerate}

%\medskip
\newpage
\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\
  Pour $n=0$, on a $u_0=5$ et $u_1=f(5)=\sqrt{6}\approx 2,45$. On a donc bien $1\leqslant u_1\leqslant u_0$. La propriété est vraie au rang $n=0$.
  \item \textbf{Hérédité~:}\\
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire~:
  $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$
  On a, en appliquant la fonction $f$, qui est croissante sur $\left[0\,;\,+\infty \right[$~:
  $$f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)$$
  Soit~:
  $$\sqrt{2}\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
  Et donc, a fortiori~:
  $$1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
  \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. On a donc montré que, pour tout $n\in\mathbb{N}$~:
  $$\boxed{1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}$$
 \end{itemize}

 \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~:
 \begin{itemize}
  \item décroissante (car $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$).
  \item minorée par $1$ (car $u_n\geqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$).
 \end{itemize}
 On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est convergente}}$$

 \item La suite $(u_n)$ est définie par la relation de récurrence~:
 $$u_{n+1}=f(u_n)$$
 Or on a vu, dans la question précédente, que cette suite converge vers une limite $l$. Et comme la fonction $f$ est continue sur $\left[0\,;\,+\infty \right[$, par passage à la limite dans la relation précédente, on a~:
 $$l=f(l)$$
 Autrement dit, $l$ est solution de l'équation $f(x)=x$. Et d'après la question \ref{ch17_ex4_qA3} de la partie A, cette équation admet pour unique solution $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. On en déduit donc que~:
 $$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$}}$$

 \item
\begin{enumerate}
 \item \label{ch17_ex4_qB4a} La commande \pyv{seuil(2)} renvoie le premier indice à partir duquel l'écart entre $u_n$ et $\ell$ est strictement inférieur à $10^{-2}$. On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
 \begin{itemize}
  \item $u_4-\ell\approx 0,022>0,01$
  \item $u_5-\ell\approx 0,007<0,01$
 \end{itemize}
C'est donc à partir de $n=5$ que $|u_n-\ell|<0,02$. La valeur renvoyée par \pyv{seuil(2)} est donc~:
$$\boxed{\text{\pyv{5}}}$$
 \item Cela signifie que c'est à partir de $u_9$ que l'écart entre les termes de la suite et sa limite devient strictement plus petit que $10^{-4}$. Autrement dit~:
 $$\boxed{\text{Pour tout $n\geqslant 9$, $|u_n-\ell|<0,0001$}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch17_ex4_q1}, on aurait également pu dire que la fonction $f$ était croissante comme composée de fonctions croissantes. En effet $f$ est la composée des fonctions $x\mapsto x+1$ et $x\mapsto \sqrt{x}$ et ces deux fonctions sont croissantes.
 \item Dans la question \ref{ch17_ex4_qB4a} de la partie B, on n'est pas obligé de justifier. On peut programmer le script à l'aide de la calculatrice et répondre simplement \og En programmant le script, on obtient que la commande $\text{\pyv{seuil(2)}}$ renvoie la valeur $\text{\pyv{5}}$ \fg{}.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


