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    \put(0,3){\makebox(0,0)[bl]{
    \includegraphics[scale=0.13]{fleur_terminale.eps}}}
%     \put(130,3){\makebox(0,0)[bl]{
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%     }
  \end{picture}
}{}




\begin{document}



\title{Centres étrangers - 5 juin 2024}
\author{Spécialité mathématiques - Baccalauréat}
\date{}



\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 1 - Partie A}

\pause
\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0\,;\,1\right]$, et pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  f'(x) & = & \pause \dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,96x\times 0,93}{\left(0,93x+0,03\right)^2}\\ \pause
    & = & \dfrac{0,8928x+0,0288-0,8928x}{\left(0,93x+0,03\right)^2}\\ \pause
    & = & \dfrac{0,0288}{\left(0,93x+0,03\right)^2}
 \end{eqnarray*} \pause
Soit~:
 $$\boxed{f'(x)=\dfrac{0,0288}{\left(0,93x+0,03\right)^2}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, \pause $\left(0,93x+0,03\right)^2>0$ \pause donc $f'(x)>0$. \pause On en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Partie B}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On peut compléter l'arbre de la façon suivante~: \pause

 \bigskip

  \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{\footnotesize $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize $0,96$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize $0,04$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\tbput{\footnotesize $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\footnotesize $0,03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\footnotesize $0,97$}
}
}
 \end{center}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Il s'agit de calculer $P(D\cap T)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(D\cap T) & = & \pause P(D)\times P_D(T)\\ \pause
             & = & x\times 0,96 \pause
 \end{eqnarray*}
 La probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif est donc~: \pause
 $$\boxed{P(D\cap T)=0,96x}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Les événements $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers. \pause On a donc, d'après la formule des probabilités totales~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P(T) & = & \pause P(D)\times P_D(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)\\ \pause
       & = & x\times 0,96+(1-x)\times 0,03\\ \pause
       & = & 0,96x +0,03-0,03x\\ \pause
       & = & 0,93x+0,03 \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{P(T)=0,93x+0,03}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Il s'agit de calculer $P_T(D)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  P_T(D) & = & \pause \dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}\\ \pause
         & = & \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\ \pause
         & = & f(x) \pause
 \end{eqnarray*}
La probabilité que le sportif soit dopé sachant que le test est positif est donc égale à $f(x)$. \pause Et comme il y a 50 sportifs dopés parmi les \np{1000} testés, \pause on a $x=\dfrac{50}{\np{1000}}=0,05$. \pause La probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est~: \pause
$$\boxed{P_T(D)=f(0,05)\approx 0,63}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item La valeur prédictive positive du test est égale à $P_T(D)$ \pause et, d'après la question précédente, \pause $P_T(D)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$. \pause On a alors~:
   \begin{eqnarray*}
    P_T(D)\geqslant 0,9 & \Longleftrightarrow & \pause \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\geqslant 0,9\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & 0,96x\geqslant 0,9(0,93x+0,03)\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & 0,96x\geqslant 0,837x+0,027\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & 0,123x\geqslant 0,027\\ \pause
                        & \Longleftrightarrow & x\geqslant \dfrac{0,027}{0,123} \pause
   \end{eqnarray*}
Or $\dfrac{0,027}{0,123}\approx 0,22$ \pause la valeur de $x$ à partir de laquelle la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$ est~: \pause
$$\boxed{x\approx 0,22}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'après la question précédente, pour une proportion $x$ de sportifs dopés, la valeur prédictive positive du test est~: \pause
   $$P_T(D)=f(x)$$ \pause
   En ne ciblant que les sportifs supposés être plus fréquemment dopés, la proportion $x$ augmente. \pause Or, d'après la partie A, la fonction $f$ est croissante \pause donc une conséquence de cette décision est que~: \pause
   $$\boxed{\text{La valeur prédictive positive du test va augmenter}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 2}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch16_ex2_q1a} Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f(x)=x & \Longleftrightarrow & \pause 2x\mathrm{e}^{-x}=x \\ \pause
          & \Longleftrightarrow & 2x\mathrm{e}^{-x}-x=0 \\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x\left(2\mathrm{e}^{-x}-1\right)=0 \\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou} \quad 2\mathrm{e}^{-x}-1=0\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou} \quad 2\mathrm{e}^{-x}=1\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou} \quad \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{2}\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou} \quad -x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ \pause
          & \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou} \quad x=\ln(2) \pause
  \end{eqnarray*}

\leftskip=1cm

L'ensemble solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ est donc~: \pause
$$\boxed{\mathscr{S}=\left\lbrace 0\,;\,\ln(2) \right\rbrace}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0\,;\,1\right]$ et, pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, on a~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   f'(x) & = & \pause 2\times \mathrm{e}^{-x}+2x\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\ \pause
         & = & (2-2x)\mathrm{e}^{-x}\\ \pause
         & = & 2(1-x)\mathrm{e}^{-x} \pause
  \end{eqnarray*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=2(1-x)\mathrm{e}^{-x}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$, \pause on a $2>0$, \pause $(1-x)\geqslant 0$ \pause et $\mathrm{e}^{-x}>0$. \pause On en déduit le tableau~: \pause

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.8, espcl=4]%
{$x$ /0.7,
$f'(x)$ /0.7,
$f(x)$ /2}
{$0$ , $1$}
\tkzTabLine {   , + , z }
\tkzTabVar {-/$0$ , +/$2\mathrm{e}^{-1}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Montrons par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant 1$. \pause
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Initialisation~:}\\ \pause
   Pour $n=0$, \pause on a $u_0=0,1$ \pause et $u_1=\pause f(0,1) \pause =0,2\mathrm{e}^{-0,1} \pause \approx 0,18$.\pause On a donc bien $0\leqslant u_0<u_1\leqslant 1$. \pause
   \item \textbf{Hérédité~:}\\ \pause
   Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, \pause c'est-à-dire~:
   $$0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant 1$$ \pause
   On a alors, en appliquant la fonction $f$ qui est strictement croissante sur $\left[0\,;\,1\right]$~: \pause
   $$f(0)\leqslant f(u_n)<f(u_{n+1})\leqslant f(1)$$ \pause
   Soit~:
   $$0\leqslant u_{n+1}<u_{n+2}\leqslant 2\mathrm{e}^{-1}$$ \pause
   Or $2\mathrm{e}^{-1}\approx 0,74 \pause <1$ \pause donc, a fortiori~: \pause
   $$0\leqslant u_{n+1}<u_{n+2}\leqslant 1$$ \pause
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \pause
   \item \textbf{Conclusion~:}\\ \pause
   La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, \pause elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. \pause Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}$~: \pause
   $$\boxed{0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant 1}$$
  \end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~: \pause
  \begin{itemize}
   \item croissante \pause (car $u_n<u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
   \item majorée par $1$ \pause (car $u_n\leqslant 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$) \pause
  \end{itemize}
On en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ converge}}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ converge, \pause notons $\ell$ sa limite. \pause La fonction $f$ étant continue sur $[0\,;\,1]$, \pause on a alors, par passage à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=f(u_n)$~: \pause
 $$\ell=f(\ell)$$ \pause
 Autrement dit $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$. \pause Or on a vu, dans la question \ref{ch16_ex2_q1a}, \pause que l'équation $f(x)=x$ admettait deux solution sur $[0\,;\,1]$~: \pause $0$ et $\ln(2)$. \pause Enfin, la suite $(u_n)$ est croissante et $u_0=0,1$ \pause donc la suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers $0$. \pause On en déduit que la limite de la suite $(u_n)$ est~: \pause
 $$\boxed{\ell=\ln(2)}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \label{ch16_ex2_q4a} La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ln(2)$, \pause elle est donc majorée par $\ln(2)$. \pause Autrement dit, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant \ln(2)$, \pause ou encore~:
  $$\boxed{\ln(2)-u_n\geqslant 0}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile]

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch16_ex2_q4b} On peut compléter le script de la façon suivante~: \pause
\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil() :
    n = 0
    u = 0.1
    while log(2) - u > 0.0001 :
        n = n+1
        u = 2*u*exp(-u)
    return (u,n)
\end{pyverbatim}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item \label{ch16_ex2_q4c} En programmant ce script sur la calculatrice, \pause on obtient le résultat \pyv{(0.6931009075876846, 11)}. \pause La valeur de la variable $n$ est donc~: \pause
$$\boxed{n=11}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 3}

\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ une fonction constante, \pause il existe donc un réel $k$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=k$. \pause La fonction $f$ est dérivable et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=0$. \pause La fonction $f$ est alors solution de $(E_0)$ si et seulement si pour tout $x\in\mathbb{R}$, \pause $f'(x)=f(x)$, \pause soit $0=k$. \pause On en déduit que~: \pause
 $$\boxed{\text{$f$ est la fonction nulle}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item L'équation différentielle $(E_0)$ est de la forme $y'=ay$ \pause avec $a=1$, \pause les solutions sont donc les fonctions de la forme \pause $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ \pause soit les fonctions~: \pause
 $$\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{x}} \quad \text{avec $C\in\mathbb{R}$}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a~: \pause
 $$h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$$ \pause
 Et d'autre part~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  h(x)-\cos(x)-3\sin(x) & = & \pause 2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\ \pause
                        & = & \cos(x)-2\sin(x) \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc $h'(x)=h(x)-\cos(x)-3\sin(x)$ \pause pour tout $x\in\mathbb{R}$ donc~: \pause
$$\boxed{\text{$h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{small}
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item \label{ch16_ex3_q4} On a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  \hspace{-1.5cm}\text{$f$ est solution de $(E)$} & \Longleftrightarrow & \pause \forall x\in\mathbb{R},\,f'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \forall x\in\mathbb{R},\;f'(x)-h'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-h'(x)\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \forall x\in\mathbb{R},\;f'(x)-h'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
      & & \hspace{3cm}-(h(x)-\cos(x)-3\sin(x))\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \forall x\in\mathbb{R},\;f'(x)-h'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
      & & \hspace{3cm}-h(x)+\cos(x)+3\sin(x)\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \forall x\in\mathbb{R},\;f'(x)-h'(x)=f(x)-h(x)\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \forall x\in\mathbb{R},\;(f-h)'(x)=(f-h)(x)\\ \pause
      & \Longleftrightarrow & \text{$f-h$ est solution de $(E_0)$} \pause
 \end{eqnarray*}
On a donc montré l'équivalence~: \pause
$$\boxed{\text{$f$ est solution de $(E)$} \Longleftrightarrow \text{$f-h$ est solution de $(E_0)$}}$$
\end{enumerate}
\end{small}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item \label{ch16_ex3_q5} D'après la question précédente, $f$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_0)$, \pause c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $C$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(f-h)(x)=C\mathrm{e}^x$, \pause soit $f(x)=C\mathrm{e}^x+h(x)$. \pause Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme~: \pause
 $$\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{x}+2\cos(x)+\sin(x)} \quad \text{avec $C\in\mathbb{R}$}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{5}
 \item Soit $g$ une solution de $(E)$, \pause il existe donc $C\in\mathbb{R}$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=C\mathrm{e}^{x}+2\cos(x)+\sin(x)$. \pause On a alors~:
 \begin{eqnarray*}
  g(0)=0 & \Longleftrightarrow & \pause C\mathrm{e}^{0}+2\cos(0)+\sin(0)=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & C+2=0\\ \pause
         & \Longleftrightarrow & C=-2 \pause
 \end{eqnarray*}
L'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=0$ \pause est donc la fonction définie, pour tout $x\in\mathbb{R}$ par~: \pause
$$\boxed{g(x)=-2\mathrm{e}^{x}+2\cos(x)+\sin(x)}$$
\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{6}
 \item Notons $I$ l'intégrale demandée, on a~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  I & = & \pause \int_{0}^{\text{\large$\frac{\pi}{2}$}}(-2\mathrm{e}^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\mathrm{d}x\\ \pause
    & = & \Big[ -2\mathrm{e}^x-\cos(x)+2\sin(x) \Big]_{0}^{\text{\large$\frac{\pi}{2}$}}\\ \pause
      & = & \left(-2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)-\left(-2\mathrm{e}^{0}-\cos\left(0\right)+2\sin\left(0\right)\right)\\ \pause
      & = & \left(-2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}+2\right)-\left(-2-1\right)\\ \pause
      & = & -2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}+2+3 \pause
 \end{eqnarray*}
Soit~:
 $$\boxed{\int_{0}^{\text{\large$\frac{\pi}{2}$}}(-2\mathrm{e}^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\mathrm{d}x=5-2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}$$
\end{enumerate}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Exercice 4}

\pause
\begin{enumerate}
 \item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ \pause et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\0 \end{pmatrix}$. \pause Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires \pause (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) \pause donc~:
 $$\boxed{\text{Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés}}$$
\end{enumerate}



\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item On a~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}= \pause 1\times 1+3\times 3+5\times (-2) \pause =1+9-10 \pause =0$ \pause
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= \pause 1\times 3+3\times (-1)+5\times 0 \pause =3-3 \pause =0$ \pause
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, on en déduit que~: \pause
$$\boxed{\text{Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$}}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \label{ch16_ex4_q2b} Le plan $(ABC)$ admet le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal, \pause il admet donc une équation cartésienne de la forme~: \pause
  $$x+3y+5z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$ \pause
  De plus, le point $A(-2\,;\,0\,;\,2)$ appartient à ce plan \pause donc ses coordonnées vérifient l'équation. \pause On a donc $-2+3\times 0+5\times 2+d=0$ \pause soit $d=-8$. \pause On en déduit que le plan $(ABC)$ admet l'équation cartésienne~: \pause
  $$\boxed{x+3y+5z-8=0}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item
 \begin{enumerate}[(c)]
  \item Les coordonnées du point $D$ ne vérifient pas l'équation du plan $(ABC)$. \pause En effet $0+3\times 0+5\times 3-8=7\neq 0$. \pause On en déduit que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$ et donc que~: \pause
  $$\boxed{\text{Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires}}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item Il s'agit de vérifier que la droite $\mathscr{D}_1$ passe par $D$ et est orthogonale au plan $(ABC)$. \pause
  \begin{itemize}
   \item D'après sa représentation paramétrique, \pause la droite $\mathscr{D}_1$ est dirigée par le vecteur $\begin{pmatrix}1\\3\\5 \end{pmatrix}$. \pause Or ce vecteur est le vecteur $\overrightarrow{n}$, \pause qui est normal au plan $(ABC)$ \pause donc la droite $\mathscr{D}_1$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \pause
   \item Le point $D$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$, \pause en effet c'est le point de paramètre $t=0$ \pause dans la représentation paramétrique. \pause
  \end{itemize}
 Finalement~:
  $$\boxed{\text{$\mathscr{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$}}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{footnotesize}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item \begin{footnotesize} Résolvons le système obtenu à l'aide des représentations paramétriques de $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$~: \pause
  \begin{eqnarray*}
   \begin{cases}t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} & \Longleftrightarrow & \pause \begin{cases}t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \begin{cases}t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \begin{cases}t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \begin{dcases}t=1+3\times\left(-\dfrac{2}{7}\right)\\s=-\dfrac{2}{7}\\s=-\dfrac{2}{7}\end{dcases}\\ \pause
   & \Longleftrightarrow & \begin{dcases}t=\dfrac{1}{7}\\s=-\dfrac{2}{7}\end{dcases}
  \end{eqnarray*}
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{footnotesize}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Le système admet un unique couple solution \pause donc les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes. \pause Leur point d'intersection est le point de paramètre $t=\dfrac{1}{7}$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}_1$ \pause et $s=-\dfrac{2}{7}$ dans celle de $\mathscr{D}_2$, \pause c'est-à-dire le point de coordonnées~: \pause
$$\boxed{\left(\dfrac{1}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\,;\,\dfrac{26}{7}\right)}$$


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(a)]
  \item \item Il s'agit de déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $\mathscr{D}_1$ et du plan $(ABC)$. \pause On injecte les coordonnées de la représentation paramétrique de $\mathscr{D}_1$ dans l'équation cartésienne du plan $(ABC)$~: \pause
 \begin{eqnarray*}
  t+3\times 3t+5(3+5t)-8=0 & \Longleftrightarrow & \pause t+9t+15+25t-8=0\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & 35t=-7\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & t=-\dfrac{7}{35}\\ \pause
                           & \Longleftrightarrow & t=-\dfrac{1}{5} \pause
 \end{eqnarray*}
 Le point $H$ est donc le point de paramètre $t=-\dfrac{1}{5}$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}_1$, \pause soit~:
 $$\boxed{H\left(-\dfrac{1}{5}\,;\,-\dfrac{3}{5}\,;\,2\right)}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item
 \begin{enumerate}[(b)]
  \item Le point $H$ étant le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$, \pause la disLe point $H$ étant le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$, la distance cherchée est la longueur $DH$.
 \begin{eqnarray*}
  DH & = & \pause \sqrt{\left(-\dfrac{1}{5}-0\right)^2+\left(-\dfrac{3}{5}-0\right)^2+\left(2-3\right)^2}\\ \pause
     & = & \sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1}\\ \pause
     & = & \sqrt{\dfrac{35}{25}}\\ \pause
     & = & \dfrac{\sqrt{35}}{5} \pause
 \end{eqnarray*}
La distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est donc~: \pause
$$\boxed{DH=\dfrac{\sqrt{35}}{5}\approx 1,18}$$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{frame}




\end{document}









