\chapter{Amérique du nord - 22 mai 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Des voitures hybrides rechargeables}\label{2.1}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Les données publiées le $1^{\text{er}}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes~:
\begin{itemize}
 \item $22,86~\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs~;
 \item $8,08~\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables~;
 \item $1,27~\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{\textit{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.}}

\medskip

\textbf{Partie A}\\
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.\\
On note~:
\begin{itemize}
 \item $N$ l'événement \og le véhicule est neuf \fg{}~;
 \item $R$ l'événement \og le véhicule est hybride rechargeable \fg{}~;
 \item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les événements contraires des événements $N$ et $R$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
 \item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
 \item Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
 \item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.\\
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.
\begin{enumerate}
 \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
 \item Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
 \item Déterminer la probabilité $p(X\geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}\\
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

\medskip

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\begin{enumerate}
 \item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
 \item On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\geqslant 0,9999$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}



\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\footnotesize $0,2286$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\footnotesize $0,0808$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $0,9192$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{\footnotesize $0,7714$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\footnotesize $0,0127$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $0,9873$}
}
}
\end{center}

 \item Il s'agit de calculer $P(N\cap R)$~:
 \begin{align*}
  P(N\cap R) & = P(N)\times P_N(R)\\
             & = 0,2286\times 0,0808\\
             & \approx 0,0185
 \end{align*}
La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est donc~:
$$\boxed{P(N\cap R)\approx 0,0185}$$
 \item Il s'agit de calculer $P(R)$. Les événements $N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(R) & = P(N)\times P_N(R)+P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(R)\\
       & = 0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127\\
       & \approx 0,0283
 \end{align*}
La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est donc~:
$$\boxed{P(R)\approx 0,0283}$$
 \item \label{ch15_ex1_qA4} Il s'agit de calculer $P_R(N)$~:
 \begin{align*}
  P_R(N) & = \dfrac{P(N\cap R)}{P(R)}\\
         & = \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127}\\
         & \approx 0,6534
 \end{align*}
La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable est donc~:
$$\boxed{P_R(N)\approx 0,6534}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item On répète 500 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est égale à $0,65$. La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès donc~:
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$}}$$
 \item \label{ch15_ex1_qB2} Il s'agit de calculer $P(X=325)$. On obtient, à l'aide de la calculatrice, que la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs est~:
 $$\boxed{P(X=325)\approx 0,0374}$$
 \item On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
 $$\boxed{P(X\geqslant 325)\approx 0,5206}$$
 Cela signifie qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins 325 véhicules soient neufs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
 \item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$. L'événement \og tous les véhicules sont d'occasion \fg{} correspond à l'événement $Y=0$. Or~:
 $$P(Y=0)=\binom{n}{0}\times 0,65^0\times (1-0,65)^{n-0}$$
 Soit~:
 $$\boxed{p_n=0,35^n}$$

 \item L'événement \og au moins un des véhicule est neuf \fg{} est l'événement contraire de l'événement \og tous les véhicules sont d'occasion \fg{}, on a donc $q_n=1-p_n$, soit~:
 $$q_n=1-0,35^n$$
 On a alors~:
 \begin{alignat*}{3}
  q_n\geqslant 0,9999 & \Longleftrightarrow 1-0,35^n\geqslant 0,9999 & \\
            & \Longleftrightarrow -0,35^n\geqslant -0,0001 & \\
            & \Longleftrightarrow 0,35^n\leqslant 0,0001 & \\
            & \Longleftrightarrow \ln\left(0,35^n\right)\leqslant \ln(0,0001) & \\
            & \Longleftrightarrow n\ln(0,35)\leqslant \ln(0,0001) & \\
            & \Longleftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} & \textsl{(car $\ln(0,35)<0$)}
 \end{alignat*}
Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$ donc la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\geqslant 0,9999$ est~:
$$\boxed{n=9}$$
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch15_ex1_qA4} de la partie A, pour le calcul de $P_R(N)$, il vaut mieux prendre les valeurs exactes des probabilités $P(N\cap R)$ et $P(R)$. Si l'on prend les valeurs approchées obtenues dans les questions précédentes alors on obtient $P_R(N)\approx 0,6537$ au lieu de $0,6534$.
 \item Dans la question \ref{ch15_ex1_qB2} de la partie B, on peut également utiliser la formule~:
 $$P(X=325) = \binom{500}{325}\times 0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325}$$
 \item Dans la partie C, plutôt que d'introduire une variable aléatoire qui compte le nombre de véhicules neufs, on aurait pu introduire une variable aléatoire $Z$ qui compte le nombre de véhicules d'occasion. $Z$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,35$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}






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\section{Un plan dans le pavé}\label{2.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(11.,5.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(9.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](9.,0.)(10.,1.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](10.,1.)(1.,1.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1.,1.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(0.,3.)
\psline[linewidth=1.pt](9.,0.)(9.,3.)
\psline[linewidth=1.pt](10.,1.)(10.,4.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1.,1.)(1.,4.)
\psline[linewidth=1.pt](0.,3.)(9.,3.)
\psline[linewidth=1.pt](9.,3.)(10.,4.)
\psline[linewidth=1.pt](10.,4.)(1.,4.)
\psline[linewidth=1.pt](1.,4.)(0.,3.)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,0.)
\rput[bl](-0.5,-0.3){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](9.,0.)
\rput[bl](9.1,-0.3){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](10.,1.)
\rput[bl](10.08,1.1){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,1.)
\rput[bl](1.08,1.1){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,3.)
\rput[bl](-0.3,3.1){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](9.,3.)
\rput[bl](8.6,3.08){$F$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](10.,4.)
\rput[bl](10.08,4.08){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.,4.)
\rput[bl](1.08,4.08){$H$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](3.,0.)
\rput[bl](3.08,0.12){$I$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](5.5,1.)
\rput[bl](5.58,1.12){$M$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AI}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE})$.

\begin{enumerate}
 \item Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
  \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est~:
  $$2x+6y+3z-9=0$$
  \item Le plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est $5x+15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$~? Justifier la réponse.
 \end{enumerate}
 \item On appelle $N$ le point d'intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.\\
 Déterminer les coordonnées du point $N$.
 \item Le point $R$ de coordonnées $\left(3\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$~? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{F(3\,;\,0\,;\,1)} \qquad \boxed{H(0\,;\,1\,;\,1)} \qquad \boxed{M\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0\right)}$$

 \item
 \begin{enumerate}
  \item On a $\overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}\mfrac{3}{2}\\0\\-1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{HF}\begin{pmatrix}3\\-1\\0 \end{pmatrix}$ et donc~:
  \begin{itemize}
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=2\times \dfrac{3}{2} +6\times 0+3\times(-1)=3+0-3=0$
   \item $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HF}=2\times 3+6\times (-1)+3\times 0=6-6+0=0$
  \end{itemize}
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{$\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$}}$$

  \item On en déduit que le plan $(HMF)$ admet une équation cartésienne de la forme~:
  $$2x+6y+3z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
  De plus, le point $H(0\,;\,1\,;\,1)$ appartient au plan $(HMF)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation, soit $2\times 0+6\times 1+3\times 1+d=0$ et donc $d=-9$. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc~:
  $$\boxed{2x+6y+3z-9=0}$$
  \item D'après son équation cartésienne, le plan $\mathscr{P}$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}5\\15\\-3 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ ne sont pas colinéaires donc~:
  $$\boxed{\text{Les plans $\mathscr{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles}}$$

 \end{enumerate}
 \item La droite $(DG)$ admet pour représentation paramétrique~:
 $$\begin{cases}x=3t\\y=1\\z=t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$$
 On injecte les expressions de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne du plan $(HMF)$~:
 \begin{align*}
  2\times 3t+6\times 1+3\times t-9=0 & \Longleftrightarrow 6t+6+3t-9=0\\
                    & \Longleftrightarrow 9t=3\\
                    & \Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{3}
 \end{align*}
Le point $N$ est donc le point de paramètre $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(DG)$, soit~:
$$\boxed{N\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3}\right)}$$

 \item \label{ch15_ex2_q4} On a $\overrightarrow{RG}\begin{pmatrix}0\\3/4\\1/2\end{pmatrix}$ donc le vecteur $\overrightarrow{RG}$ n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$. On en déduit que $\overrightarrow{RG}$ n'est pas orthogonal au plan $(HMF)$ et donc que~:
 $$\boxed{\text{$R$ n'est pas le projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(HMF)$}}$$
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch15_ex2_q4}, on aurait pu chercher à déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(HMF)$. On utilise pour cela une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $G$ et orthogonale au plan $(HMF)$~:
 $$\begin{cases}x=3+2t\\y=1+6t\\z=1+3t\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$$
 On injecte dans l'équation cartésienne de $(HMF)$~:
 $$2(3+2t)+6(1+6t)+3(1+3t)-9=0$$
 Soit~:
 $$6+4t+6+36t+3+9t-9=0$$
 D'où~:
 $$49t=-6$$
 Et donc~:
 $$t=-\dfrac{6}{49}$$

Le projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(HMF)$ est donc le point de coordonnées~:
$$\left(\dfrac{135}{49}\,;\,\dfrac{13}{49}\,;\,\dfrac{31}{49}\right)$$
Ce n'est donc pas le point $G$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}





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\section{Une suite définie par une fonction logarithme}\label{2.3}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé, height fill]
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ par $g(x)=2x-x^2$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et $g(1)$.
\end{enumerate}

On considère la suite $(u_n)$ définie par $\begin{dcases}u_0=\dfrac{1}{2}\\u_{n+1}=g(u_n)\end{dcases}$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
 \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a~: $0<u_n<u_{n+1}<1$.
 \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
 \item \label{ch15_ex3_q5} Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln(1-u_n)$.

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{5}
 \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
 \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question \ref{ch15_ex3_q5}.
 \item Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil() :
    n=0
    u=0.5
    while u<0.95 :
        n=...
        u=...
    return n
\end{pyverbatim}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item La fonction $g$ est dérivable sur $\left[0\,;\,1\right]$ et pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right]$~:
 $$g'(x)=2-2x=2(1-x)$$
 Pour tout $x\in\left[0\,;\,1\right[$, on a $g'(x)>0$ donc~:
 $$\boxed{\text{$g$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\,1\right]$}}$$
 Et on a~:
 $$\boxed{g(0)=0} \quad \text{et} \quad \boxed{g(1)=1}$$

 \item On a~:
 \begin{itemize}
  \item $u_1=g\left(u_0\right)=g\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\times \dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
  \item $u_2=g\left(u_1\right)=g\left(\dfrac{3}{4}\right)=2\times \dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{15}{16}$
 \end{itemize}
Soit~:
$$\boxed{u_1=\dfrac{3}{4}} \quad \text{et} \quad \boxed{u_2=\dfrac{15}{16}}$$

 \item Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a~: $0<u_n<u_{n+1}<1$.
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation~:}\\
  Pour $n=0$, on a $u_0=0,5$ et $u_1=0,75$. On a donc bien~:
  $$0<0,5<0,75<1$$
  La propriété est donc vraie au rang $n=0$.
  \item \textbf{Hérédité~:}\\
  Supposons la propriété vraie pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire $0<u_n<u_{n+1}<1$. On a alors, en appliquant la fonction $g$ qui est strictement croissante sur $\left[0\,;\,1\right]$~:
  $$g(0)<g(u_n)<g(u_{n+1})<g(1)$$
  Soit~:
  $$0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
  \item \textbf{Conclusion~:}\\
  La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
 \end{itemize}

 \item \label{ch15_ex3_q3} D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est~:
 \begin{itemize}
  \item croissante (car $u_n<u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
  \item majorée par $1$ (car $u_n<1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$)
 \end{itemize}
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(u_n)$ est convergente}}$$

 \item La fonction $g$ étant continue sur $\left[0\,;\,1\right]$, on sait que la limite $l$ est un point fixe de $g$, c'est-à-dire une solution de l'équation $g(x)=x$. Résolvons cette équation, soit $x\in\left[0\,;\,1\right]$~:
 \begin{align*}
  g(x)=x & \Longleftrightarrow 2x-x^2=x\\
         & \Longleftrightarrow x-x^2=0\\
         & \Longleftrightarrow x(1-x)=0\\
         & \Longleftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=1
 \end{align*}
Or $u_0=\dfrac{1}{2}$ et la suite $(u_n)$ est croissante, elle ne peut donc pas converger vers $0$. On en déduit que~:
$$\boxed{l=1}$$

 \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
 \begin{align*}
  v_{n+1} & = \ln(1-u_{n+1})\\
          & = \ln(1-g(u_n))\\
          & = \ln(1-2u_n+u_n^2)\\
          & = \ln\left((1-u_n)^2\right)\\
          & = 2\ln(1-u_n)\\
          & = 2v_n
 \end{align*}
Et comme $v_0=\ln\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$, on en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de $1^{\text{er}}$ terme $v_0=-\ln(2)$}}$$

 \item On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0\times 2^n$, soit~:
 $$\boxed{v_n=-\ln(2)\times 2^n}$$

 \item \label{ch15_ex3_q8} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $v_n=\ln(1-u_n)$ donc, en appliquant la fonction exponentielle~:
 $$\mathrm{e}^{v_n}=1-u_n$$
 Et donc~:
 $$u_n=1-\mathrm{e}^{v_n}$$
 Soit~:
 $$\boxed{u_n=1-\mathrm{e}^{-\ln(2)\times 2^n}}$$

 Et comme $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\ln(2)\times 2^n\right)=-\infty$ donc par composition, $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\mathrm{e}^{-\ln(2)\times 2^n}\right)=0$ d'où~:
 $$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1}$$

 \item On peut compléter le script de la façon suivante~:

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
def seuil() :
    n = 0
    u = 0.5
    while u < 0.95 :
        n = n+1
        u = 2*u - u**2
    return n
\end{pyverbatim}

\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch15_ex3_q3}, on montre que la suite converge mais on ne connaît pas la valeur de la limite.
 \item Dans la question \ref{ch15_ex3_q8}, on peut obtenir une écriture différente de l'expression de $u_n$, en effet on a~:
 $$\mathrm{e}^{-\ln(2)\times 2^n}=\mathrm{e}^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\times 2^n}=\left(\mathrm{e}^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\right)^{2^n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^n}$$
 Et donc~:
 $$\boxed{u_n=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^n}}$$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Une distance sur une courbe}\label{2.4}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé]
Soit $a$ un réel strictement positif.\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x)=a\ln(x)$.\\
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.\\
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de l'axe des abscisses.
 \item Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
 \item En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(4.,2.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.,-1.)(4.,2.)
\pscustom[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.4]{\psplot{1.}{2.}{ln(x)}\lineto(2.,0)\lineto(1.,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{3.191891195797325E-16}{4.0}{ln(x)}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.,0.)(2.,0.6931471805599453)
\begin{small}
\rput[tl](0.1,-0.1){$O$}
\rput[tl](1.0,-0.1){$1$}
\rput[tl](1.9,-0.1){$x_0$}
\rput[tl](1.9,0.9){$M$}
\rput[tl](3.2,1.13){$\mathscr{C}$}
\rput[tl](3.7,-0.1){$x$}
\rput[tl](-0.15,1.9){$y$}
\end{small}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $x_0$.\\
On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.)(5.5,2.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-1.5,-2.)(5.5,2.)
\pspolygon[linewidth=1.pt](0.12997819951733794,0.6931471805599453)(0.12997819951733797,0.8231253800772832)(0.,0.8231253800772832)(0.,0.6931471805599453)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{2.0000000008941766E-6}{5.5}{ln(x)}
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.,0.)(2.,0.6931471805599453)
\begin{small}
\rput[tl](0.04,-0.05){$O$}
\rput[tl](1.0,-0.1){$1$}
\rput[tl](1.9,-0.1){$x_0$}
\rput[tl](1.9,0.9){$M$}
\rput[tl](3.2,1.13){$\mathscr{C}$}
\rput[tl](3.7,-0.1){$x$}
\rput[tl](-0.15,1.9){$y$}
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.5}{5.5}{(--0.6931471805599453-0.*x)/1.}
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.5}{5.5}{(-0.3068528194400547--0.5*x)/1.}
\rput[tl](-0.25,-0.15){$A$}
\rput[tl](-1.2,-0.65){$T$}
\rput[tl](-0.25,0.9){$B$}
\end{small}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,-0.3068528194400547)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{3}
 \item Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera. \textit{Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.}
\end{enumerate}

\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item Il s'agit de résoudre l'équation $f(x)=0$. Soit $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a~:
 \begin{align*}
  f(x)=0 & \Longleftrightarrow a\ln(x)=0\\
         & \Longleftrightarrow \ln(x)=0 \quad \text{(car $a\neq 0$)}\\
         & \Longleftrightarrow x=1
 \end{align*}
L'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de l'axe des abscisses est donc~:
$$\boxed{x=1}$$
 \item La fonction $F$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
 \begin{align*}
  F'(x) & = a\left(1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right)\\
        & = a\left(\ln(x)+1-1\right)\\
        & = a\ln(x)\\
        & = f(x)
 \end{align*}
 On en déduit que~:
 $$\boxed{\text{$F$ est une primitive de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$}}$$

 \item Il s'agit de calculer l'intégrale entre $1$ et $x_0$ de la fonction $f$~:
 \begin{align*}
  \int_1^{x_0}f(x)\,\mathrm{d}x & = \int_1^{x_0}a\ln(x)\,\mathrm{d}x\\
                  & = \Big[a(x\ln(x)-x)\Big]_1^{x_0}\\
                  & = a(x_0\ln(x_0)-x_0)-a(1\times \ln(1)-1)\\
                  & = a(x_0\ln(x_0)-x_0)+a\\
                  & = a(x_0\ln(x_0)-x_0+1)
 \end{align*}
 L'aire du domaine grisé est donc~:
 $$\boxed{\mathscr{A}=a(x_0\ln(x_0)-x_0+1)}$$

 \item Déterminons l'équation réduite de la tangente $T$. La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et $f'(x)=\dfrac{a}{x}$.
 \begin{itemize}
  \item $f(x_0)=a\ln(x_0)$
  \item $f'(x_0)=\dfrac{a}{x_0}$
 \end{itemize}
La tangente $T$ admet donc pour équation~:
$$y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln(x_0)$$
Soit~:
$$y=\dfrac{a}{x_0}x-a+a\ln(x_0)$$
L'ordonnée à l'origine est donc $-a+a\ln(x_0)$, il s'agit de l'ordonnée du point $A$. Et comme l'ordonnée du point $B$ est $a\ln(x_0)$, on a~:
\begin{align*}
 AB & = y_B-y_A \\
    & = a\ln(x_0)-(-a+a\ln(x_0))\\
    & = a\ln(x_0)+a-a\ln(x_0)\\
    & = a
\end{align*}
La longueur $AB$ est donc égale à une constante. Plus précisément~:
$$\boxed{AB=a}$$

\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item La formule donnant la distance entre deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ du plan est~:
 $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
 Mais dans cet exercice les points $A$ et $B$ ont la même abscisse, on a donc $AB=|y_B-y_A|$.

\end{itemize}
\end{tcolorbox}



