\chapter{Amérique du nord - 21 mai 2024}
\thispagestyle{empty}


\vspace{-2cm}

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\section{Des épées, des boucliers et des probabilités} \label{1.1}
%\addcontentsline{toc}{section}{}

\begin{tcolorbox}[height fill,title=Énoncé (5 points)]
Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être \og commun \fg{} ou \og rare \fg{}. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

\medskip

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que~:
\begin{itemize}
 \item la probabilité de tirer un objet rare est de 7~\%~;
 \item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80~\%~;
 \item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40~\%.
\end{itemize}

\medskip

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}\\
Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.\\
On note~:
\begin{itemize}
 \item $R$ l'événement \og le joueur tire un objet rare \fg{}~;
 \item $E$ l'événement \og le joueur tire une épée \fg{}~;
 \item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
 \item Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R\cap E)$.
 \item Calculer la probabilité de tirer une épée.
 \item Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. \textit{Arrondir le résultat au millième.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
Un joueur remporte 30 défis.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
 \item Déterminer $P(X<6)$. \textit{Arrondir le résultat au millième.}
 \item Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\geqslant k)\geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
 \item Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7~\%. Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$. Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. \textit{On veillera à détailler la démarche mise en \oe uvre.}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item On peut représenter la situation par l'arbre suivant~:

 \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\footnotesize $0,07$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\footnotesize $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{\footnotesize $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{\footnotesize $0,93$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\footnotesize $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{\footnotesize $0,6$}
}
}
\end{center}

Et on a~:
\begin{align*}
 P(R\cap E) & = P(R)\times P_R(E)\\
            & = 0,07\times 0,8\\
            & = 0,056
\end{align*}
Soit~:
$$\boxed{P(R\cap E)=0,056}$$

 \item Il s'agit de calculer $P(E)$. Les événements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers. On a alors, d'après la formule des probabilités totales~:
 \begin{align*}
  P(E) & = P(R)\times P_R(E)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(E)\\
       & = 0,07\times 0,8+0,93\times 0,4\\
       & = 0,428
 \end{align*}
La probabilité de tirer une épée est donc~:
$$\boxed{P(E)=0,428}$$
 \item Il s'agit de calculer $P_E(R)$~:
 \begin{align*}
  P_E(R) & = \dfrac{P(R\cap E)}{P(E)}\\
         & = \dfrac{0,056}{0,428}\\
         & \approx 0,131
 \end{align*}
La probabilité de tirer un objet rare sachant que c'est une épée est donc~:
$$\boxed{P_E(R)\approx 0,131}$$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
 \item On répète 30 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $0,07$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc~:
 $$\boxed{\text{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,07$}}$$
 On sait alors que son espérance est $E(X)=n\times p=30\times 0,07=2,1$, soit~:
 $$\boxed{E(X)=2,1}$$

 \item \label{ch14_ex1_qB2} On a $P(X<6)=P(X\leqslant 5)$ et on obtient, à l'aide de la calculatrice, $P(X\leqslant 5)\approx 0,984$, soit~:
 $$\boxed{P(X<6)\approx 0,984}$$

 \item On a~:
 \begin{itemize}
  \item $P(X\geqslant 2)\approx 0,63\geqslant 0,5$
  \item $P(X\geqslant 3)\approx 0,35< 0,5$
 \end{itemize}
La plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\geqslant k)\geqslant 0,5$ est donc~:
$$\boxed{k=2}$$
Cela signifie que sur les 30 objets tirés, il y a plus de 50~\% de chances d'avoir au moins 2 objets rares.

 \item \label{ch14_ex1_qB4} Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'objets rares parmi les $N$ objets tirés. $Y$ suit alors une loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,07$. La probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare est alors~:
 $$P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)=1-0,93^n$$
 Il s'agit alors de résoudre une inéquation~:

 \begin{align*}
  P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,95 & \Longleftrightarrow 1-0,93^N\geqslant 0,95\\
                                & \Longleftrightarrow 0,93^N\leqslant 0,05\\
                                & \Longleftrightarrow \ln\left(0,93^N\right)\leqslant \ln(0,05)\\
                                & \Longleftrightarrow N\ln\left(0,93\right)\leqslant \ln(0,05)\\
                                & \Longleftrightarrow N\geqslant \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)} \quad \textsl{(car $\ln(0,93)<0$)}
 \end{align*}
 Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)}\approx 41,3$ donc le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre l'objectif est~:
 $$\boxed{N=42}$$
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch14_ex1_qB2} de la partie B, on a $P(X<6)=P(X\leqslant 5)$ car $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale et ne peut donc prendre que des valeurs entières. Elle ne peut pas prendre de valeurs comprises strictement entre $5$ et $6$.
 \item Dans la question \ref{ch14_ex1_qB4} de la partie B, pour calculer $P(Y=0)$, on utilise la formule~:
 $$P(Y=0)=\binom{N}{0}\times 0,07^0\times (1-0,07)^{N-0}=1\times 1\times 0,93^N$$
 \item Toujours dans la question \ref{ch14_ex1_qB4} de la partie B, on aurait pu résoudre l'inéquation en tâtonnant et en disant que~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item $1-0,93^{41}\approx 0,949<0,95$
  \item $1-0,93^{42}\approx 0,953>0,95$
 \end{itemize}
C'est donc bien à partir de $N=42$ que la probabilité dépasse $0,95$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Le QCM de l'espace}\label{1.2}


\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (4 points)]
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\textit{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$.
\begin{enumerate}
 \item On considère les points $A(1\,;\,0\,;\,3)$ et $B(4\,;\,1\,;\,0)$.\\
 Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est~:
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
   \item $\begin{cases}x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$
   \item $\begin{cases}x=1+4t\\y=t\\z=3\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$
   \item $\begin{cases}x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$
   \item $\begin{cases}x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$~?
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
   \item $M(7\,;\,6\,;\,6)$
   \item $N(3\,;\,6\,;\,4)$
   \item $P(4\,;\,6\,;\,-2)$
   \item $R(-3\,;\,-9\,;\,7)$
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
 \item On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases}$ avec $k\in\mathbb{R}$.\\
 Les droites $(d)$ et $(d')$ sont~:
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
   \item sécantes
   \item non coplanaires
   \item parallèles
   \item confondues
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
 \item On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2\,;\,1\,;\,0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est~:
 \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}
   \item $2x+3y-z-7=0$
   \item $-x+y-4z+1=0$
   \item $4x+6y-2z+9=0$
   \item $2x+y+1=0$
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Réponse (c)}\\
 La droite $(AB)$ passe par le point $A(1\,;\,0\,;\,3)$ et admet le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Elle admet donc pour représentation paramétrique~:
 $$\begin{cases}x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases} \quad \text{avec $t\in\mathbb{R}$}$$


 \item \textbf{Réponse (d)}\\
 Le point $R(-3\,;\,-9\,;\,7)$ appartient à la droite $(d)$, il s'agit du point de paramètre $t=-\dfrac{3}{2}$.

 \item \textbf{Réponse (b)}\\
 La droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2 \end{pmatrix}$ et la droite $(d')$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3\\-2\\1 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles. Déterminons alors leur intersection~:
 \begin{align*}
  \begin{cases}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\4-2t=1+k \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases}3+4t=-2+3(3-2t)\\6t=-1-2(3-2t)\\k=3-2t \end{cases}\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases}3+4t=-2+9-6t\\6t=-1-6+4t\\k=3-2t \end{cases}\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases}10t=4\\2t=-7\\k=3-2t \end{cases}\\
    & \Leftrightarrow \begin{dcases}t=\dfrac{2}{5}\\t=-\dfrac{7}{2}\\k=3-2t \end{dcases}
 \end{align*}
Ce système n'admet aucune solution donc les droites n'ont aucun point d'intersection. Finalement les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont ni parallèles ni sécantes, elles ne sont donc pas coplanaires.

 \item \label{ch14_ex2_q4} \textbf{Réponse (a)}\\
 Le plan $(P)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, il admet donc pour vecteur normal un vecteur directeur de la droite $(d)$, soit par exemple le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix}$. Il admet donc une équation cartésienne de la forme~:
 $$2x+3y-z+d=0 \quad \text{avec $d\in\mathbb{R}$}$$
 Et comme le point $I(2\,;\,1\,;\,0)$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation. On a alors $2\times 2+3\times 1-0+d=0$ soit $d=-7$. Le plan $(P)$ admet donc pour équation cartésienne~:
 $$2x+3y-z-7=0$$
\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée. J'ai tout de même proposé des justifications car sinon, cette correction n'aurait pas eu un grand intérêt.
 \item D'après sa représentation paramétrique, la droite $(d)$ admet pour vecteur directeur le vecteur $\begin{pmatrix}4\\6\\-2 \end{pmatrix}$ et donc n'importe quel vecteur qui lui est colinéaire. On peut donc choisir, par exemple, le vecteur $\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix}$.
 \item Dans la question \ref{ch14_ex2_q4}, l'équation étant donnée, on pouvait aussi simplement vérifier que le vecteur $\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix}$ était un vecteur normal et que les coordonnées de $I$ vérifiaient l'équation.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



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\section{Lectures graphiques et calculs}\label{1.3}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (5 points)]
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par~:
$$f(x)=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$$

\textbf{Partie A~: lectures graphiques}\\
On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(1\,;\,-1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0\,;\,-4)$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-7.4)(4.05,7.4)
\multips(0,-7)(0,1.0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.5,0)(4.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){5}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.)(0,7.)}
\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1.,ticksize=0pt 0,subticks=0]{-}(0,0)(-0.5,-7.)(4.,7.)
\psplot[linewidth=1.pt,plotpoints=200]{0.1557}{3.1702}{x*ln(x^(2.0))-1.0/x}
\psplot[linewidth=1.pt]{-0.5}{3.6667}{(--4.-3.*x)/-1.}
\rput[tl](2.9,4.7){$(T)$}
\rput[tl](2.3,5.8){$(\mathscr{C}_f)$}
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](1.,-1.)
\rput[bl](1.04,-1.5){$A$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.,-4.)
\rput[bl](0.03,-4.7){$B$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
 \item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$~?
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B~: étude analytique}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
 \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
  \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$,
  $$f''(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
  \item Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.\\
  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
  \item Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie~:
  $$\alpha^2=\text{exp}\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
 \item \label{ch14_ex3_qA1} On lit graphiquement que le coefficient directeur de la tangente $(T)$ est égal à $3$, on a donc~:
 $$\boxed{f'(1)=3}$$
 Et comme $(T)$ coupe l'axe des ordonnées en $-4$, son ordonnée à l'origine est égale à $-4$. L'équation réduite de $(T)$ est donc~:
 $$\boxed{y=3x-4}$$

 \item La fonction $f$ semble~:
 \begin{itemize}
  \item concave sur $\left]0\,;\,1\right]$
  \item convexe sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$
 \end{itemize}
La fonction semble changer de convexité en $1$, le point $A$ semble donc être un point d'inflexion (la courbe traverse la tangente).
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty} \quad \text{car}\quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x^2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0\end{dcases}$$
 Et pour tout $x\in \left]0\,;\,+\infty\right[$, on a $\ln(x^2)=2\ln(x)$ donc~:
 $$f(x)=2x\ln(x)-\dfrac{1}{x}$$
 On en déduit que~:
 $$\boxed{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty} \quad \text{car}\quad \begin{dcases}\lim\limits_{x\to 0}x\ln(x)=0\quad \textsl{(par croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{dcases}$$

 \item \label{ch14_ex3_qB2}
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et, pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
  \begin{align*}
   f'(x) & = 1\times \ln(x^2)+x\times \dfrac{2x}{x^2}-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\
         & = \ln(x^2)+2+\dfrac{1}{x^2}
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{f'(x)=\ln(x^2)+2+\dfrac{1}{x^2}}$$

  \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$~:
  \begin{align*}
   f''(x) & = \dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3}\\
          & = \dfrac{2x^2-2}{x^3}\\
          & = \dfrac{2(x^2-1)}{x^3}\\
          & = \dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{f''(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $2(x+1)>0$ et $x^3>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $x-1$, d'où le tableau~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f$ /0.7}
{ $0$  , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + , }
\tkzTabLine { d , \text{concave} , t , \text{convexe}  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

  \item La fonction $f''$ étant la dérivée de la fonction $f'$, le signe de $f''$ permet de déterminer les variations de $f'$. On a alors le tableau~:

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[ lgt=2, deltacl=0.6, espcl=2.5]%
{$x$ /0.7,
$f''(x)$ /0.7,
$f'(x)$ /2}
{ $0$ , $1$ , $+\infty$}
\tkzTabLine { d , - , z , + , }
\tkzTabVar {D+/ , -/$3$ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

La fonction $f'$ atteint donc son minimum en $1$ et ce minimum vaut $3$. On en déduit que $f'(x)\geqslant 3$ et, a fortiori, $f(x)>0$ pour tout $x\in\left]0\,;\,+\infty\right[$ et donc que~:
$$\boxed{\text{La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$}}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item
  \begin{sloppypar}
  Sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus ${\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. Or $0\in\left]-\infty\,;\,+\infty\right[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
\end{sloppypar}
  \item On obtient, à l'aide de la calculatrice~:
  \begin{itemize}
   \item $f(1,32)\approx -0,02<0$
   \item $f(1,33)\approx 0,007>0$
  \end{itemize}
Donc~:
$$\boxed{1,32<\alpha<1,33}$$

On sait que $f(\alpha)=0$, c'est-à-dire~:
$$\alpha \ln(\alpha^2)-\dfrac{1}{\alpha}=0$$
Puis~:
$$\alpha \ln(\alpha^2)=\dfrac{1}{\alpha}$$
Donc~:
$$\ln(\alpha^2)=\dfrac{1}{\alpha^2}$$
Et enfin, en appliquant la fonction exponentielle~:
$$\boxed{\alpha^2=\text{exp}\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}




\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans la question \ref{ch14_ex3_qA1} de la partie A, pour calculer le coefficient directeur $m$ de la droite $(T)$, sachant qu'elle passe par les points $A$ et $B$, on peut utiliser la formule~:
 $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-(-1)}{0-1}=\dfrac{-3}{-1}=3$$
 On retient cette formule sous la forme \og la différence des ordonnées sur la différence des abscisses \fg{}.
 \item Pour conjecturer la convexité d'une fonction, il faut retenir que si la courbe \og regarde vers le haut \fg{} alors la fonction est convexe, et si la courbe \og regarde vers le bas \fg{} alors la fonction est concave, .
 \item Dans la question \ref{ch14_ex3_qB2} de la partie B, pour le calcul de la dérivée de la fonction $x\mapsto \ln(x^2)$, on peut soit utiliser la formule $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ ou alors écrire $\ln(x^2)=2\ln(x)$ et on obtient alors pour dérivée la fonction $x\mapsto \dfrac{2}{x}$.
 \item Pour calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^2}$, on peut remarquer que $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ et utiliser la formule habituelle qui donne la dérivée de la fonction $x\mapsto x^n$. On obtient ainsi $-2x^{-3}$ soit $-\dfrac{2}{x^3}$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}




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\section{Intégrales de Fourier}\label{1.4}

\begin{tcolorbox}[title=Énoncé (6 points)]
Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes~:
$$I_n=\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x$$
$$J_n=\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer $I_0$.
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n\geqslant 0$.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$.
  \item Déduire des deux questions précédentes que la suite $(I_n)$ converge.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a~:
  $$I_n\leqslant \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x$$
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a~:
  $$\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}$$
  \item Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $(I_n)$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$~:
  $$I_n=1+\mathrm{e}^{-n\pi}-nJ_n \quad \text{et} \quad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a $I_n=\dfrac{1+\mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2+1}$.
 \end{enumerate}
 \item On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $(I_n)$ devient inférieure à $0,1$. Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
from math import *
def seuil() :
    n=0
    I=2
    ...
        n=n+1
        I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
    return n
\end{pyverbatim}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}


\textbf{Correction}
\begin{enumerate}
 \item On a~:
 $$I_0  = \int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x
       = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi}
       = -\cos(\pi)-(-\cos(0))
       = -(-1)+1
       = 2$$
%  \begin{align*}
%   I_0 & = \int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x \\
%       & = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi}\\
%       & = -\cos(\pi)-(-\cos(0))\\
%       & = -(-1)+1\\
%       & = 2
%  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{I_0=2}$$
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\mathbb{N}$, pour tout $x\in\left[0\,;\,\pi\right]$, on a $\mathrm{e}^{-nx}>0$ et $\sin(x)\geqslant 0$ donc~:
  $$\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\geqslant 0$$
  Donc~:
  $$\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$$
  Soit~:
  $$\boxed{I_n\geqslant 0}$$

  \item Pour tout entier naturel $n$, on a~:
  \begin{align*}
   I_{n+1}-I_n & = \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-(n+1)x}\sin(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x\\
        & = \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-(n+1)x}\sin(x)-\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x\\
        & = \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)\,\mathrm{d}x
  \end{align*}
Or, pour tout $x\in\left[0\,;\,\pi\right]$, $\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-x}\leqslant 1$ car $x\leqslant 0$. On en déduit que $\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)\leqslant 0$ puis~:
$$\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)\,\mathrm{d}x\leqslant 0$$
Soit~:
$$\boxed{I_{n+1}-I_n\leqslant 0}$$
  \item D'après les questions précédentes, la suite $(I_n)$ est~:
  \begin{itemize}
   \item décroissante car $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
   \item minorée par $0$ car $I_n\geqslant 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
  \end{itemize}
On en déduit que~:
$$\boxed{\text{La suite $(I_n)$ converge}}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\mathbb{N}$, pour tout $x\in\left[0\,;\,\pi\right]$, on a~:
  $$\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\leqslant \mathrm{e}^{-nx} \quad \textsl{(car $\sin(x)\leqslant 1$)}$$
  Donc par croissance de l'intégrale~:
  $$\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x$$
  Soit~:
  $$\boxed{I_n\leqslant \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x}$$

  \item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a~:
  \begin{align*}
   \int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x & = \left[-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\right]_0^{\pi}\\
        & = -\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-n\pi}-\left(-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{0}\right)\\
        & = \dfrac{\mathrm{e}^{-n\pi}+1}{n}
  \end{align*}
Soit~:
  $$\boxed{\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}}$$

  \item D'après les questions précédentes, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a~:
  $$0\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}$$
  Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes~:
  $$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}$$
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item \begin{itemize}
  \item \textbf{Première intégration par parties~:}\\
  On pose~:
  $$\begin{cases}u(x)=\mathrm{e}^{-nx}\\ v'(x)=\sin(x)\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=-n\mathrm{e}^{-nx}\\ v(x)=-\cos(x)\end{cases}$$
  On a alors, par intégration par parties~:
  \begin{align*}
   I_n & = \Big[-\cos(x)\mathrm{e}^{-nx}\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}n\mathrm{e}^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\
       & = -\cos(\pi)\mathrm{e}^{-n\pi}+\cos(0)\mathrm{e}^{0}-n\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\
       & = \mathrm{e}^{-n\pi}+1-nJ_n
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{I_n=1+\mathrm{e}^{-n\pi}-nJ_n}$$

\item \textbf{Deuxième intégration par parties~:}\\
  On pose~:
  $$\begin{cases}u(x)=\sin(x)\\ v'(x)=\mathrm{e}^{-nx}\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases}u'(x)=\cos(x)\\ v(x)=-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\end{cases}$$
  On a alors, par intégration par parties~:
  \begin{align*}
   I_n & = \Big[-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\Big]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\
       & = -\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-n\pi}\sin(\pi)+-\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{0}\sin(0)+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\
       & = \dfrac{1}{n}J_n
  \end{align*}
Soit~:
$$\boxed{I_n=\dfrac{1}{n}J_n}$$
\end{itemize}
\item On en déduit que~:
$$1+\mathrm{e}^{-n\pi}-nJ_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
Puis~:
$$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)J_n=1+\mathrm{e}^{-n\pi}$$
Soit~:
$$\dfrac{n^2+1}{n}J_n=1+\mathrm{e}^{-n\pi}$$
Et donc~:
$$J_n=\dfrac{n(1+\mathrm{e}^{-n\pi})}{n^2+1}$$
Et comme $I_n=\dfrac{1}{n}J_n$, on a~:
   $$\boxed{I_n=\dfrac{1+\mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2+1}}$$
 \end{enumerate}
 \item On peut compléter le script de la façon suivante~:

\begin{pyverbatim}[][frame=single]
from math import *
def seuil() :
    n = 0
    I = 2
    while I > 0.1 :
        n=n+1
        I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
    return n
\end{pyverbatim}

\end{enumerate}



\begin{tcolorbox}[title=Commentaires,attach boxed title to top center={yshift=-2mm},colback=white]
\begin{itemize}
 \item Dans cet exercice, on utilise les propriétés de positivité et de croissance de l'intégrale. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;\,b]$, on a~:
 \begin{itemize}[label=\ding{221}]
  \item Si $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in[a\,;\,b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$ (positivité).
  \item Si $f(x)\leqslant g(x)$ pour tout $x\in[a\,;\,b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ (croissance).
 \end{itemize}
\item Si $a$ est un réel alors la fonction $f$ définie par $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ admet pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}



